解析数学中考史上十大难题
原题：25.已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向外作等边△ABD、等边△BCE、等边△ACF。
（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；
（2）如图2，当△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与
S△ACF的和。
题目简要分析：这道题目之所以才位例第10为完全是因为第一问太简单了。对于第二问在我们平时教学过程中很少遇见面积等的问题，尤其是面对这种面积和等的问题，不仅缺少一些直接的定理去支持这些结论，且缺少一些必要的手段和方法去证明，平时练习也相对少一些，故本题第二问得分率很低。关于第二问本文提供3种解法，仅供参考。
解法一：
解题思路：观察AF∥BC，在△ABC中利用平行四边形构造一个三角形面积等于S△ACF，证明余下部分面积等于S△BCE即可（很容易能观察出△DAM≌△BAC≌△EMC，剩余部分DBEM是平行四边形，对角线平分面积）
解：（1）AB=CE,AC=BE,AF=BE，S△ABC=S△ABD等等
（2）过A作AM∥FC交BC于M，连结DM、EM。
∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF
∴AF∥MC
∴四边形AMCF是平行四边形.
又∵FA=FC，
∴四边形AMCF是菱形.
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，且S△MAC= S△ACF
在△BAC与△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE,
∴△BAC≌△EMC.
∴AB=ME
又∵AB=DB
∴DB=ME
又∵∠DAM=∠DAB+∠BAM，
∠BAC=∠CAM+∠BAM且∠DAB=∠CAM=60°
∴∠DAM=∠BAC，
在△DAM与△BAC中，
AD=AB, ∠DAM=∠BAC,AM=AC
∴△DAM≌△BAC
∴DM=BC
又∵BC=BE
∴DM=BE
∴四边形DBEM是平行四边形
∴S△BDM= S△BEM
由上所述∴△DAM≌△EMC
∴S△DAM= S△EMC
∴S△BDM+ S△DAM+ S△MAC= S△BEM+ S△EMC+ S△ACF
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
所用知识点：图形的分割能力，平行四边形面积，旋转，全等
本题需要有类比的思想，面积和等于面积和，证明方法可类似于线段和等于线段和。可先证明部分相等，再证明剩余部分相等。
解法二：
解题思路：观察AF∥BC，AC∥BE利用平行线间等积去转换S△ACF.和S△BCE 转换后能够发现较明显的图形旋转。
连结BF，DC，AE
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAF=∠CAF+∠BAC,且
∠DAB=∠CAF=60°
∴∠DAC=∠BAF
在△DAC与△BAF中
AD=AB, ∠DAC=∠BAF,AC=AF
∴△DAC≌△BAF
∴S△DAC= S△BAF
又∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF
∴AF∥BC
∴S△BAF= S△ACF
∴S△DAC= S△ACF
同理可证：S△DBC= S△CBE
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC,
∠EBA=∠CBE+∠ABC,且∠DBA
=∠CBE=60°
∴∠DBC =∠EBA
在△DBC与△ABE中
BD=AB, ∠DBC =∠EBA,BC=BE
∴△DBC≌△ABE
∴S△DBC= S△ABE
又∵∠ACB=60°，∠CBE=60°，
∴∠ACB=∠CBE
∴AC∥BE
∴S△ABE= S△CBE
∴S△DBC = S△CBE
∴S△DAC+ S△DBC= S△ACF+
S△CBE
即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF
所用知识点：图形的分割能力，旋转，全等，平行线间三角形等积转换
请注意：平行线间三角形等积转换是分割图形很重要的思想
解法三：
解题思路：由结论可知分别是4个三角形面积和，设两边AC、BC长度，利用夹角是特殊角可算出第三边AB长度，利用都是等边三角形，用边长强行表示出各三角形面积，余下就是代数整理过程。
解：过点A作AG⊥BC交BC于点G，过点C作CH⊥AF交于点H,设在△ABC中,BC=a，AC=b，
所用知识点：三角函数计算，三角形面积计算（尤其是对等边三角形面积结论要很熟悉哦），建议各位同学能记忆等边三角形面积计算公式S= a 2（a 为边长，在选择和填空题方面可直接应用，比较方面）
由本题我们可以联想到：
2005年本题出现后，旋转一个古老的专题又再一次在以后的考试中活跃起来，关于面积转换和分割在近几年考试和练习中也越来越多。现针对于旋转和面积转换分割问题列举出一些常规试题。
（一）旋转
1.2009年石景山区数学二模第25题
如图①，四边形ABCD 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝60°，∠ADC ＝120°，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图②，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，若点P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝120°，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论。
