高一数学下学期第一次联考试题

2021—2022学年度下学期龙西北八校联合体期中考试高一数学试卷试题总分：150分；考试时间：120分钟；第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求）1．设集合{}2|430M x x x =-+≥，{}2log 1N x x =≤，则集合M N ⋂＝（）A ．(,1]-∞B ．(]0,1C ．[1,2]D ．(],0-∞2．已知复数1i1iz +=-，以下结论正确的是（）A ．2022z 是纯虚数B ．|1|2z +=C ．1z z ⋅=-D ．在复平面内，复数i z z +⋅对应的点位于第三象限3．设,a b是不共线的两个非零向量，已知2AB a pb =+ ，,2BC a b CD a b =+=- ，若,,A B D三点共线，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．-2D ．-14．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在线段OB 上且13OE OB =，若(),AE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ=（）A ．29B ．13C ．1D ．23-5．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离分别为5km ，8km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东70°方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东50°方向上，则灯塔A 与B 的距离为（）A ．6kmB ．C ．7kmD ．6．已知ABC 中，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列命题正确的有（）A ．若ABC 为等边三角形且边长为2，则2AB BC ⋅=B ．若“sin sin A B >”是“A B >”的充分不必要条件C ．若满足()()a b c a b c ab +-++=，则120C ∠=︒D ．若222sin sin cos 1A B C ++>，则ABC 为锐角三角形7．在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则()PA PC PB +⋅的最小值是（）A ．58-B ．12-C ．38-D ．14-8．定义在实数集R 上的奇函数()f x 恒满足()()11f x f x -=+，且()0,1x ∈时，()142xf x =+，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．52B ．52-C ．1D ．172-二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得不得分）9．下列命题中不正确的是（）A ．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥D ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱10．已知向量(2,1)a = ，(3,1)b =-，则（）A ．与向量a方向相同的单位向量是⎝⎭B ．()a b a+⊥C ．向量a 在向量b 上的投影向量是D ．25a b += 11．下列有关命题的说法正确的是（）A ．若集合{}2440A xkx x =++=∣中只有两个子集，则1k =B ．()2()lg 23f x x x =-++的增区间为(,1)-∞C ．若α终边上有一点(3,4)P -，则()π9sin cos π225αα⎛⎫++=-⎪⎝⎭D ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π12．已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且3C π∠=，2c =，则（）A ．cos cos b A aB +=B ．ABC 周长的最大值为6C ．cos cos BA的取值范围为)+∞D ．AB AC ⋅uu u r uuu r 的最大值为23+第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若向量a →，b →满足2a →=，1b →=，a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，则2a b →→+=______.14．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为__________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝6，2a cos C ＋c ＝2b ，则△ABC 面积的最大值是________．16．如图在AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点，过点M 的直线与线段OA ，OB 分别交于E ，F （不与端点重合）.设= OE pOA ，=OF qOB ，则p q +的最小值为________.四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知复数()()22233i m m z m m m m--=+-∈R ．（Ⅰ）当m 取什么值时，复数z 是纯虚数？（Ⅱ）当1m =时，求4izzz ++．18．已知()2,1a =r，b = (1)若//a b r r，求b 的坐标；(2)若()()52a b a b -⊥+ ，求a 与b 的夹角.19．在①sin B A =；②cos cos 2cos b C c B B +=；③sin c B =一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin A B A C +-=，b =______.20．在ABC 中，已知sin sin sin a b Ba B A+=-且()cos cos 1cos2A B C C -+=-.（1）试确定ABC 的形状；（2）求a cb+的取值范围.21．在复平面内，O 是原点，OA ，OB 对应的复数分别为2cos 23i x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()22x i ++2cos 23x π⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，i 为虚数单位.设函数()f x OA AB =⋅ .（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()y f x m =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，求实数m 的取值范围.22．已知函数1()xx f x a a=-（0a >且1a ≠）.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并证明；(2)若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x R ∈上恒成立，求实数b 的取值范围；(3)若()312f =且221()2()xxh x a mf x a =+-在[)1,x ∞∈+上最小值为2-，求m 的值.1．B 【分析】先根据一元二次不等式和对数不等式的求解方法求得集合M 、N ，再由集合的交集运算可得选项．【详解】解：由2430x x -+≥得()()130x x --≥，解得1x ≤或3x ≥，所以集合{}(][)2|43013M x x x =-+≥=-∞+∞ ，，，由2log 1x ≤得22log log 2x ≤，解得02x <≤，所以集合{}(]2|log 10,2N x x =≤=，所以(]01M N = ，，故选：B ．2．D 【分析】利用复数除法运算法则化简可得i z =，根据i 的幂运算的周期性、模长的定义、共轭复数定义和复数的乘法运算、复数对应的点坐标来依次判断各个选项即可.【详解】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z +++====--+对于A ，20222022450522i i i =1⨯+===- z ，∴2022z 不是纯虚数，A 错误；对于B ，1i+1+==z ，B 错误；对于C ，()2i i i 1z z ⋅=⋅-=-=，C 错误；对于D ，2i i i 1i z z +⋅=-+=-- ，i z z ∴+⋅对应的点为()1,1--，位于第三象限，D 正确.故选：D.3．D 【分析】由向量加法得BD ，由,,A B D 三点共线知AB ，BD共线，结合平面向量基本定理可解.【详解】因为,,A B C ，故存在实数λ，使得AB BD λ=，又2BD BC CD a b =+=- ，所以22a pb a b λλ+=- ，因为,a b不共线，故22p λλ=⎧⎨=-⎩，即1,1p λ==-.故选：D 4．A 【分析】由平面向量的线性运算用,AB AD 表示出A E，得出,λμ即可得结论．