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线性代数第五章 课后习题及解答

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第五章课后习题及解答

1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：

(1) ;1332

解：,07313322AI

2373,237321

,001336371237121371AI

所以，0)(1xAI的基础解系为：.)371,6(T

因此，A的属于1的所有特征向量为：).0()371,6(11kkT

,001336371237123712AI

所以，0)(2xAI的基础解系为：.)371,6(T 因此，A的属于2的所有特征向量为：).0()371,6(22kkT

(2) ;211102113

解：2)2)(1(21112113AI

所以，特征值为：11(单根)，22(二重根)

0001100011111121121AI

所以，0)(1xAI的基础解系为：.)1,1,0(T

因此，A的属于1的所有特征向量为：).0()1,1,0(11kkT

0001000110111221112AI

所以，0)(2xAI的基础解系为：.)0,1,1(T

因此，A的属于2的所有特征向量为：).0()0,1,1(22kkT (3) ;311111002

解：3)2(311111002AI

所以，特征值为：21(三重根)

0000001111111110001AI

所以，0)(1xAI的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT

因此，A的属于1的所有特征向量为：TTkk)1,0,1()0,1,1(21(21,kk为不全为零的任

意常数)。

(4) ;1000210032104321

解：4)1(1000210032104321AI

所以，特征值为：11(四重根) 00002000320043201AI

所以，0)(1xAI的基础解系为：.)0,0,0,1(T

因此，A的属于1的所有特征向量为：Tk)0,0,0,1(1(01k)

(5) ;111122254

解：3)1(111122254AI

所以，特征值为：11(三重根)

0001101010111322531AI

所以，0)(1xAI的基础解系为：.)1,1,1(T

因此，A的属于1的所有特征向量为：Tk)1,1,1(1(01k)

(6) ;020212022 解：)2)(4)(1(20212022AI

所以，特征值为：11(单根), 42(单根), 23(单根),

0001201011202020211AI

所以，0)(1xAI的基础解系为：.)2,1,2(T

因此，A的属于1的所有特征向量为：Tk)2,1,2(1(01k)

0002102014202320222AI

所以，0)(2xAI的基础解系为：.)1,2,2(T

因此，A的属于2的所有特征向量为：Tk)1,2,2(2(02k)

0001101022202320243AI

所以，0)(3xAI的基础解系为：.)2,2,1(T 因此，A的属于3的所有特征向量为：Tk)2,2,1(3(03k)

2. 已知矩阵xA44174147的特征值31(二重)，122, 求x的值，并求其特征向量。

解：123377x 4x

0000001441441441443AI

所以，0)3(xAI的基础解系为：.)4,0,1(,)0,1,1(TT

因此，A的属于3的所有特征向量为：TTkk)4,0,1()0,1,1(21(21,kk为不全为零的任意常数)

00011010184415414512AI

所以，0)12(xAI的基础解系为：.)1,1,1(T

因此，A的属于12的所有特征向量为：Tk)1,1,1(3(03k)

3. 设21,xx是矩阵A不同特征值的特征向量，证明21xx不是A的一个特征向量。 证：（反证法）

若21xx是A的属于特征值的一个特征向量，21,xx是A的属于特征值21,的特征向量且21，则：

2211212121)()(xxAxAxxxAxx

所以，0)()(2211xx

21,xx属于不同特征值 21,xx线性无关

0,021即21与21矛盾。

所以，21xx不是A的一个特征向量。

4. 设321,,xxx分别是矩阵A对应于互不相同的特征值321,,的特征向量，证明321xxx不是A的一个特征向量。

证：类似3题可证。

5. 证明对合矩阵A(即IA2)的特征值只能为1或1.

证：0)1()1(2nIIIAI

2A的特征值只有1.

若为A的特征值，则2为2A的特征值

A的特征值只能为1或1. 6. 设A可逆，讨论A与A的特征值(特征向量)之间的相互关系。

解：1AAA

若,xAx则xAxA.

