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2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答[1]

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2009年全国高中数学联赛福建省预赛试 题一、填空题（每小题6分，共60分）1．已知向量(2cos()1)2OP x π=+-，，(sin()cos 2)2OQ x x π=--，，()f x OP OQ =⋅. 若a 、b 、c 分别是锐角ABC △中角A 、B 、C 的对边，且满足()1f A =，5b c +=+a =则ABC △的面积S = .2．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a =__ _____.3．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为48和51，则这5个数中最大的数等于 .4．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AS AB =，C 为半圆上一个动点，M N 、分别为A 在SB SC 、上的射影. 当三棱锥S AMN -的体积最大时，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是 .5．若定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且当01x <≤时，3()log f x x =，则方程1()(0)3f x f =-+在区间(010，内的所有实根之和为 .6．平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：4520x y +=与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，直线2l 与线段A B O A 、分别交于点C D 、，且平分△AOB 的面积，则2CD 的最小值为 .7．若对于任意的实数x ，函数2()2124f x x x x a x =------+的值都是非负实数，则实数a 的最大值为 .8．集合{}1232009，，，，的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 9．方程[]92xx =的实数解是 . （其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 10．满足020i k ≤≤，1234i =，，，，且1324k k k k +=+的有序整数组1234()k k k k ，，，的个数为 .二、解答题（每小题20分，满分100分） 11．已知1()31ax f x x +=-，方程()48f x x =-+有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍. 等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且()nnS f n T =（1n =，2，3，…）. （1）设()nna g nb =（1n =，2，3，…），求()g n 的最大值； （2）若152a =，数列{}n b 的公差为3，探究在数列{}n a 与{}n b 中是否存在相等的项. 若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列{}n c 的通项公式；若没有，请说明理由.12．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点坐标为(20)F ，，点P 的坐标为(0)m ，（0m ≠）. （1）设过点P 斜率为1的直线1l 交抛物线C 于A 、B 两点，若0m <，P 关于原点的对称点为Q . 求QAB △面积的最大值.（2）设过点P 斜率为k （0k ≠）的直线2l 交抛物线C 于M 、N 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得TM 、TN 与x 轴所成的锐角相等？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.13．如图，O ⊙与线段AB 相切于点M ，与以AB 为直径的半圆相切于点E . CD AB ⊥于点D ，CD 与以AB 为直径的半圆交于点C ，且与O ⊙相切于点F ，连接AC 、CM . 求证：（1）A 、F 、E 三点共线； （2）AC AM =； （3）22MC MD MA =⨯.（第13题） 14．设{}11122010i x i ∈=，，，，. 令123420092010S x x x x x x =+++.（1）S 能否等于2010？证明你的结论； （2）S 能取到多少个不同的整数值？15．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤. 求证： （1）111331112a b c >++≥+++； （2）1112(2)(2)(2)a b c a a b b c c +++++≥+++.BA解 答1. 由条件知()2cos()sin()cos 2222sin cos cos 2),4f x OP OQx x xx x x x πππ=⋅=-+--=-=-所以)14A π-=，sin(2)4A π-=.又因为A 为锐角，32444A πππ-<-<，因此244A ππ-=，4A π=. 因为5b c +=+a =222132cos ()22cos b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即1343(2bc =+.所以bc =ABC △的面积1115sin 2222S bc A ==⨯=.2. 由1a <-及2x ax x +≤-，得0(1)x a ≤≤-+. 设222()()24a a f x x ax x =+=+-.若(1)2aa ->-+，即21a -<<-，则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+，因此112a +=-，32a =-.若(1)2a a -≤-+，即2a ≤-，则()f x 在2a x =-处取最小值24a -，因此2142a -=-，a =（舍去）.综上可知32a =-.3. 设这5个数为a b c d e <<<<，则32364851a b a c c e d e +=+=+=+=，，，，下面说明37b c +=.因为437c b d c d b -=-=-=，，，所以()()39a d a b d b +=++-=，故 37b c +=. 所以2()()()31a a b a c b c =+++-+=，故 15.516.520.527.523.5a b c e d =====，，，，，即最大的数为27.5. 4. 易知BC SAC ⊥面，所以BC AN ⊥，从而AN SBC ⊥面.所以AN SM ⊥，因此SM AMN ⊥面，13S AMN ANM V SM S -=⋅⋅△.由2SA AB ==，得AM SM ==，而AN NM ⊥，AMN △为斜边长为形，面积最大在1AN MN ==时取到.所以，当三棱锥S AMN -的体积最大时，1AN MN ==，此时，60SCA ∠=︒，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是. 5. 函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，以及(f x ）奇函数知， (2)()()f x f x f x +=-=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，4是它的一个周期.由()f x 是定义在R 上的奇函数，知(0)0f =，方程1()(0)3f x f =-+化为1()3f x =-.