【详解】矩形ABCD 中，13OE OB=12221(1()33333AE AD DE AD DO AD DB AD AB AD AB AD =+=++=+=+-=+，所以23λ=，13μ=，29λμ=．故选：A ．5．C 【分析】在ABC 中，利用余弦定理求解.【详解】解：如图所示：在ABC 中，5,8,60CA CB C === ，由余弦定理得：222co 2s =+-⋅⋅AB A B A CB C C C C ，12564258492=+-⨯⨯⨯=，所以7AB =，故选：C6．C 【分析】A.利用平面向量的数量积定义求解判断；B.利用正弦定理判断；C.利用余弦定理判断；D.由222sin sin cos 1A B C ++>，转化为2220a b c +->，再利用余弦定理判断.【详解】A.因为ABC 为等边三角形且边长为2，所以222cos 23π⋅=⨯⨯=- AB BC ，故正确；B.由正弦定理得：2sin sin sin a b c R A B C ===，则sin ,sin 22a b A B R R==，所以sin sin A B >等价于22a b R R>，即a b >，则A B >，故为充要条件，故错误；C.因为()()a b c a b c ab +-++=，即222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，因为(),C ∈0180，所以120C ∠=︒，故正确；D.因为222sin sin cos 1A B C ++>，即222sin sin sin 0A B C +->，即2220a b c +->，所以222cos 02a b c C ab+-=>，则角C 为锐角，但角A ，角B ，不确定，故错误；故选：C 7．A 【分析】建立如图所示坐标系设(,)P x y ，根据数量积坐标公式即可求解最值．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(1,0),(1,2)A B C ，所以(1,)PB x y =--，(,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=-- ，故()(12)(1)PA PC PB x x +⋅=--+ 22315(22)()22428y y x y ⎛⎫⎛⎫--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以31,42x y ==时，()PA PC PB +⋅ 取得最小值58-．故选：A ．8．B 【分析】根据函数的奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．【详解】解： 奇函数()f x 恒满足(1)(1)f x f x -=+，(1)(1)f x f x ∴+=--，即(2)()f x f x +=-，则(4)(2)f x f x +=-+，即(4)()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，所以125533111115((4)()()(1)(1)()(4)(2)2222222222f f f f f f f =-=-=-=-+=--=-=-+=-+=-，故选：B ．9．BCD 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及圆锥的定义即可判断.【详解】对于A ，四面体为三棱锥，每个面都是三角形，所以每个面可以作为底面，故A 正确；对于B ，用不平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的部分组成的几何体不叫棱台，故B 错误；对于C ，若以直角三角形的斜边为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体不叫圆锥.故C 错误；对于D ，如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，这个几何体就不是棱柱.故D 错误；故选：BCD.10．ABD 【分析】A 单位向量的定义求坐标；B 判断()0a b a +⋅=r r r 是否成立即可；C 由向量数量积的几何意义及投影向量的概念化简计算；D 向量模长的坐标计算判断.【详解】A ：由a方向相同的单位向量为55||a a ⎛ ⎝=⎭，正确；B ：(1,2)a b +=-，则()0a b a +⋅=r r r ，故()a b a +⊥ ，正确；C ：a 在b 上的投影向量是1||cos ,2||||||ba b b a a b b b b b ⋅<>⋅=⨯=-，错误；D ：2(4,3)a b +=-，则25a b += ，正确.故选：ABD 11．CD 【分析】给k 赋值判断集合中元素个数可解得相应子集个数，即可判断A ；利用复合函数的单调性判断B ；利用α终边所过点确定余弦值cos α，利用诱导公式化简判断C ；根据图像判断1cos 2y x =+周期性特点，并得到最小正周期判断出D.【详解】对于A 选项，{}2440A xkx x =++=∣中只有两个子集，可得A 中只有一个元素，当0k =时，{}1A =-也满足题意，故A 错误；对于B 选项，由2230x x -++>可得13,x -<<又∵223y x x =-++在(1,1)-上单调递增，由复合函数的单调性可知2()lg(23)f x x x =-++，的单调递增区间为(1,1)-，故B 错误；对于C 选项，由点(3,4)P -可得3cos 5α=，∴()()π9sin cos πcos cos =225αααα⎛⎫++=⋅-- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D 选项，作出函数1cos 2y x =+的图像如图所示，由图像可知1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π.故D 正确；故选：CD 12．BD 【分析】若cos cos b A a B +=，利用余弦定理化简可得c =即可判断A ；由余弦定理结合均值不等式可判断B ；利用三角函数恒等变换的应用可得cos 1cos 2B A A =-+，根据正切函数的性质即可判断C ；由题意根据正弦定理，平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求)23AC AB A π⋅=++，进而根据正弦函数的性质可判断D ；【详解】对于A ，若cos cos b A a B +=，则可得22222222b c a a c b b a bc ac+-+-⋅+⋅，可得22c =，解得c 2c =，故A 错误．对于B ，由余弦定理得：()2222221cos 222a b ab c a b c C ab ab +--+-===，则()()222343324a b a b ab a b +⎛⎫+-=≤=+ ⎪⎝⎭，所以4a b +≤，ABC 周长为46a b c c ++≤+=，所以ABC 周长的最大值为6，故B 正确；对于C，222cos()cos cos sin sin cos 1333cos cos cos 2A A AB A AA A πππ-+===-，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A 的取值范围为()(0,,+∞⋃-∞，所以cos cos B A的取值范围为(-∞，12)(2--⋃，)∞+，故C 错误；对于D，由正弦定理得，则sin sin sin 3c a b C A B ===，则b B =，cos 2cos 2cos cos AC AB bc A b A B A B A ⋅===⨯= ，23B A π=-，2sin 3AC AB A A π⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭21sin 4cos 2A A A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭sin cos A A ()121cos22cos22sin22A A A A A A ⎫=++=++=+⎪⎪⎝⎭2233A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.∵203A π<<，4023A π<<，52333A πππ<+<，则当232A ππ+=，即12A π=时，AC AB ⋅2，故D 正确；故选：BD.13【解析】先根据a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，2a →=得34a b →→⋅=，故2a b →→+==【详解】解：由于a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭，2a →=，所以0a ab →→→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，即34a b →→⋅=，所以2a b →→+====【点睛】本题考查向量模的求解，向量垂直的表示，考查运算能力，是基础题.14【分析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意，由29S r rl πππ=+=和2l r ππ=求解.