第六章 万有引力定律与航天

万有引力与航天1、开普勒行星运动定律(1).所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上.(2).对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.(3).所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等. 32a K T= （K 只与中心天体质量M 有关） 行星轨道视为圆处理，开三变成32r K T =（K 只与中心天体质量M 有关）2、万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体质量的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比。

表达式：122,m m F G r=2211kg /m N 1067.6⋅⨯=-G 适用于两个质点（两个天体）、一个质点和一个均匀球（卫星和地球）、两个均匀球。

(质量均匀分布的球可以看作质量在球心的质点)3、万有引力定律的应用：（天体质量M , 卫星质量m ，天体半径R, 轨道半径r ，天体表面重力加速度g ，卫星运行向心加速度n a ，卫星运行周期T)两种基本思路：1．万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运动时，r=R+h )人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星r=R+h ）：r GM v =，r 越大，v 越小；3r GM =ω，r 越大，ω越小；GM r T 324π=，r 越大，T 越大；2n GMa r =，r 越大，n a 越小。

(1)求质量：①天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力：= G M m R2→2gR M G = ②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M ，半径为R ，环绕星球质量为m ，线速度为v ，公转周期为T ，两星球相距r ，由万有引力定律有：2222⎪⎭⎫ ⎝⎛==T mr r mv r GMm π，可得出中心天体的质量：23224GT r G r v M π==求密度34/3M M V R ρπ==2高空物体的重力加速度：mg = G2)(h R Mm + 3、万有引力和重力的关系: 一般的星球都在不停地自转，星球表面的物体随星球自转需要向心力，因此星球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果：一个是重力，一个是向心力。

《万有引力与航天》测试题一、选择题（每小题4分，全对得4分，部分对的得2分，有错的得0分，共48分。

）1.第一次通过实验比较准确的测出引力常量的科学家是（ ）A ． 牛顿B ． 伽利略C ．胡克D ． 卡文迪许2.如图1所示a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ）A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；D ．a 卫星由于某种原因，轨道半径变小，其线速度将变大3.宇宙飞船为了要与“和平号“轨道空间站对接，应该：（ ） A.在离地球较低的轨道上加速 B.在离地球较高的轨道上加速C.在与空间站同一高度轨道上加速D.不论什么轨道，只要加速就行4、 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图2所示。

则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：（ ）A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速度大于它在轨道2上经过Q 点时的速度。

D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3ba c 地球图1上经过P 点时的加速度5、 宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中会处于完全失重中，下列说法中正确的是（ ）A.宇航员仍受重力的作用B.宇航员受力平衡C.宇航员受的重力正好充当向心力D.宇航员不受任何作用力6.某星球质量为地球质量的9倍，半径为地球半径的一半，在该星球表面从某一高度以10 m/s 的初速度竖直向上抛出一物体，从抛出到落回原地需要的时间为（g 地=10 m/s 2）（ ） A ．1sB ．91s C ．181s D ．361s 7.假如地球自转速度增大，关于物体重力，下列说法正确的是（ ）A 放在赤道地面上的万有引力不变B 放在两极地面上的物体的重力不变C 放在赤道地面上物体的重力减小D 放在两极地面上的物体的重力增加 8、设想把质量为m 的物体放在地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ）A.零B.无穷大C.2GMm R D.无法确定9.对于质量m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式122m m F Gr ，下列说法正确的是（ ）和m 2所受引力总是大小相等的 B 当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力无穷大 C.当有第三个物体m 3放入之间时，m 1和m 2间的万有引力将增大 D.所受的引力性质可能相同，也可能不同10地球赤道上的重力加速度为g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a ，要使赤道上物体“飘” 起来，则地球的转速应为原来转速的（ ）A ga 倍 Bg aa+倍 Cg aa-倍 Dga倍11.关于地球同步通讯卫星，下列说法中正确的是（）A.它一定在赤道上空运行B.各国发射的这种卫星轨道半径都一样C.它运行的线速度一定小于第一宇宙速度D.它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间12.由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以（）A.地球表面各处具有相同大小的线速度B.地球表面各处具有相同大小的角速度C.地球表面各处具有相同大小的向心加速度D.地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心二.填空题（每题6分，共12分。

