第五章课后习题及解答
1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：
(1) ;1332⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-- 解：,0731
332
2=--=--=-λλλλλA I 2
373,237321-=+=λλ ,001
33637123712137
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T -
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001
336371237123712⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---+
A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T
(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-- 解：2)2)(1(2
111211
3--==------=-λλλλ
λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛- 解：3)2(311
111002
-==------=-λλλλλ A I
所以，特征值为：21=λ(三重根)
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(T
T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。 (4) ;1000210032104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 解：4)1(1
0002100
3210
4321
-=----------=-λλλλλλA I 所以，特征值为：11=λ(四重根)
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=-00002000320043201A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)0,0,0,1(T
因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T k )0,0,0,1(1(01≠k )
(5) ;111122254⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----- 解：3)1(11
1122254
-==--+--=-λλλλλ A I
所以，特征值为：11=λ(三重根)
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-000110101011132
2531 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,1(T
- 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
k )1,1,1(1-(01≠k ) (6) ;020212022⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----
解：)2)(4)(1(20212
022
+--==--=-λλλλ
λλλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根), 42=λ(单根), 23-=λ(单根),
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0001201011202020211 A I λ
所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)2,1,2(T
-- 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T
k )2,1,2(1--(01≠k ) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0002102014202320222 A I λ
所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)1,2,2(T
- 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：T
k )1,2,2(2-(02≠k ) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001101022202320243 A I λ
所以，0)(3=-x A I λ的基础解系为：.)2,2,1(T
因此，A 的属于3λ的所有特征向量为：T k )2,2,1(3(03≠k )
2. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=x A 44174
147的特征值31=λ(二重)，122=λ, 求x 的值，并求其特征向量。
解：123377++=++x 4=∴x
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0000001441441441443 A I
所以，0)3(=-x A I 的基础解系为：.)4,0,1(,)0,1,1(T
T - 因此，A 的属于3的所有特征向量为：T
T k k )4,0,1()0,1,1(21+-(21,k k 为不全为零的任意常数) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00011010184415414512 A I
所以，0)12(=-x A I 的基础解系为：.)1,1,1(T --
因此，A 的属于12的所有特征向量为：T
k )1,1,1(3--(03≠k ) 3. 设21,x x 是矩阵A 不同特征值的特征向量，证明21x x +不是A 的一个特征向量。