【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，因为圆锥的表面积为9π，所以29S r rl πππ=+=，又侧面展开图是一个半圆，所以2l r ππ=，联立求得r =，15．【分析】先由2cos 2a C c b +=求出3A π=，然后利用余弦定理结合基本不等式可得36bc，最后利用三角形面积公式即可求解【详解】由2cos 2a C c b +=，得2sin cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin A C C B A C A C +==+，化简得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=，2222cos 2a b c bc A bc bc=+-- 即36bc，11sin 3622ABC S bc A =⨯⨯ 当且仅当b ＝c ＝6时，取“＝”．故答案为：16．35+【分析】设OA a = ，OB b = ，OM xa yb =+，由已知条件结合向量的线性运算以及平面向量共线定理，求出,x y 的值，可得OM ，进而可利用a 、b 表示EM ，EF ，再根据EM ，EF共线即可求出,p q 满足的关系，利用基本不等式即可求p q +的最小值.【详解】设OA a = ，OB b = ，OM xa yb =+，则(1)(1)AM OM OA x OA yOB x a yb =-=-+=-+ ，12AD OD OA a b =-=-+，因为A ，M ，D 三点共线，所以AM ，AD 共线，设AM t AD =uuu r uuu r 即(1)x a yb -+ 12t a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 所以112x ty t -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，可得21x y +=①，()1BM OM OB xa y b =-=+- ，13BC OC OB a b =-=- ，又C ，M ，B 三点共线，所以BM ，BC共线，设BM k BC = 即()113xa y b k a b ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以131x ky k⎧=⎪⎨⎪-=-⎩可得：31x y +=②，联立①②，解得1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1255OM a b =+ ，因为12125555EM OM OE a b pa p a b ⎛⎫=-=+-=-+⎪⎝⎭，EF OF OE qb pa =-=- ，因为EM ，EF 共线，设EM EF λ= ，即()1255p a b qb pa λ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以1525p p qλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去λ可得：25p q pq +=即125p q +=，所以112123()3555q p p q p q p q p q ⎛⎫⎛⎫++=++=++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2125q p p q p q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1525p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以p q +的最小值为35+.故答案为：35+.17．（Ⅰ）1m =-；（Ⅱ）20.【分析】（I ）利用复数为纯虚数的充要条件即可得出；（II ）利用复数的运算法则即可得出【详解】（Ⅰ）若z 为纯虚数，则2223030m m mm m ⎧--=⎪⎨⎪-≠⎩，解得1m =-．故当1m =-时，复数z 是纯虚数．（Ⅱ）当1m =时，42i z =--，∵()()42i 42i 20z z ⋅=---+=，∴2020204i 42i 4i izz z ===++--++-．18．(1)()4,2或()4,2--；(2)3π.【分析】（1）设()2,b a λλλ== ，利用向量的模长公式可求得实数λ的值，即可得出向量b 的坐标；（2）由已知可得()()520a b a b -⋅+= ，可求得cos ,a b <>的值，利用平面向量夹角的取值范围即可得解.(1)解：因为//a b r r，设()2,b a λλλ== ，则b === 2λ=±.因此，()4,2b =或()4,2--.(2)解：由已知可得a == ()()52a b a b -⊥+ ，则()()22525233150a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⋅-= ，可得5a b ⋅=，所以，1cos ,2a b a b a b ⋅<>==⋅，0,a b π≤<>≤ ，则,3a b π<>= .19．答案见解析.【分析】根据()sin sin sin A B A C +-=可求B 的大小.若选①：根据正弦定理角化边，由sin B A得b =，根据余弦定理可求a 和c ；若选②：根据余弦定理角化边，由cos cos 2cos b C c B B +=可得a 和B 的关系，再结合余弦定理可求a 和c ；若选③：由sin c B =c ，再根据余弦定理可求a .【详解】在ABC 中，πC A B =--，∴()sin sin C A B =+，∵()sin sin sin A B A C +-=，∴()()sin sin sin A B A A B +-=+，化简得sin 2sin cos A A B =，在ABC 中，sin 0A ≠，∴1cos 2B =，又∵0πB <<，∴π3B =，又∵b =2222cos b a c ac B =+-，即223a c ac +-=，若选①，∵sin B A =，即b =，又223a c ac +-=，∴1a =，2c =，故此时ABC存在，其周长为3若选②，∵cos cos 2cos b C c B B +=，∴2222222cos 22a b c a c b b c B ab ac+-+-⨯+⨯=，即12cos 212a B ==⨯=，又223a c ac +-=，∴2c =，故此时ABC 存在，其周长为3若选③，∵sin c B =4c =，又∵223a c ac +-=，∴24130a a -+=，该方程无解，∴三角形不存在.20．（1）直角三角形；（2）(.【分析】（1）根据正弦定理化简整理得到222b a c =+即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将a c b+表示成sin cos A A +，接着根据三角函数的知识求解取值范围即可.【详解】解：（1）由正弦定理得：a b ba b a+=-，所以22b a ab -=①因为()cos cos 1cos2A B C C -+=-，所以()()2cos cos 2sin .A B A B C --+=所以2sin sin sin A B C =，2ab c =②把②代入①得222222b a c b a c -==+即所以ABC 是直角三角形（2）由（1）知2B π=，所以,22A C C Aππ+==-所以sin sin cos 2C A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.根据正弦定理得sin sin sin cos sin 4a c A C A A A b B π++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭因为2,ac ab c a c <=<，所以0,4442A A ππππ<<<+<sin 1,1244A A ππ⎛⎫⎛⎫<+<<+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a cb+的取值范围是(.21．（1）[,],36k k k Z ππππ-+∈；（2）[1,2).【分析】由题设知AB OB OA =-，确定其坐标，应用向量数量积的坐标表示、两角和余弦公式、辅助角公式，可得()2sin(2)6f x x π=+.（1）根据正弦函数的单调区间，应用整体法求()f x 的单调递增区间即可；（2）将问题转化为y m =与()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，根据三角函数的性质有()[1,2]f x ∈-，进而可求m 的范围.【详解】由题设知：(2,cos(2))3OA x π=+ ，(22,2cos(2))3OB x x π=++ ，∴2,2)AB OB OA x =-=，则()22cos(2)cos 222sin(2)36f x OA AB x x x x x ππ=⋅=++==+ ，（1）由()f x 在222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈上单调增，∴()f x 在,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈上递增，即递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.