结合图象可知，1()3f x =-在(01)，、(12)，内各有一个实根，且这两根之和为2；1()3f x =-在(45)，、(56)，内各有一个实根，且这两根之和为10；1()3f x =-在(89)，、(910)，内各有一个实根，且这两根之和为18.所以，方程1()(0)3f x f =-+在区间(010)，内有6个不同的实根，这6个实根之和为30.6. 由条件知，5OA =，4OB =，AB =设BAO θ∠=，则cosθ=. 由2AOB ACD S S =△△，得122AC AD AB AO ⋅=⋅=. 由余弦定理，得2222cos 22cos 25CD AD AC AD AC AD AC AD AC θθ=+-⋅⋅⋅≥⋅-⋅⋅=.当AD AC =时等号成立. 所以，2CD的最小值为25.7. 由条件知(0)120(1)20f a f a ⎧=-++≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得21a -≤≤.当2a =-时，2()2124f x x x x x =--+--+，即2223,1,()21,12,45, 2.x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩，易知对于任意的实数x ，()f x 的值都是非负实数，因此，2a =-符合要求.所以，实数a 的最小值为2-. 8. 方法一 令232009()(1)(1)(1)(1)f x x x x x =++++，则问题中要求的答案为()f x 的展开式中，x 的奇次项的系数和. 故所求的答案为20092008(1)(1)20222f f ---==.方法二 对集合{}1232009，，，，的不含2009的子集A 讨论，若A 的各数之和为偶数则补入2009，否则不补，故共有20082个元素和为奇数的非空子集.9. 显然0x >. 若3x ≥，则[]3x ≥，从而[]393272xx ≥=>. 若02x <<，则[]02x ≤<，从而[]29242xx <=<. 所以23x ≤<，于是[]2x =，故292x =，所以x = 10. 当020m ≤≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()0x y j m j j m =-≤≤，，，，共1m +组. 当2040m <≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()x y j m j =-，，，2020m j -≤≤，共401m -+组.所以，满足1324k k k k +=+的解共有20402220211(1)(401)22021412161816m m m m ==++-+=⨯⨯⨯⨯+=∑∑. 11. （1）由()48f x x =-+得，14831ax x x +=-+-，整理得212(28)90x a x --+=①设1x 、2x 是方程①的两根，且213x x =，则1212121284,1293.12a x x x x x x -⎧+==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩ 所以 112x =，4a =，41()31x f x x +=-. 因为41()31n n S n f n T n +==-，所以 21214(21)18347()3(21)16433(64)n n n n S a n n g n b T n n n ---+-=====+----. 所以 1n =时，()g n 取最大值52. （2）由（1）知，1152a b =，22138a b =，结合152a =，数列{}n b 的公差为3，知11b =，24b =，2132a =，所以 5834(1)22n n a n -=+-=， 13(1)32n b n n =+-=-.若在数列{}n a 与{}n b 中存在相等的项，设m k a b =（m 、k 为正整数），则83322m k -=-. 整理得681k m -=. 由于68k m -为偶数，而1为奇数，故上述方程无正整数解.所以，在数列{}n a 与{}n b 中不存在相等的项.13.（1）由条件知，抛物线C 的方程为28y x =，直线1l 的方程为y x m =-，点Q 的坐标为(0)m -，. 由28y x m y x=-⎧⎨=⎩，得222(4)0x m x m -++=. ①由①0>△，得2m >-. 设11()A x y ，、22()B x y ，，则122(4)x x m +=+，212x x m =，12AB x x =-==又因为点(0)Q m -，到直线1l的距离d m =，所以QAB △的面积12S m=⋅其中20m-<<.记32()2f m m m=+，则2()34f m m m'=+. 所以，当423m-<<-时，()0f m'>；当43m-<<时，()0f m'<.所以，()f m在区间423⎛⎤--⎥⎝⎦，上为增函数，在区间43⎡⎫⎪⎢⎣⎭－，上为减函数. 所以43m=-时，()f m取最大值3227.因此，QAB△面积的最大值为9.（2）2l方程为()y k x m=-. 由2()8y k x my x=-⎧⎨=⎩，得222222(4)0k x mk x k m-++=. ②设33()M x y，、44()N x y，，则234228mkx xk++=，234x x m=.设点T存在，其坐标为(0)t，. 由TM、TN与x轴所成的锐角相等知，0T M T Nk k+=，即3434y yx t x t+=--，即3434()()k x m k x mx t x t--+=--，34342()()20x x m t x x mt-+++=.所以222282()20mkm m t mtk+-+⋅+=，t m=-.因此，符合条件的点T存在，其坐标为(0)m-，.13.（1）如图，设AB中点为P，由条件知P⊙与O⊙内切于E，故P，O，E三点共线.连接FO，由CD AB⊥，CD切O⊙于点F，知CD OF⊥，FO AP∥，EOF EPA∠=∠. 因为OE OF=，PE PA=，所以OEF PEA∠=∠，A、F、E三点共线.（2）在O⊙中，由切割线定理知，2AM AF AE=⨯. 连接EB，由于AE EB⊥，因此E，F、D、B四点共圆，AD AB AF AE⨯⨯＝. 连接BC，则AC CB⊥，因此，22AC AD AB AF AE AM =⨯=⨯=.所以 AC AM =.（3）延长MA 至点R ，使得AR AM =. 连接CR ，由（2）中AC AM =知，RC CM ⊥. 所以22MC MD MR MD MA =⨯=⨯.14.（1） 因为221)31)311)1=-=+=，所以{}212331i i x x -∈-+.设和式S 中有a个3+b个3-，c 个1，则a ，b ，c 是非负整数，且1005a b c ++=.10052121(3(333)i ii S xx a b c a b c a b -===++-+=+++-∑， 若2010S =，则a b =，此时66(1005)41005S a c a a a a =+=+--=+是一个奇数. 所以S 不可能等于2010.（2）由（1）可知，若S 是整数，则a b =，41005S a =+. 由于21005a b c a c ++=+=，0502a ≤≤，所以，S 可以取到503个不同的整数值.15.（1）由a 、b 、c 为正数知，111a <+，111b <+，111c <+，1113111a b c ++<+++. 由平均不等式得，[]111()(1)(1)(1)9111a b c a b c +++++++≥+++. 所以 03a b c <++≤，111993111(1)(1)(1)332a b c a b c ++≥≥=+++++++++.B（2）由（1）以及平均不等式得111(2)(2)(2)9(2)(2)(2)111a b c a a b b c c a a b b c c a b c ++++++++≥++++++++ 9111(1)(1)(1)111a b c a b c =⎛⎫+++++-++ ⎪+++⎝⎭91116111a b c ≥⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭92362≥=-.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

