实验一 列主元素高斯消去法

|
记l ik
若 l k 交换第k行与l行的所有对应元素，再 进行顺序消元。
框图
高斯列主元消去法
(1)输入：aij (i, j 1,2,...,n),bi (i 1,2,...,n) (2)对k 1,2,...,n 1, 做
1)选列主元：| aikk
|
max |
k in
aik
|, 记l
ik ,即全ຫໍສະໝຸດ 元消去法2、第k步消元： 1）假设第k步选主元时得
a(k) ik jk
max
ki; jn
|
a(k) ij
| ；l
ik ;t
jk
如果l k,交换k行 l行;
t k,交换k列 t列; z(k) z(t)
2)顺序消元
全主元消去法
3、求方程组的解 理顺解： b1 x(z(1)), b2 x(z(2)), bn x(z(n))
增加数组 x(n) : 则x(z(i)) bi (i 1,2,..., n)
例如: z(1) 1, z(2) 2, z(3) 3 做 j 1 j 3 Z (1) Z (3) 这时z(1) 3, z(3) 1, z(2) 2，其解 x(z(1)) x(3) b1；x(z(2)) x(2) b2； x(z(3)) x(1) b3。
T akj ; akj alj；alj T ; 20 T bk ;bk bi；bi T ; 4)对i k 1,...,n做
10
aik
lik
aik
/
a
；
kk
20 bi bi lik bk；
30
对j
k
1,...,n做aij
aij
lik
a
；

数学与信息科学学院实验报告课程名称：《数值计算方法》实验名称：数值积分实验类型：验证性■综合性□设计性□实验室名称：数学实验室班级学号： 090721学生姓名：任课教师（教师签名）：成绩：实验日期：2012-4-27一、实验目的及题目熟悉线性方程组求解原理，运用列主消元高斯消去法，LU 分解法及Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法丢出线性方程的解 实验题目：1、用列主元消去法解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++--=+--=+-+=++4323331243432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x2、用LU 分解法界方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2244,1626622060121224121202448b A3、分别用jacobi 迭代法和gauss-seidel 迭代法求解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+--=+-2511361021138112104321321432321x x x x x x x x x x x x x二、实验原理、程序框图、程序代码等实验原理：1、列主元高斯消去原理：每次消去中，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。

然后换行使之变到主元位子上，在进行消元计算。

设)()(k k b x A =，确定第k 列主元所在位置k i ，在交换k i 行和k 行后，在进行消元。

根据矩阵理论，交换k i 和k 两个方程的位置，列主元素的消去过程相当于对交换后的新矩阵进行消元，即)1(,+=k k i k k A A I L k同时，右端向量)(k b 变化为 )1(,+=k k i k k b b I L k2、LU 分解原理：直接三角分解：先将A 分解为上三角矩阵U 和下三角矩阵L （A=LU ），则原为题等价于求解两个方程组：y Ux b Ly ==, 3、迭代法（1）jacobi 迭代法（又称简单迭代法） 考虑n 阶线性代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112)222212111212111其矩阵形式为b Ax =设该方程组的系数矩阵A 非奇异且),.....,2,1(0n i a ii =≠，可将A 分解为：U L D A --=其中],.....,,[2211nn a a a diag D =；-=L ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000111313121n n n a a a a a a，U=－⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0000,122311312n n n n a a a a a a然后化为如下等价形式b D x U L D x 11)(--++=简记为 J J f x B x += 选取初始向量[]Tnx x x x )0()0(2)0(1)0(, =,通过上式可得到线性代数方程组的迭代格式)2,1,0(,)()1( =+=+k f x B x J k J k其分量形式为 )2,1,0)(,2,1(),(111)1( ==-=∑≠=+k n i x a b a x nj i k j ij i ii k i 即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧----=----=----=--+++)(1)(1)(1)(11,)(22)(11)1()(2)(323)(121222)1(2)(1)(313)(212111)1(1k n n n k n k n n nn k n k nn k k k k n n k k k x a x a x a b a x x a x a x a b a x x a x a x a b a x以上计算过程称迭代法，矩阵J B 陈为jacobi 迭代法的迭代矩阵。

高斯消去法的实验报告高斯消去法的实验报告引言：高斯消去法是一种用于解线性方程组的常用方法，它通过矩阵的行变换将方程组转化为简化的上三角矩阵，从而求得方程组的解。

本实验旨在通过实际操作，验证高斯消去法的有效性和可靠性。

实验步骤：1. 准备工作：在实验开始前，我们需要准备一个包含n个未知数和n个方程的线性方程组。

这个方程组可以通过手工构造或从实际问题中得到。

2. 构建增广矩阵：将方程组写成增广矩阵的形式，其中矩阵的左边是系数矩阵，右边是常数向量。

通过这样的构建，我们可以将方程组的运算转化为矩阵的运算，更加方便和高效。

3. 主元素选取：在高斯消去法中，我们需要选取主元素来进行消元操作。

主元素的选取可以采用多种策略，如选取绝对值最大的元素或者选取对角线元素。

在本实验中，我们选择选取对角线元素作为主元素。

4. 消元操作：通过行变换，将主元素所在的列下方的元素消为0。

这一步骤需要反复进行，直到得到上三角矩阵。

5. 回代求解：通过回代求解，我们可以得到方程组的解。

回代求解是从最后一行开始，逐步求解未知数的值，直到求解出所有未知数。

实验结果：通过实验，我们得到了以下结论：1. 高斯消去法能够有效地解决线性方程组。

无论方程组的规模如何，高斯消去法都可以将其转化为上三角矩阵，并求解出方程组的解。

2. 高斯消去法的计算复杂度较低。

相比于其他解线性方程组的方法，如迭代法或矩阵求逆法，高斯消去法的计算复杂度较低，适用于大规模的方程组求解。

3. 主元素选取对解的精度有一定影响。

在实验中，我们发现主元素的选取对解的精度有一定的影响。

如果主元素选取不当，可能会导致解的误差较大。

结论：高斯消去法是一种有效且可靠的解线性方程组的方法。

通过本实验，我们验证了高斯消去法的有效性和可靠性。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点和要求，选择适当的主元素选取策略，以获得更准确的解。

同时，我们也要注意高斯消去法的局限性，如主元素选取对解的精度的影响，以及方程组可能存在无解或多解的情况。

高斯列主元消去法2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。

就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。

实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。

在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。

但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。

1．一旦遇到一些主元等于0，消元过程便无法进行下去。

2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当一些主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。

为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。

其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。

目前计算机上常用的按列选主元的方法。

因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。

二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。

我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。

然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。

高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。

于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。

三、算法的描述1、设有n元线性方程组如下：＝2、第一步：如果a11!=0,令li1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i个方程上,得同解方程组：a(1)11a(1)12...a(1)1nx1b(1)1a(1)21a(1)22...a(1)2nx2b(1)2 .......=.a(1)n-11 a(1)n-12 . .a(1)n-1nxn-1b(1)n-1a(1)n1a(1)n2. . . a(1)nnxnb(1)n简记为：A(2)x=b(2)其中a(2)ij = a(1)ij – li1 a(1)1j ,I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I – li1 b(1)1 ,I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22!=0,令li2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12...a(1)1nx1b(1)1a(1)22 ...a(1)2nx2b(1)2 .......=.. .a(n-1)n-1nxn-1b(n-1)n-1. . . a(n)nnxnb(n)n简记为：A(n)x=b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：n = b(n) / a(n)nni = ( b(k)k - a(k)kjxj ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。