（2）由题设知：2sin(2)6x m π+=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个根，而此时72666x πππ≤+≤，∴2sin(2)[1,2]6x π+∈-，即y m =与()f x 有两个交点，∴[1,2)m ∈【点睛】关键点点睛：（1）由向量减法的坐标表示求AB，进而根据向量数量积的坐标表示、两角和余弦公式、辅助角公式化简三角函数，进而研究其单调区间.（2）将问题转化为两个函数的交点问题，结合三角函数性质求参数范围.22．(1)()f x 为奇函数，证明见解析.(2)()3,5-.(3)2m =.【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义可得证；（2）由（1）得出()f x 是定义域为R 的奇函数，再判断出()1xxf x a a =-是R 上的单调递增，进而转化为()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而可求解；（3）利用()312f =，可得到2a =，所以211()222222x x x x h x m ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令122xx t =-，则22()()2h x t m m =-+-，进而对二次函数对称轴讨论求得最值即可求出m 的值.【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为R ，又11()()xx x x f x a a f x a a---=-=-=-，∴()f x 为奇函数.（2）解：211(1)0a f a a a-=-=>，∵0a >，∴210a ->，1a >或1a <-（舍）.∴()f x 单调递增.又∵()f x 为奇函数，定义域为R ，∴2()(4)f x bx f x +>-，∴所以不等式等价于24x bx x +>-，2(1)40x b x +-+>，2(1)160b ∆=--<，∴22150b b --<35b -<<.故b 的取值范围为()3,5-.（3）解：13(1)2f a a =-=，解得2a =（2-舍），2222111111()222222222xx x x x x x x x x x x h x a m a a m a m a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令122xx t =-，∵1x ≥，∴32t ≥，222()22()2h x y t mt t m m ==-+=-+-，当32m ≥时，2min 22y m =-=-，解得2m =（2-舍），当32m <时，min 93224y m =-+=-，解得2512m =（舍），综上，2m =.。

对于 D：通过复数 z 在复平面内对应的点求出 sina 即可判断.
【详解】对于
A：
z
=
10 1- 2i
=
(1
10(1+ 2i - 2i)(1+
)
2
i)
=
2
+
4i
，\
z
=
2
-
4i
，A
正确；
对于 B： z - 2 = 2 + 4i - 2 = 4i ，为纯虚数，B 正确；
对于 C： z = 2 + 4i ，其在复平面内对应的点为 (2, 4) ，在第一象限，C 错误；
【详解】由余弦定理得： b2 = a2 + c2 - 2ac cos B = 9 + c2 - 3c = 13 ，即 c2 - 3c - 4 = 0 ，
解得： c = -1 （舍）或 c = 4 ，\c = 4 . 故选：D. 6．B 【分析】利用线面平行的性质定理及三角形的中位线定理，结合勾股定理即可求解.
江苏省镇江市四校（扬中二中，句容实验高中等）2022-
2023 学年高一下学期 5 月联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．平面向量
ar
与
r b
的夹角为 π
，若 ar
= (2, 0),
r b
= 1 ，则
所以四边形 OABC 为平行四边形， 所以 SOABC = BO × AO = 4 2 ´ 2 = 8 2 ． 故选：B. 3．B 【详解】试题分析：由已知得
答案选 B.
，因此

湖北省名校协作体2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．全集U =R ，设集合{}213,2601x A xB x x x x ⎧⎫-=≤=+-<⎨⎬+⎩⎭，则()U A B ⋂=ð（）A ．32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(2,1]--C ．(2,1)--D ．∅2．在ABC 中，D 为AC 中点，连接BD ，若2,BE ED AE x AB y AC ==+，则x y +的值为（）A ．14B ．13C ．23D ．13．已知1211log 2,2,222aa a ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,4)2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．(1,4)2⎫⎪⎝⎭C ．(1,)⎫+∞⎪⎝⎭D ．(1,)2⎛+∞ ⎝⎭4．已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．43-B ．43C ．34-D ．345．已知2364log ,log 2,log 43a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c a b<<6．已知函数()tan()(0,0π)f x x ωϕωϕ=-><<与直线y a =交于,A B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，若将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后恰好关于原点对称，则ϕ的最大值为（）A ．π8B ．π4C ．3π4D ．7π87．我们知道，函数()f x 的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()f x a b +-为奇函数．已知函数()2()2(2)f x x x mx n =+++的对称中心为(1,0)，且与函数3()2g x x k =+的图象有且仅有一个交点，则k 的值为（）A ．5-B ．2-C ．16D ．228．如图，假定两点P 、Q 以相同的初速度运动，分别同时从A 、C 出发，点Q 沿射线CD 作匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()PB y =，那么定义x 为y 的纳皮尔对数，对应关系为7107110e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，e 2.718≈），则P 从靠近A 的第一个四等分点移动到靠近B 的三等分点经过的时间约为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln 5 1.6≈≈≈）A ．0.7秒B ．0.8秒C ．1.1秒D ．1.2秒二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．“22ax bx <”是“a b <”的充分不必要条件B ．函数()2()5mf x m m x =+-是幂函数，且在(0,)+∞单减，则2m =C ．命题“21,1x x ∀>->”的否定是“21,1x x ∃≤-≤”D ．函数2()log (1)1(1)a f x x a =-+>过定点(2,1)和(0,1)10．已知函数()sin cos 2f x x x =+，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．π2x =为函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 在[π,π]-上有且仅有3个零点11．函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，且(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =-，则下列不等式成立的是（）A ．ππcos sin 66f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭>B ．(sin1)(cos1)f f <C ．2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(cos2)(sin 2)f f <12．已知正数x ，y 满足3ln 226x x y y-=+-，则方程3y x m x y xy =++有解的m 的取值可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．6三、填空题13．已知||3,||4,a b a ==r r r 与b的夹角为π3，若()ka b a -⊥ ，则k 的值为________．