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高中数学竞赛资料-数论部分 (1)

高中数学竞赛资料-数论部分 (1)

初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。

1． 请看下面的例子：（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。

(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)（2） ①设n Z ∈，证明2131n-是168的倍数。

②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3231122n n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。

（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4） 证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。

（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：[][][][]()()()()22,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。

2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。

（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。

这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。

如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。

3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。

2009年全国高中数学联赛江苏省预赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛江苏省预赛试题及答案

2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛2009年全国高中数学联赛江苏赛区分为初赛、复赛与决赛（即全国高中数学联赛）。

初赛与复赛由江苏省数学学会普及工作委员会、江苏省高中数学联赛专家委员会领导并主办，由江苏省数学学会高中数学联赛专家委员会邀请专家组成“高中数学联赛命题组”。

命题组负责人是南京师范大学余红兵等教授。

初赛试题以《全日制普通高中（新）课程标准》的内容和要求为依据；复赛试题以全国高中数学联赛竞赛大纲为依据，以全国高中数学联赛的题型、试卷为模式，分为一试与加试，考试时间也与全国高中数学联赛相同，在方法和能力的考察上有所提高，一方面起选拔作用，从参赛者中选出参加全国高中数学联赛的学生；另一方面也为参加全国高中数学联赛作一次赛前准备。

