高考数学一轮复习考点知识专题讲解40---等比数列

高考数学一轮复习考点知识专题讲解

等比数列

考点要求

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系．

知识梳理

1．等比数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为

a n ＋1

a n

＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：

S n

＝⎩⎨⎧

na 1

，q ＝1，

a 1(1－q n

)1－q ＝a 1－a n

q

1－q ，q ≠1.

3．等比数列的性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．

(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .

(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．

(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . (5)若⎩⎨

⎧

a 1>0，q >1或⎩⎨

⎧

a 1<0，0

则等比数列{a n }递增．

若⎩⎨

⎧

a 1>0，0

或⎩⎨

⎧

a 1<0，q >1，

则等比数列{a n }递减．

常用结论

1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2

n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫1a n ，

{a n ·b n }，⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫a n b n 也是等比数列．

2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．(×) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .(×)

(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n

)

1－a

.(×)

(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．(×) 教材改编题

1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝1

2

，则公比q 等于()

A ．－12

B ．－2

C ．2

D ．±12

答案D

解析设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，

∴a 4＝a 2q 2，

∴q 2＝a 4a 2＝14，

∴q ＝±1

2

.

2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案5

解析∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，

∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2

＝25.

又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.

3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案1,3,9或9,3,1

解析设这三个数为a

q

，a ，aq ，

则⎩⎪⎨

⎪⎧

a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a

q

·aq ＝27，

解得⎩⎨⎧

a ＝3，q ＝1

3

或⎩⎨

⎧

a ＝3，q ＝3，

∴这三个数为1,3,9或9,3,1.

题型一 等比数列基本量的运算

例1(1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则

S n

a n

等于() A ．2n －1 B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －1 答案B

解析方法一设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝

a 6－a 4a 5－a 3＝24

12

＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，

S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n

－1，

所以S n a n ＝2n －1

2

n －1＝2－21－n .