14．已知函数()e e x x f x -=-，关于θ的不等式(cos27)(42cos )0f f m m θθ-+-≥对任意的ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围为________．15．函数1()f x x a a x=+-+在区间[1,2]上的最大值为5，则=a ________．16．已知函数π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π5π,46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程221()2()022m f x m f x m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭恰有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是________．四、解答题17．已知π11πsin(2π)cos(π)cos cos 22()9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．(1)化简()f α；(2)已知()2f α=，求sin 2α的值．18．已知函数()()()211R f x m x mx m =+--∈(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；(2)若1m <-，解关于x 的不等式()0f x ≥．19．如图，有一块矩形空地ABCD ，要在这块空地上开辟一个内接四边形EFGH 为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知2(3),6AB a a BC =>=，且22AE AH CF CG ===，设CF x =，绿地EFGH 面积为()S x．(1)写出()S x 关于x 的函数解析式，并求出()S x 的定义域；(2)当CF 为何值时，绿地面积()S x 最大？并求出最大值．20．已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的图象相邻对称中心之间的距离为π2．(1)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；(2)若函数()()g x f x b =-，且()g x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求b 的取值范围及12x x +的值．21．已知函数2()log (2)21x f x a x ⎡⎤=-+-⎣⎦，函数()22x xg x t -=-⋅为偶函数．(1)求实数t 的值并写出()g x 的单调递增区间；(2)若对于1[0,)x ∀∈+∞，2x ∀∈R ，都有()()1222log 2f x g x a +≤+成立，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()2(4)1f x x a x ax b =+--++和2()8ln |2|g x ax x x =---．(1)若1,32a b ==，画出()f x 的简图并解不等式()8f x ≥；(2)若()f x 的最小值为1b -，求a 的值；并求出满足不等式(1)(21)g k g k +<-的k 的范围．参考答案：1．B【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A 与集合B ，运用集合的补集、交集计算即可.【详解】因为(24)(1)011243300210 111x x x x x x x x x x --+≤⎧----≤⇒-≤⇒≤⇒≤-⎨+≠+++⎩或1x >-，所以{|2A x x =≤-或1}x >-，所以U {|21}A x x =-<≤-ð，又因为2326022x x x +-<⇒-<<，所以3{|2}2B x x =-<<，所以()U {|21}A B x x =-<≤- ð.故选：B.2．C【分析】以,AB AC为一组基底，利用平面向量的线性运算得到,AD ED 的表达式，进而得到1133AE AB AC =+，由此得解.【详解】因为D 为BC 边的中点，所以12AD AC = ，12BD AD AB AC AB =-=-，因为2BE ED =，所以1111133263ED BD AC AB AC AB ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭ ，所以1111126333AE AD ED AC AC AB AB AC =-=-+=+ ，又AE x AB y AC =+ ，因此有13x y ==，则23x y +=.故选：C 3．A【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性解相关不等式，即可求得a 的取值范围.【详解】对于1log 22a<，有21log log 2a a a <，当01a <<时，对数函数log a y x =在()0,∞+上为减函数，所以212a >，可得02a <<，当1a >时，对数函数log a y x =在()0,∞+上为增函数，所以212a <，可得1a >；所以对于1log 22a<，有02a <<或1a >；对于122a⎛⎫< ⎪⎝⎭，有11122a-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以1a >-；对于122a <，有11224a <，因为12y x =在[)0,∞+上为增函数，所以04a ≤<；综上：02a <<或14a <<，即(1,4)a ⎛∈ ⎝⎭.故选：A.4．B【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式即可求出πtan 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】因为πππ442θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ3sin cos 445θθ⎛⎫⎛⎫+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又π2π2π(Z)2k k k θ-<<∈，∴πππ2π2π(Z)444k k k θ-<+<+∈π4cos 45θ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，π4sin 45θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin π44tan π43cos 4θθθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴-==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，ππ4tan tan 443θθ⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.5．A【分析】根据对数函数单调性借助中间值12即可得出a b <，再利用中间值23可得b c <，综合即可得出结论.【详解】由对数函数单调性可知2241log log 32a ==<，331log 2log 2b =>=，可得a b <；又因为89<，即1233293=<，所以33233log 2log 23b ==<，即23b <；而32644636==>，即2346>，所以23662log 4log 63c ==>，即23c >，可得b c <；所以a b c <<.故选：A 6．C【分析】确定函数的最小正周期，可求得3ω=，根据图像的平移变换可得平移后函数的解析式，结合函数的对称性可求出ππ,Z 42k k ϕ=-∈，依据0πϕ<<，即可求得答案.【详解】由题意知，函数()f x 的最小正周期π3T =,则ππ3ω=,得3ω=,所以()()tan 3f x x ϕ=-，将函数()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到ππtan 3()tan(3)124y x x ϕϕ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦的图象，因为该图象关于原点对称，则ππ,Z 42k k ϕ-=∈，所以ππ,Z42k k ϕ=-∈当0k >时，Z k ∈，0ϕ<，不合题意，当0k =时，π4ϕ=，又0πϕ<<，所以当1k =-时，ϕ取3π4，当2,3,k ≤-- 时，5π4ϕ≥，不合题意，故ϕ最大值为3π4，故选：C 7．