初赛于2009年5月3日8：00－11：00，由各大市自行组织，选出5％，连同名单、试卷一同交到省联赛专家委员会。

复赛于2009年7月23日8：00 — 12：10，在江苏省高中数学奥林匹克夏令营中统一进行，选出70％左右参加全国高中数学联赛。

决赛于2009年10月11日8：00 —12：10，在全省的4个考点举行，派专人送试卷到考点，考试结束后将试卷密封带回南京统一阅卷、统一评分。

从参加决赛人员中选出全国一等奖（55名）、江苏省一等奖（200名左右）、江苏省二等奖（600名左右）、江苏省三等奖（900名左右），以资鼓励。

试 题一、填空题（每小题7分，共56分）1．已知数列{}n a 的前n 项和234n S n n =++()*n ∈N，则13521a a a a ++++= ．2. 若集合{}1,A ax x ==+∈R 为空集，则实数a 的取值范围是 ．3. 设x 、y 为实数，21x y +≥，则二元函数2242u x x y y =++-的最小值是 ．4. 设1F 、2F 分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点，以12F F 为直径的圆交双曲线左支于A 、B 两点，且1120AF B ∠=︒. 双曲线的离心率的值介于整数k 与1k +之间，则k = ．5. 已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为216，则四面体11AB CD 与四面体11A BC D 的重叠部分的体积等于 ．6. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，则 3333[log 1][log 2][log 3][log 258]++++= ．7. 设方程21221221100n n n n n xa x a x a x a +-------= 的根都是正数，且其中1a =()21n -+，则0a 的最大值是 ．8. 20091911⨯的方格棋盘的一条对角线穿过 个棋盘格． 二、解答题（第9题14分，10、11题各15分） 9. 求函数()44sin tan cos cot f x x x x x =⋅+⋅的值域．10. 如图，抛物线22y x =及点()1,1P ，过点P 的不重合的直线1l 、2l 与此抛物线分别交于点A 、B 、C 、D ．证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是直线1l 与2l 的倾斜角互补．11. 设a ，b 是正数，且1a ≠，1b ≠，求证：()()55441125111164a b a b a b --⋅>++--．加 试12.（本题满分50分）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，△ADE 的内切圆与DE 切于点M ，△ABC 的BC 边上的旁切圆切BC 于点N ，点P 是BE 与CD 的交点，求证M 、N 、P 三点共线.13. （本题满分50分）设k ，n 为给定的整数，2n k >≥. 对任意n 元的数集P ，作P 的所有k 元子集的元素和，记这些和组成的集合为Q ，集合Q 中元素个数是Q C . 求Q C 的最大值.14.（本题满分50分）设12222s nn n M =+++ ，12,,,s n n n 是互不相同的正整数，求证：(122222221sn n n +++<+15. （本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数x 、y ：（1）x 与1y -互素； （2）231x x y -+=.解 答1. 2682. 11(,)(,)36-∞-+∞ 3. 95-4.25. 366. 9327. 18. 38719.因为()44662sin cos sin cos cos sin sin cos sin cos 32sin 22sin 2xx f x x x xxx xx x xx=⋅+⋅+=-=.令sin 2t x =，则[)(]1,00,1t ∈- ，()2322322t f x t t t -==-. 易知函数()232g t t t =-在区间[)1,0-与(]0,1上都是减函数，所以()g t 的值域为11(,][,)22-∞-+∞ ，故()f x 的值域为11(,][,)22-∞-+∞ .10. 设1l 、2l 的倾斜角分别为α、β，由题设知α、()0,βπ∈. 易知直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩， 代入抛物线方程可化得()22sin 2sin cos 10t t ααα+--=.设上述方程的两根为1t 、2t ，则 1221sin t t α-=. 由参数t 的几何意义, 得21sin AP BP α⋅=. 同理21sin CP DP β⋅=.若A 、B 、C 、D 四点共圆，则 AP BP CP DP ⋅=⋅，即 22sin sin αβ=.因为α，()0,βπ∈，所以 sin sin αβ=.又由1l 、2l 不重合，则αβ≠. 所以αβπ+=.反过来，若αβπ+=，则因α、()0,βπ∈，故s i n s i n αβ=，且0α≠，0β≠. 所以2211sin sin αβ=，即AP BP CP DP ⋅=⋅.故A 、B 、C 、D 四点共圆.11. 因为54324321111a a a a a a a a a -++++=-+++，且()()()4323281511a a a a a a a a ++++-++++43232223a a a a =---+()()42432121a a a a a =-++--+()()()222212110a a aa =-+-++> （1a ≠），所以()4323215118a a a a a a a a ++++>++++，即()5415118a a a ->+-.同理可证5415(1)18b b b ->+-. 于是，()55441125(1)11164a b a b a b --⋅>++--.12. 设BE 与MN 交于点'P .因为DE ∥BC ，所以BP BC PE DE=，''BP BNP E EM =.故只需证明BCBNDE EM =，或BN EMBC DE =. 如图, 设1O 、2O 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，F 、G 、H 、I 为切点，则()12EM AE DE AD =+-，AH AB BH AB BN =+=+，()12AH AI AB BC AC ==++，()12BN AH AB AC BC AB =-=+-.又因为ADE ∆∽ABC ∆，故可设AB BC AC k ADDEAE===，则1()2AC BC AB BN BC BC+-=()2()2k AE k DE k AD k DEAE DE AD EM DEDE⋅+⋅-⋅=⋅+-==故结论成立．13. Q C 的最大值为kn C .因P 共有kn C 个k 元子集，故显然有kQ n C C ≤.下面指出，对集合2{2, 2, , 2}n P = ，相应的Q C 等于kn C ，即P 的任意两个不同的k 元子集的元素之和不相等. 从而Q C 的最大值为kn C .事实上，若上述的集合P 有两个不同的k 元子集12{2,2,,2}k rrrA = ，12{2,2,,2}k s s s B = ，使得A 与B 的元素之和相等，则1212222222k k r s r r s s M +++=+++= （设）. ①因①可视为正整数M 的二进制表示，由于i r 互不相同，i s 互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一性，我们由①推出，集合12{,,,}k r r r 必须与12{,,,}k s s s 相同，从而子集A B =，矛盾.这就证明了我们的断言.14. 对s 归纳.（1） 当1s =时，结论显然成立.（2） 假设s k =时结论成立，当1s k =+时，不妨设121k k n n n n +>>>> .由归纳假设可知，122222(1k n n +++<+，则1121222222222(12kk n n n n n +++++<+ .所以只要证明12(12(1n +<+ 此即1>.因为正整数121k k n n n n +>>>> ，所以 122231211222221222.k n n n n n n n ++-≥>++++≥+++ .故==所以1>=，即1s k =+时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数s 成立.15. 显然 1x =，1y =满足要求. 对于1x >，1y >， 方程可化为()()()2111y y y x x -++=-.显然x y >. 因为(),11x y -=，故x 一定是21y y ++的一个因子. 设21y y kx ++=（k为正整数），从而()11x k y -=-. 由x y >可知2k ≥.消去x ，得()2211y y k y k ++=-+，即()()()221113yy k y k -+-=-+-.由此推得 ()13y k --.若3k >，则13y k -≤-，即2k y ≥+，从而()()2221121k y k y y k k -+=++<+-+，故必有10y -=，矛盾.所以 3k ≤，从而2k =，3. 验证知7y =，19x =. 综上，()(),1,1x y =，()19,7.。