第六章万有引力与航天章末总结一、解决天体运动问题的思路 解决天体运动的基本思路 (1)将天体运动视为匀速圆周运动.(2)万有引力提供向心力，根据已知条件灵活选择合适的表达式GMm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r .(3)关于地球卫星的问题，有时还会应用GM ＝gR 2做代换.例1 如图1所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地球表面的高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心.图1(1)求卫星B 的运行周期.(2)如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、A 、B 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 答案 (1)2π(R ＋h )3gR2(2)2πgR 2(R ＋h )3－ω0解析 (1)由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T B2(R ＋h )① G MmR2＝mg ② 联立①②解得T B ＝2π(R ＋h )3gR 2③(2)由题意得(ωB －ω0)t ＝2π④ 由③得ωB ＝ gR 2(R ＋h )3⑤ 代入④得t ＝2πgR 2(R ＋h )3－ω0.二、人造卫星各运动参量的分析由GMm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2T2r 得 a n ＝GMr 2，v ＝GMr ，ω＝ GMr 3，T ＝2π r 3GM， 即随着轨道半径的增大，卫星的向心加速度、线速度、角速度均减小，周期增大. 例2 太阳系八大行星绕太阳运动的轨道可粗略地认为是圆，各行星的半径、日星距离和质量如下表所示：则根据所学的知识可以判断下列说法中正确的是( ) A.太阳系的八大行星中，海王星的圆周运动速率最大 B.太阳系的八大行星中，水星的圆周运动周期最大C.若已知地球的公转周期为1年，万有引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，再利用地球和太阳间的距离，则可以求出太阳的质量 D.若已知万有引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，并忽略地球的自转，利用地球的半径以及地球表面的重力加速度g ＝10 m/s 2，则可以求出太阳的质量 答案 C解析 设太阳的质量为M ，行星的质量为m ，轨道半径为r ，运动周期为T ，线速度为v .由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m v 2r ＝m (2πT )2r ，知v ＝GM r ，T ＝2πrv ＝2πr 3GM，则行星的轨道半径越大，周期越大，线速度越小.所以海王星周期最大，水星线速度最大，选项A 、B 错误；由地球绕太阳公转的周期T ，轨道半径R ，可知G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，解得太阳质量M ＝4π2R3GT 2，选项C正确；同时看出地球的重力加速度与太阳质量无关，选项D 错误.三、人造卫星的发射、变轨与对接 1.发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星一很大的发射初速度，且发射速度v ＞v 1＝7.9 km/s ，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使F引＝F 向，即G Mm r 2＝m v 2r，从而使卫星进入预定轨道.2.变轨问题如图2所示，一般先把卫星发射到较低轨道1上，然后在P 点点火，使卫星加速，让卫星做离心运动，进入轨道2，到达Q 点后，再使卫星加速，进入预定轨道3.回收过程：与发射过程相反，当卫星到达Q 点时，使卫星减速，卫星由轨道3进入轨道2，当到达P 点时，再让卫星减速进入轨道1，再减速到达地面.图23. 对接问题如图3所示，飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道.通过控制使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接.图3例3 (多选)2016年中国发射了“天宫二号”空间实验室和“神舟十一号”载人飞船.2017年4月中国发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”交会对接.长征运载火箭将天宫二号送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上，B 点距离地面的高度为h ，地球的中心位于椭圆的一个焦点上.“天宫二号”飞行几周后进行变轨进入预定圆轨道，如图4所示.已知“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，引力常量为G ，地球半径为R .则下列说法正确的是( )图4A.“天宫二号”从B 点沿椭圆轨道向A 点运行的过程中，引力为动力B.“天宫二号”在椭圆轨道的B 点的向心加速度大于在预定圆轨道上B 点的向心加速度C.“天宫二号”在椭圆轨道的B 点的速度大于在预定圆轨道上的B 点的速度D.根据题目所给信息，可以计算出地球质量 答案 AD解析 “天宫二号”从B 点沿椭圆轨道向A 点运行的过程中，速度在变大，故受到的地球引力为动力，所以A 正确.在B 点“天宫二号”产生的加速度都是由万有引力产生的，因为同在B 点万有引力大小相等，故不管在哪个轨道上运动，在B 点时万有引力产生的向心加速度大小相等，故B 错误.“天宫二号”在椭圆轨道的B 点加速后做离心运动才能进入预定圆轨道，故“天宫二号”在椭圆轨道的B 点的速度小于在预定圆轨道的B 点的速度，故C 错误.“天宫二号”在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ，故周期为T ＝tn， 根据万有引力提供向心力G Mm (R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2，得地球的质量M ＝4π2(R ＋h )3GT 2＝4π2n 2(R ＋h )3Gt 2，故D 正确.。

第六章万有引力定律在我们生活的这个浩瀚宇宙中，存在着一种神秘而又强大的力量，它掌控着天体的运行，塑造着星系的形态，这就是万有引力定律。

万有引力定律的发现，是人类科学史上的一座伟大丰碑。

它让我们对宇宙的运行机制有了深刻的理解，也为后来的天文学和物理学发展奠定了坚实的基础。

想象一下，当我们抬头仰望星空，看到繁星闪烁，月亮高悬，这些天体似乎都在按照某种规律运行。

而万有引力定律，就是揭示这种规律的关键。

万有引力定律指出，任何两个物体之间都存在着相互吸引的力，这个力的大小与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。

用公式来表示就是：F ＝ G×（m1×m2) ／ r²。

其中，F 表示两个物体之间的引力，G 是引力常量，m1 和 m2 分别是两个物体的质量，r 是它们之间的距离。

这个定律的影响是极其深远的。

首先，它解释了地球上的物体为什么会下落。

我们日常所见的苹果从树上掉落，就是因为地球对苹果的引力作用。

而且，它还解释了为什么月亮会围绕地球转动，以及地球为什么会围绕太阳公转。

万有引力定律也让我们能够预测天体的运动轨迹。

天文学家们通过对天体质量和距离的测量，运用万有引力定律，就可以计算出天体的运动速度和轨道。

这对于研究太阳系中的行星运动，以及探索其他星系中的天体行为，都具有至关重要的意义。

在实际生活中，万有引力定律也有着广泛的应用。

比如，在航天领域，卫星的发射和运行都需要依靠对万有引力定律的精确计算。

要让卫星能够稳定地绕地球运行，就必须准确地计算出卫星所受到的地球引力，以及它所需的速度和轨道高度。

再比如，在建筑工程中，万有引力定律也发挥着作用。

在设计高层建筑时，工程师们需要考虑地球引力对建筑物结构的影响，以确保建筑物的稳定性和安全性。

然而，对于万有引力定律的探索和研究并没有停止。

随着科学技术的不断进步，科学家们发现，在一些极端情况下，比如在微观领域或者接近光速的情况下，万有引力定律可能需要进行修正和完善。