D【分析】根据题意可得(1)y f x =+是奇函数，利用奇函数的定义计算出54m n =-⎧⎨=⎩，然后由函数3()2g x x k =+的图象与()f x 有且仅有一个交点可得2612160x x k +-+=有且仅有一个解，计算判别式即可【详解】由题意可得()2()2(2)f x x x mx n =+++的对称中心为(1,0)等价于(1)f x +是奇函数，因为2(1)2(3)(1)(1)y f x x x m x n ⎡⎤=+=+++++⎣⎦2(26)(2)1x x m x m n ⎡⎤=++++++⎣⎦()()()()322226216261x m x m n m x m n ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++⎣⎦⎣⎦所以6(1)02(2)60m n m ++=⎧⎨++=⎩，解得54m n =-⎧⎨=⎩，所以()()()2322254261216f x x x x x x x =+-+=--+，因为函数3()2g x x k =+的图象与()f x 有且仅有一个交点，所以3322261216x k x x x +=--+，即2612160x x k +-+=有且仅有一个解，()Δ14424160k ∴=--=，解得22=k .故选：D 8．B【分析】设点P 运动到靠近点A 的第一个四等分点时，1CQ x =，设点P 运动到靠近点B 的三等分点时，2CQ x =，计算出1x 、2x ，可求得21710x x -的值，即为所求.【详解】由题意可知，P 、Q 两点的初速度为710单位/秒，设点P 运动到靠近点A 的第一个四等分点时，1CQ x =，则1710773110104e x ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，可得71410ln3x =，设点P 运动到靠近点B 的三等分点时，2CQ x =，则2710771110103e x ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，可得7210ln 3x =，故所求时间为21749ln 3ln ln 2ln 32ln 20.81034x x -=-==-≈（秒），故选：B.9．AD【分析】根据充分条件和必要条件的定义知A 正确，验证得到B 错误，根据全称命题的否定得到C 错误，计算定点得到D 正确.【详解】对选项A ：22ax bx <，则a b <；若a b <，当0x =时，22ax bx <不成立，所以“22ax bx <”是“a b <”的充分不必要条件，故A 正确；对选项B ：2m =时，2()f x x =在(0,)+∞单增，故B 错误；对选项C ：命题“21,1x x ∀>->”的否定是“21,1x x >-≤∃”，故C 错误；对选项D ：取()211x -=，得到2x =或0x =，则函数2()log (1)1(1)a f x x a =-+>过定点(2,1)和(0,1)，故D 正确.故选：AD.10．BCD【分析】根据函数周期性的定义可判断A ；根据复合函数单调性的判断方法可判断B ；根据函数对称轴的性质可判断C ；求出函数()f x 在[π,π]-上的零点可判断D.【详解】因为x ∈R 时，(π)sin(π)cos 2(π)sin cos 2()f x x x x x f x +=+++=-+≠，即π不是函数()f x 的周期，则函数()f x 的最小正周期不是π，A 错误；函数2219()sin cos 22sin sin 12(sin 48f x x x x x x =+=-++=--+，当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，设sin ,[1,0]t x t =∈-，此时函数sin t x =为增函数，而219()2()48g t t =--+在1(,]4-∞上单调递增，而()sin cos 2f x x x =+可看作由219()2()48g t t =--+和sin ,[1,0]t x t =∈-复合而成，故函数()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，B 正确；因为()sin(cos 2()sin cos 2()ππ)πf x x x x f x x =+=+=---，即ππ)()2(2f x f x +=-，所以π2x =为函数()f x 的一条对称轴，C 正确；由于2()2sin sin 1f x x x =-++，令()0f x =，即22sin sin 10x x -++=，即22sin sin 10x x --=，即()()2sin 1sin 10x x +-=，可得1sin 2x =-或sin 1x =，当[π,π]x ∈-时，由1sin 2x =-可得π6x =-或5π6x =-，由sin 1x =，可得π2x =，故函数()f x 在[π,π]x ∈-上有且仅有3个零点，D 正确，故选：BCD 11．BC【分析】由所给条件推出函数()f x 的周期和对称轴，根据()f x 在[0,1]的单调性，将选项中数据转化到区间[0,1]中，根据单调性判断选项.【详解】(1)f x + 为奇函数，(1)(1)f x f x ∴-=-+，所以函数()f x 关于()1,0对称，(2)f x +为偶函数，则(2)(2)f x f x -+=+，所以()f x 关于2x =对称，又函数()f x 关于()1,0对称，所以()())2(2f x f x f x ==+--，即有()4()f x f x +=，所以()f x 周期为4，()()()()()()(4)2222f x f x f x f x f x +=++-==+=-，所以()f x 为偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =-，在[0,1]上单调递减，A 选项：ππ1cossin 066>>>，所以ππcos sin 66f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 选项：1sin1cos10>>>，所以(sin1)(cos1)f f <，故B 正确；C 选项：12πcos 3122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2πsin 32f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，10122<<<，所以12f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭⎝⎭，即2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；D 选项：()()π(cos 2)(cos 2)cos π2sin 22f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()(sin 2)sin π2f f =-，ππ02<π222<--<，则()π0sin 2sin π212⎛⎫<-<-< ⎪⎝⎭，所以πsin 22f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()sin π2f -，即(cos 2)(sin 2)f f >，故D 错误；故选：BC 12．BCD【分析】根据换元法和均值不等式即可求解.【详解】由对数函数定义域知30x ->且0x >，令3xt y-=，所以3x ty -=，所以3ln226xx y y-=+-可转化为ln 2(1)t y t =-，作出函数()ln n f t t ==与函数()()21n g t y t ==-，两个函数图像的公共交点是(1,0)，所以1t =，所以3x y +=，所以222332333*********y x y x xy x y xy xy xy xy x y +++++=≥=+≥+=+=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当32x y ==时等号成立，所以3y x x y xy ++的最小值为103，方程3y x m x y xy =++有解的m 的范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：BCD.13．23【分析】由()ka b a -⊥ ，得到()960ka b a k -⋅=-=，再求出k 的值.【详解】()ka b a -⊥，则2π()934cos 9603ka b a ka a b k k -⋅=-⋅=-⨯⨯=-= ，则23k =.故答案为：23.14．[3,)+∞【分析】根据()f x 的奇偶性以及单调性，将问题转化成对任意的ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，cos 2742cos m θθ-≤-+恒成立，结合二倍角公式以及三角函数的值域即可最值进行求解.【详解】由于()()e e x xx f f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，且由e x y =，e x y -=-单调递增，故()e e x x f x -=-在定义域内单调递增，故(cos 27)(42cos )0(cos 27)(42cos )f f m m f f m m θθθθ-+-≥⇒-≥-+，因此()cos 2742cos m θθ-≥-+，由于ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，所以[]cos 0,1θ∈，因此2cos 40θ-<，故对任意的ππ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，cos 2742cos m θθ-≤-+恒成立，由余弦的二倍角公式可得2cos 272cos 8cos 242cos 42cos θθθθθ--==+-+-+，所以cos 2m θ≥+恒成立即可，故()max cos 23m m θ≥+⇒≥，故答案为：[3,)+∞15．