2009年漳州市高中数学竞赛(试卷)[1]

2009年漳州市高中数学竞赛(试卷)[1]

2009年漳州市高中数学竞赛（高二年）一、填空（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，请直接将答案写在题中的横线上）1.已知αβ，圴为锐角，且满足2sin α=cos(α－)β，则α与β的关系是2.设12F ,F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，则12F F P P ∙的最大值与最小值的和为3.空间四边形的两组对边的平方和相等，则它的两条对角线所成的角为4.长度为18的线段随机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率为5.若函数22sin 2cos ()2cos x x xf x x x ++=+在区间[],(0)l l l ->上的值域为[],n m ，则m n +=6.若数列{}n a 是单调递增数列，且1132n n n a a --=-+，1,2,3,n =；则首项0a 的值等于7.不等式229x <+的解集为 8.[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程219992x x x ⎡⎤+⎣⎦=+的实数解x 是 9.在Rt ABC ∆中，已知(2,3), (1,)AB AC k ==，则k 的值为 10.已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x R ∈，恒有()()f x T T f x +=∙成立，现有函数()sin f x kx M =∈，则实数k 的取值范围是二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分，要求写出解答过程） 11.对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使得00()f x x =成立，则称点00(,)x x 为函数()f x 的不动点。

（1）令()(())g x f f x =，求证：点00(,)x x 是函数()f x 的不动点，则点00(,)x x 必是()g x 的不动点。

（2）若对于任意实数b ，函数2()f x ax bx b =+-总有2个相异的不动点，求实数a 的取值范围。