7. 若,1BAPP问：IBPIAP2)2(1是否成立？

解：成立。

8. 已知,2001~A求).det(IA

解：,~A相似矩阵具有相同的特征值

)2)(1(AI

2)21)(11()1()det(2AIIA

9. 已知,2001,23121APPP求.nA

解：nnnnAPPPAP200)1()(11

21111212)1(323)1(62)1(223)1(2200)1(nnnnnnnnnnnPPA

10. 设xAPPB,1是矩阵A属于特征值0的特征向量。证明：xP1是矩阵B对应其特征值0的一个特征向量。

证：APPBxAx10,

)()(10011111xPxPAxPxAPPPxPB

11. 设A为非奇异矩阵，证明AB与BA相似。

证：A为非奇异矩阵 1A存在

BAAABA)(1

AB与BA相似

12. 设,~,~DCBA证明：.00~00DBCA

证：DCBA~,~ 存在可逆矩阵QP,, 使得DCQQBAPP11,

DBCQQAPPQPCAQPQPCAQP000000000000000011111

.00~00DBCA

13. 证明：m阶矩阵01010J只有零特征值，且特征子空间是mR的一维子空间，并求它的基。

解：0mJI

J只有零特征值。

01010J

0Jx的基础解系为：.)0,,0,1(T

14. 若AI可逆，AI不可逆，那么，关于A的特征值能做出怎样的断语？

解：AI可逆，AI不可逆

0,0AIAI

1不是A的特征值，1是A的特征值。

15. 若,0)det(2AI证明: 1或1至少有一个是A的特征值。

证：AIAIAI)det(02 0AI或0AI

1或1至少有一个是A的特征值。

16. 在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵A, 求矩阵P和对角矩阵, 使得.1APP

解：由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易知：(1), (6)可对角化。

(1) ).2373,2373(,37137166diagP

(2) ).2,4,1(,212221122diagP

17. 主对角元互不相等的上（下）三角形矩阵是否与对角阵相似（说明理由）？

解：可以，因为有n个互不相等的特征值。

18. 设n阶矩阵A的2n个元素全为1，试求可逆矩阵,P使APP1为对角阵，并写出与A相似的对角阵。

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线性代数课后习题答案全)习题详解

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1 线性代数课后习题答案全)习题详解

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）381141102； （2）bacacbcba; （3）222111cbacba； （4）yxyxxyxyyxyx.

解 （1）381141102811)1()1(03)4(2)1()4(18)1(2310

=416824=4

（2）bacacbcbacccaaabbbcbabacacb3333cbaabc

（3）222111cbacba222222cbbaacabcabc))()((accbba

（4）yxyxxyxyyxyxyxyxyxyxyyxx)()()(333)(xyxy

33322333)(3xyxxyyxyyxxy

)(233yx

线性代数课后习题答案全)习题详解

2 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；

（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；

（5）1 3 … )12(n 2 4 … )2(n；

（6）1 3 … )12(n )2(n )22(n … 2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1

（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序数为2)1(nn：

3 2 1个

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案

线性代数第四版课后习题答案

线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。

第一章：线性方程组

1.1 习题答案：

1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：

2x + 3y + z = 7

4x + 2y + 5z = 4

3x + 4y + 2z = 5

解得x = 1，y = -1，z = 2。

1.2 习题答案：

1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：

x - 2y + 3z = 1

2x + y + z = 2

3x + 4y - 5z = -1

解得x = 1，y = 0，z = 0。

第二章：矩阵代数

2.1 习题答案：

1. 解：设矩阵A为： 1 2

3 4

5 6

则A的转置矩阵为：

1 3 5

2 4 6

2.2 习题答案：

1. 解：设矩阵A为：

1 2

3 4

则A的逆矩阵为：

-2 1

3/2 -1/2

第三章：向量空间

3.1 习题答案：

1. 解：设向量v为：

1

2

3

则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。

3.2 习题答案：

1. 解：设向量v为： 1

2

3

则v的单位向量为v/||v||，即：

1/sqrt(14)