72#3.5【分析】设()1g x x a x=+-，根据对勾函数的性质，求得()g x 最小值为2a -，最大值为52a -，结合绝对值的定义和题设条件，分三种情况讨论，求得函数()g x 的最大值，列出方程，即可求解.【详解】设()1g x x a x=+-，根据对勾函数的性质，可得函数()g x 在区间[1,2]为单调递增函数，当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为2a -，当2x =时，函数()g x 取得最大值，最大值为52a -，因为1()f x x a a x=+-+在区间[1,2]上的最大值为5，所以当20a ->，即2a <时，可得函数()max 5()252f x f a a ==-+=，即5()52a a -+=，此时方程无解；当20a -≤且502a -≥，即522a ≤≤时，函数max ()5f x a ==，不符合题意，舍去；当502a -<，即52a >时，可得函数()max ()125f x f a a ==-+=，即25a a -+=，解得72a =，综上可得，实数a 的值为72.故答案为：72#3.5.16．1,122⎡⎫⎛⎫-⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭ 【分析】将原方程可化为1[()][()()]02f x m f x m --+=，得到1()f x m =，21()2f x m =+，求得函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值域，作出其图象，利用数形结合法求解.【详解】由221()2()022m f x m f x m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭可化为1[()][()()]02f x m f x m --+=，解得1()f x m =，21()2f x m =+，因为π5π,46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4π2,363x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又ππ1sin 462f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，5π4πsin 632f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象如图所示：方程221()2()022m f x m f x m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭恰有两个不同的实根，等价于1()2f x m +=和()f x m =各有一个实数解（且不相同）或1()2f x m +=有两个不同的实数解且()f x m =无实数解或者()f x m =有两个不同的实数解且1()2f x m +=无实数解；①当m 1≥时，则13m 22+≥，1()2f x m +=无实数解，()f x m =最多一个实数解，不符合题意；②当112m <<时，则13122m <+<，()f x m =有两个不同的实数解且1()2f x m +=无实数解，符合题意；③当12m =时，则112m +=，()f x m =有两个不同的实数解且1()2f x m +=有一个实数解，故此时共三个不同的实数解，不符合题意；④当102m ≤<时，则11122m ≤+<，()12f x m =+有两个不同的实数解且()f x m =有一个实数解，故此时共三个不同的实数解，不符合题意；⑤当02m -≤<时，则1112222m -+<+<，1()2f x m +=和()f x m =各有一个实数解（且不相同），符合题意；⑥当2m <-时，则11222m +<-，1()2f x m +=最多一个实数解，()f x m =无实数解，不符合题意；综上，m 的取值范围为1,0,122⎡⎫⎛⎫⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭ .故答案为：1,122⎡⎫⎛⎫-⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭【点睛】关键点睛：这道题的关键之处在于将方程转化成1()2f x m +=和()f x m =的实数解的个数情况，通过数形结合对m 进行讨论，情况较多，要做到不重不漏17．(1)()tan f αα=-；(2)45-.【分析】（1）利用诱导公式化简()f α即可；（2）由题可得tan 2α=-，然后利用二倍角正弦结合弦化切的思想即得.【详解】（1）π11πsin(2π)cos(π)cos cos 22()9πcos(π)sin(3π)sin(π)sin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭()()()()()2sin cos sin sin tan cos sin cos αααααααα----==--；（2）()tan 2f αα=-= ，tan 2α∴=-.所以2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos .sin cos tan 15ααααααααα====-++18．(1)10m -≤≤(2)答案见解析【分析】（1）1m =-时结合一次函数的单调性可得结果；1m ≠-由二次函数的开口方向、对称轴和单调性列出不等式组，可求出m 的取值范围；（2）因式分解后，分2m =-，21m -<<-和2m <-三种情况讨论，求出不等式组的解集即可.【详解】（1）()f x 在(0,)+∞单增，若10m +=，则1,()1m f x x =-=-，在(0,)+∞单增，所以1m =-；若1,()m f x ≠-在(0,)+∞单增，则1002(1)m m m +>⎧⎪-⎨≤⎪-+⎩，解得到，10m -<≤，综上所述：10m -≤≤；（2）若1,()0m f x <-≥，则2(1)10m x mx +--≥，即((1)1)(1)0m x x ++-≥，所以1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭，若11+=-m 即2m =-，不等式的解集为{1}；若11m +>-即21m -<<-，此时111m ->+，不等式的解集为11,1m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；若11m +<-即2m <-，此时111m -<+，不等式的解集为1,11m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；综上，当2m =-时，不等式的解集是{1}；当21m -<<-时，不等式的解集是11,1m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦；当2m <-时，不等式的解集是1,11m -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦．19．(1)()S x 29(39)2x a x =-++，定义域为(0,3]；(2)答案见解析.【分析】（1）求得22AEH S x = ，212CGF S x =，()(6)BEF S a x x =--△，(2)(3)DGH S a x x =--△，利用()CGH AEH DGH BEF ABCD S x S S S S S =---- 矩形化简求解即可；（2）根据二次函数的性质分类讨论，结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为22AE AH CF CG ===，CF x =，所以22AEH S x = ，212CGF S x =，1(22)(6)()(6)2BEF S a x x a x x =--=--△，1(2)(62)(2)(3)2DGH S a x x a x x =--=--△，所以()CGF AEH DGH BEF ABCD S x S S S S S =---- 矩形22122(3)(2)()(6)2x a x x a x a x x =--------29(39)2x a x =-++，由题意060206260222x x a x a x a<≤⎧⎪<≤⎪⎨≤-≤⎪⎪≤-≤⎩，解得03x <≤，所以()S x 的定义域为(0,3]；（2）因为()S x 的对称轴为323a x +=>，若3233a +<≤，则36,()a S x <≤在30,3a +⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在3,33a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2max 3(3)()32a a S x S ++⎛⎫==⎪⎝⎭；若333a +>，则6,()a S x >在(0,3]单调递增，所以max 27()(3)92S x S a ==-；综上，当36a <≤时，33a CF +=，2max 3(3)()32a a S x S ++⎛⎫==⎪⎝⎭；当6a >时，3CF =，max 27()(3)92S x S a ==-.20．