高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
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（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
页脚
.
.
增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不 变，令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、 W 和效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.1
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
2.2 （1）
（2） W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得： 得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（3） （4）
页脚
.
（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？
（b）两期消费之间的替代弹性为
，
或 的替代弹性为 。
。证明，若效用函数为（2.43）式，是则 与 之间
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）
（2） 求解约束条件：
（3） 将方程（3）代入（1）中，可得：
（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两
页脚
.
.
答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 ，从
到
。
考虑家庭在
时期减少每单位有效劳动的消费为
。然后他在
投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这 一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
.
抵消
然后求消费的增长率 ，可得：
（5）
由于利率 r 是常数，所以消费的增长率为常数。如果
，则市场利率超
过贴现率，则消费会增加；反之，如果
，则市场利率小于贴现率，则消费
会减少。如果
，则 决定了消费增长的幅度。 值越低，也就是替代弹性
越高， 越高，即消费增长的越快。 重写方程（5），得：
对方程（6）积分，积分区间是从时间τ=0 到时间τ=t，可得：
.
.
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
第 2 章无限期模型与世代交叠模型
2.1 考 虑 N 个 厂 商 ， 每 个 厂 商 均 有 规 模 报 酬 不 变 的 生 产 函 数
, Y F K，AL ， 或 者 采 用 紧 凑 形 式
。假设
。假设所有厂商都能以工资 wA 雇用劳动，以成本 r 租赁资 本，并且所有厂商的 A 值都相同。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有财 富的一半。那么，消费是否会在时刻 发生突然变化？为什么？（如果会的话， 请说明时刻 前后消费之间的关系。）
（b）假设事先知道，在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有的部 分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在 时刻 发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻 前后消费之间的关系。)
（6）
上式可以简化为： 对方程（7）两边取指数，可得： 下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：
（7） ，整理得：
（8）
将
代入上式，可得：
（9）
只要
，从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：
（10）
将方程（10）代入（9）中，求解 ：
（11）
为 N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，
k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有 的劳动人数，则它也会生
产
的产量。这恰好是 N 个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两 期，其效用函数由方程（2.43）给定。令 和 分别表示消费品在这两期中的 价格，W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：
2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数 为
。考虑家庭在（2.6）
的约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的 C 表示为初始财富加上劳
动收入现值、 以及效用函数各参数的函数。
答： 2.1 2.6
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
页脚
.
令 建立拉格朗日方程：
.
（1） （2）
求一阶条件：
抵消 项得： 可以推出： 将其代入预算约束方程，得：
将
代入上式，得：
只要
，则积分项收敛，为
，则：
将方程（7）代入（4）： 因此，初始消费为：
（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
个人的初始财富为 ，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。 为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡
页脚
.
.
边对 求一阶条件可得：
解得： 将方程（5）代入（3），则有：
（5）
解得： 将方程（6）代入（5）中，则有： （b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为： 对方程（8）两边取对数可得： 则消费的跨期替代弹性为：
（6） （7） （8） （9）
因此， 越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
，
同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
页脚
.
.
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
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增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不 变，令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、 W 和效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.1
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
2.2 （1）
（2） W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得： 得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（3） （4）
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（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？
（b）两期消费之间的替代弹性为
，
或 的替代弹性为 。
。证明，若效用函数为（2.43）式，是则 与 之间
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）
（2） 求解约束条件：
（3） 将方程（3）代入（1）中，可得：
（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两
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答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 ，从
到
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考虑家庭在
时期减少每单位有效劳动的消费为
。然后他在
投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这 一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
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抵消
然后求消费的增长率 ，可得：
（5）
由于利率 r 是常数，所以消费的增长率为常数。如果
，则市场利率超
过贴现率，则消费会增加；反之，如果
，则市场利率小于贴现率，则消费
会减少。如果
，则 决定了消费增长的幅度。 值越低，也就是替代弹性
越高， 越高，即消费增长的越快。 重写方程（5），得：
对方程（6）积分，积分区间是从时间τ=0 到时间τ=t，可得：
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高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案
第 2 章无限期模型与世代交叠模型
2.1 考 虑 N 个 厂 商 ， 每 个 厂 商 均 有 规 模 报 酬 不 变 的 生 产 函 数
, Y F K，AL ， 或 者 采 用 紧 凑 形 式
。假设
。假设所有厂商都能以工资 wA 雇用劳动，以成本 r 租赁资 本，并且所有厂商的 A 值都相同。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有财 富的一半。那么，消费是否会在时刻 发生突然变化？为什么？（如果会的话， 请说明时刻 前后消费之间的关系。）
（b）假设事先知道，在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有的部 分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在 时刻 发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻 前后消费之间的关系。)
（6）
上式可以简化为： 对方程（7）两边取指数，可得： 下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：
（7） ，整理得：
（8）
将
代入上式，可得：
（9）
只要
，从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：
（10）
将方程（10）代入（9）中，求解 ：
（11）
为 N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k，
k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有 的劳动人数，则它也会生
产
的产量。这恰好是 N 个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两 期，其效用函数由方程（2.43）给定。令 和 分别表示消费品在这两期中的 价格，W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：
2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数 为
。考虑家庭在（2.6）
的约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的 C 表示为初始财富加上劳
动收入现值、 以及效用函数各参数的函数。
答： 2.1 2.6
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
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令 建立拉格朗日方程：
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（1） （2）
求一阶条件：
抵消 项得： 可以推出： 将其代入预算约束方程，得：
将
代入上式，得：
只要
，则积分项收敛，为
，则：
将方程（7）代入（4）： 因此，初始消费为：
（3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
个人的初始财富为 ，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。 为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡
页脚
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边对 求一阶条件可得：
解得： 将方程（5）代入（3），则有：
（5）
解得： 将方程（6）代入（5）中，则有： （b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为： 对方程（8）两边取对数可得： 则消费的跨期替代弹性为：
（6） （7） （8） （9）
因此， 越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
，
同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
页脚
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上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