2/sqrt(14)

3/sqrt(14)

第四章：线性变换

4.1 习题答案：

1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：

T(x, y) = (y, -x)

线性代数课后习题答案

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习题答案

习 题 1（参考答案）

1．程序与算法的概念及二者的区别是什么？

程序：为了实现特定目标或解决特定问题而用计算机语言偏写的指令序列，它由算法和数据结构组成。

算法：（Algorithm）是在有限步骤内求解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗地讲，就是计算机解题的步骤。

算法与程序的区别：计算机程序是算法的一个实例，同一个算法可以用不同的计算机语言来表达。

2．简述程序设计语言发展的过程

程序设计语言经过最初的机器代码到今天接近自然语言的表达，经过了四代的演变。一般认为机器语言是第一代，符号语言即汇编语言为第二代，面向过程的高级语言为第三代，面对象的编程语言为第四代。

3．简述高级程序设计语言中面向过程与面向对象的概念。

“面向过程”是一种以过程为中心的编程思想。首先分析出解决问题所需要的步骤，然后用函数把这些步骤一步一步地实现，使用的时候依次调用函数即可。一般的面向过程是从上往下步步求精，所以面向过程最重要的是模块化的思想方法。

“面向对象”是一种以事物为中心的编程思想。面向对象的方法主要是将事物对象化，对象包括属性与行为。

面向过程与面向对象的区别：在面向过程的程序设计中，程序员把精力放在计算机具体执行操作的过程上，编程关注的是如何使用函数去实现既定的功能；而在面向对象的程序设计中，技术人员将注意力集中在对象上，把对象看做程序运行时的基本成分。编程关注的是如何把相关的功能（包括函数和数据）有组织地捆绑到一个对象身上。

4．C语言程序的特点是什么？

（1）C语言非常紧凑、简洁，使用方便、灵活，有32个关键字，有9种流程控制语句。

（2）C语言运算符丰富，共有45个标准运算符，具有很强的表达式功能，同一功能表达式往往可以采用多种形式来实现。

（3）数据类型丰富。C语言的数据类型有整型、实型、字符型、数组类型、结构类型、共用类型和指针类型，而且还可以用它们来组成更复杂的数据结构，加之C语言提供了功能强大的控制结构，因而使用C语言能非常方便地进行结构化和模块化程序设计，适合于大型程序的编写、调试。

线性代数习题答案详解__复旦大学出版社

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- 1 - 线性代数课后习题答案

习题一

1、2、3(答案略)

4、 (1) ∵ (127435689)415 (奇数)

∴ (127485639)为偶数

故所求为127485639

(2) ∵(397281564)25119 (奇数)

∴所求为397281564

5、(1)∵(532416)421106 (偶数)

∴项前的符号位611 (正号)

(2)∵325326114465112632445365aaaaaaaaaaaa (162435)415

∴ 项前的符号位5(1)1 (负号)

6、 (1) (2341)(1)12nnLL原式=(1)(1)!nn

(2)((1)(2)21)1(1)(2)21nnnnnnLL原式=(1)(2)2(1)!nnn

(3)原式=((1)21)12(1)1(1)nnnnnaaaLL (1)212(1)1(1)nnnnnaaaL

7、8(答案略)

9、 ∵162019(42)0Dx

∴7x

10、 (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得

11(1)111001(1)1110(1)11(1)1101xxnxxxnxxxnxxnxxLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

1(1)(1)nxnx

(2)按第一列展开:

11100000(1)(1)00nnnnnyxyDxxyxyxyLLLLLLLL 线性代数习题答案详解__复旦大学出版社

- 2 - (3)1231134114512(1)2113211221nnnnnDnnnnnLLLLLLLLLLL