(1)π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)31,00,22b ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122π3x x +=或π3-【分析】(1)利用三角恒等变化得π1()sin 262f x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由，图象相邻对称中心之间的距离为π2，可求得1ω=，即可得π1()sin 2,62f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭再根据正弦函数的单调性求解即可；(2)由题意可得π1sin 262x b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上有两个零点，设π26t x =-，则7π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,根据正弦函数的图象及对称性即可求得答案.【详解】（1）解：因为1cos 2π1()2sin 22262x f x x x ωωω+⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，由题意可以得()f x 的最小正周期为π2π2T =⨯=，即2ππ2ω=，所以1ω=，π1()sin 2,62f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x -≤-≤，由πππ2662x -≤-≤，得到π03x ≤≤，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单增区间为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）解：由()0g x =，可得()f x b =，即π1sin 262x b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，设π26t x =-，因为ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以7π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎣⎦,结合sin y t =的图象，又因为7π5π1sin()sin 662-==上所以1111,,1222b ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故31,00,22b ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦函数的对称性可得12πt t +=或12πt t +=-，当12πt t +=时，则有12ππ22π66x x -+-=，所以122π3x x +=；当12πt t +=-时，则有12ππ22π66x x -+-=-，12π3x x +=-；综上所述：31,00,22b ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；122π3x x +=或π3-.21．(1)1t =-，[0,)+∞(2)[1,2]【分析】（1）已知函数()22x x g x t -=-⋅为偶函数，利用()()g x g x =-求出参数t ，并根据指数函数的单调性即可分析出()g x 单调区间；（2）已知1[0,)x ∀∈+∞，2x ∀∈R ，()()1222log 2f x g x a +≤+成立，则()()122min 2log 2f x g x a +≤+⎡⎤⎣⎦，求出()22min ()log 22log 2g x a a +=+，可得[0,)x ∀∈+∞，22log (2)2122log 2xa x a ⎡⎤-+-+≤+⎣⎦恒成立，根据对数函数的单调性得21332xa ≥+⨯恒成立，求出max211332x ⎛⎫+= ⎪⨯⎝⎭，再根据对数函数的定义域，综合可求实数a 的取值范围.【详解】（1）∵()g x 为偶函数，∴()()g x g x =-恒成立，∴2222x x x x t t ---⋅=-⋅恒成立，即()(1)220x xt -+-=，∴1t =-∴()22x x g x -=+．()g x 的单调递增区间为[0,)+∞（2）2222()log 222log 2log 22log 2x x g x a a a a -+=++≥+=+，当且仅当122xx=即0x =时等号成立，∴()22min ()log 22log 2g x a a +=+由题意可得：2[0,),()22log 2x f x a ∀∈+∞+≤+恒成立，即22[0,),log (2)2122log 2xx a x a ⎡⎤∀∈+∞-+-+≤+⎣⎦恒成立，由2log 20a >有意义，得0a >，由()2log (2)21xa -+有意义，得(2)210x a -+>在[0,)+∞恒成立，即122x a <+在[0,)+∞上恒成立，设1()22xh x =+，易知()h x 在[0,)+∞上的值域为(2,3]，故2a ≤，所以02a <≤．又22[0,),log (2)2122log 2xx a x a ⎡⎤∀∈+∞-+-+≤+⎣⎦恒成立，即()22[0,)log (2)21log 22x xx a a ⎡⎤∀∈+∞-+≤⋅⎣⎦，恒成立，即(2)2122x x a a -+≤⋅恒成立，即21332xa ≥+⨯恒成立，0max 21211332332x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭，∴1a ≥．综上，实数a 的取值范围为[1,2]22．(1)图象见解析；{3x x ≤-或}1x ≥(2)12a =，423k k ⎧<<⎨⎩且32k ⎫≠⎬⎭【分析】（1）根据题意画出函数()f x 的图像，结合图像即可得到不等式的解集；（2）根据题意，结合韦达定理即可得到两根范围，得到函数()f x 最小值之后，根据函数单调性列出不等式，即可得到结果.【详解】（1）当1,32a b ==时，()2221242,(,2][,)74213122234,(2,)4x x x x f x x x x x x ∞∞⎧++∈--⋃+⎪⎪=+-++=⎨⎪--+∈-⎪⎩341848f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，由图知，()8f x ≥的解集为:{3x x ≤-或}1x ≥.（2）2()2(4)1h x x a x =+--的0∆>，设22(4)10x a x +--=两根为1x ，2x ，且12x x <，由12102x x =-<，故120x x <<．当1x x ≤或2x x ≥时2()241f x x x b =++-，此时有2(0)1()f b f x =-<，故()min 1()1f x f x b ==-代入得2112411x x b b ++-=-，即10x =（舍）或12x =-；当12x x x <<时2()2(24)1f x x a x b =-+-++，若12x <-时()f x 最小值大于1b -；若12x >-时()f x 最小值小于1b -；综上，由2112(4)10x a x +--=得12a =，又2()4ln |2|g x x x x =---关于2x =对称，且在(2,)+∞上单调递减，∴12212123k k k k ⎧+≠⎪-≠⎨⎪->-⎩解得:423k k ⎧<<⎨⎩且32k ⎫≠⎬⎭。

A. 函数 f (x) 的最小正周期为 π
C. x π 为函数 f (x) 的一条对称轴 2
【答案】BCD
B.
函数
f
(x)
在
π 2
,
0
上单调递增
D. 函数 f (x) 在[π, π] 上有且仅有 3 个零点
【解析】
【分析】根据函数周期性的定义可判断 A；根据复合函数单调性的判断方法可判断 B；根据函数对称轴的 性质可判断 C；求出函数 f (x) 在[π, π] 上的零点可判断 D.
数．已知函数 f (x) 2(x 2) x2 mx n 的对称中心为 (1, 0) ，且与函数 g(x) 2x3 k 的图象有且仅
有一个交点，则 k 的值为（）
A. 5
B. 2
C. 16
D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得
y
f
(x 1) 是 奇 函 数 ， 利 用 奇 函 数 的 定 义 计 算 出
x2
，则
1 107 3
107
1 107 e
，
可得 x2 107 ln 3 ，
故所求时间为
x2 x1 107
ln 3 ln
4 3
ln
9 4
2 ln 3
2 ln
2
0.8 （秒），
故选：B.
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中有
多项符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有错选的得 0 分，部分选对的得 2 分．
m 5 n 4 ， 然 后 由 函 数
g( x) 2x3 k 的图象与 f (x) 有且仅有一个交点可得 6x2 12x 16 k 0 有且仅有一个解，计算判别式