余弦定理教案 (1)

第一章 第三课时 余弦定理（1）主备人：杜瑞杰 审稿人：姚平一、教学目标1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会“利用向量积将向量等式化为数量等式”的过程在解三角形中的作用。

2.了解余弦定理的几种变形公式及形式。

3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题。

二、重点难点重点：余弦定理的证明及其应用。

难点：余弦定理的证明及其应用。

三、预习提纲1、在上节课中,我们通过对向量等式AC BA BC +=的两边与(AD 为△ABC 中BC 边上的高)作数量积,将向量等式转化为数量关系,进而推出了正弦定理。

还有其他的途径将向量等式AC BA BC +=数量化吗？ （AC BA BC ,,这三个向量的模与三角形的边长有关,它们的夹角与三角形的角有关,引导学生分析出:两边平方)222))((ACAC BA BA AC BA AC BA BC BC +⋅+=++=⋅2222cos 2)cos(2b A bc c AC A AC BA BA +-=+-+=π，即A bc c b a cos 2222-+=。

同理可得：B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=。

上述等式表明,三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这样我们就得到余弦定理（它揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具）。

余弦定理(形式一):A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=，注意：（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一。

（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛。

第七节 正弦定理和余弦定理教学目标 知识与技能：掌握正弦定理、余弦定理、并能解决一些简单的三角形度量问题.过程与方法：：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状． 情感与价值观：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力。

授 课时【课 题】 第七节 正弦定理和余弦定理【授课时间】 2020年 月 日 班级：高三（ ）班【教学目标】掌握正弦定理、余弦定理、并能解决一些简单的三角形度量问题.【教学重点】正弦定理、余弦定理【教学难点】运用正弦定理、余弦定理、并能解决一些简单的三角形度量问题【课 型】 辅导课【教学用具】 班班通【教学方法】 讲练结合法，分析法，讨论法【教学过程】初次备课二次备课 二、预习检测：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53 B.54 C.55D.56三、新课引入：四、新课讲授：1．(易错题)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝( ) A.π6 B.π3C.π3或2π3D.π6或5π6解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C， 得sin A ＝a sin C c ＝12. ∵a <c ，∴A <C ，∴0<A <π3，∴A ＝π6. 答案：A 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：依题意得sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即cos B sin A ＋sin B cos A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．答案：A3．(2020·兰州一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 的值为( ) A.223B.34C.74D.13 解析：由正弦定理，得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b 2＝2a 2，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34，所以sin B ＝74. 答案：C4．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝ .解析：∵b sin A ＋a cos B ＝0，∴a sin A ＝b －cos B.由正弦定理，得－cos B ＝sin B ，∴tan B ＝－1.又B ∈(0，π)，∴B ＝3π4.。

《余弦定理》教学案例天印高级中学张梅一、教材分析及设计思路1、教材分析“余弦定理”是全日制普通高级中学教科书（数学必修5）第一章第一节的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。

布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。

教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。

因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2、设计思路根据“情境--问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。

根据上述精神，做出了如下设计：（1）创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（2）启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。

然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边（3）为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。

余弦定理教案设计一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解余弦定理的定义和表达式；（2）学会运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察和分析，引导学生发现余弦定理的规律；（2）运用几何画板或实物模型，直观演示余弦定理的应用。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生合作交流、解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）余弦定理的定义和表达式；（2）运用余弦定理解决三角形中的边角关系问题。

2. 教学难点：（1）余弦定理在实际问题中的应用；（2）灵活运用余弦定理解决复杂问题。

三、教学准备1. 教师准备：（1）熟悉余弦定理的相关知识；（2）准备几何画板或实物模型。

2. 学生准备：（1）掌握三角形的性质；（2）了解勾股定理。

四、教学过程1. 导入新课（1）回顾三角形的性质和勾股定理；（2）提出问题：如何解决三角形中的边角关系问题？2. 探究新知（1）引导学生观察和分析三角形中的边角关系；（2）引导学生发现余弦定理的规律；（3）给出余弦定理的定义和表达式。

3. 动手实践（1）让学生利用几何画板或实物模型，验证余弦定理；（2）让学生尝试解决一些简单的三角形边角关系问题。

4. 拓展应用（1）让学生运用余弦定理解决复杂问题；（2）引导学生发现余弦定理在实际生活中的应用。

五、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结余弦定理的定义和表达式；2. 强调余弦定理在解决三角形边角关系问题中的应用；3. 鼓励学生课后思考和探索余弦定理在其他领域的应用。

六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组合作交流的表现，评价学生的学习态度和合作能力。

2. 作业评价：通过学生提交的作业，评价学生对余弦定理的理解和运用情况，以及解题的准确性。

3. 课后反馈评价：通过与学生的交流或家长反馈，了解学生对余弦定理的掌握程度和在学习过程中遇到的问题。