椭圆培优经典讲义(教师版)

专题2-4椭圆与双曲线离心率相关问题一、常见的离心率的求法：①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．二、求离心率范围建立不等式：1、利用焦半径的取值范围建立不等关系P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈−+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥−．2、利用最大顶角θ建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为 ．2021年全国乙卷（理）T112．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 ．题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边1．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的离心率为______________.2．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．73．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．7 C ．5 D ．24．（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>A C P A 33412PF F △21120PF F ∠=重点题型·归类精讲利用正余弦定理2024届·厦门大学附属科技中学10月月考5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．146．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.构造齐次方程求离心率7．双曲线2222:1(0x y C a a b−=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．43B 2C 3D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别为12,l l ，点12,F F ，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O 为圆心且过两焦点的圆与1l 交于点P (P 在第一象限)，点Q 为线段1OF 的中点，且2QP l ⊥，则双曲线的离心率为( )A ．3514− B ．3314 C ．1712D ．17129．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A 3B 2C 21D 210．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15B 5C 10D 1511．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，2222NF =，则C 的离心率为（ ） A 2B ．12C ．6237D ．3237利用勾股定理构造等式12．（2024届河南省实验中学高三校考）设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 52024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．34B ．23C ．53D ．74利用2次余弦定理14．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的两个焦点为12F F ，，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆C 上的离心率为（ ）A ．13 B ．14 C 3 D 615．设12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点A B ，均在C 上，若122F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．22B ．53C ．64D ．10516．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C 5D ．1317．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为() A ．32B ．2C 15D ．4与初中几何性质结合（相似，中位线等）2024届武汉九月调研T718．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（ ） A 3B 5C 13 D 1519．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点为()1,0F c −和()2,0F c ，直线l 过点1F ，2F 点关于直线l 对称点A 在C 上，且()2112222F A F F AF c +⋅=，则椭圆C 的离心率为____________．20．已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A.3 B.3 C.5 D.521．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______.2024届长郡中学月考（二）22．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 .23．（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 .24．已知1F ，2F 是双曲线22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 31题型二 求离心率范围范围问题25．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l ：340x y −=与C 交于M ，N 两点．若6MF NF +=，A 到l 的距离不小于85，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．5⎛ ⎝⎦ C ．3⎛ ⎝⎦ D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭26．已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>12,F F C P y Q 12PQ F F =1PF 2QF C O P ()2222:10x y E a b a b+=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E27．已知双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中0,0m λ>≠），若0λ<，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞28．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭29．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且12π3F PF ∠=，设12PF F θ∠=，当θ的范围为ππ,126⎛⎫⎪⎝⎭时，双曲线C 离心率的范围为（ ）A ．6,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．61,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．(1,3)D ．6,22⎛⎫⎪⎝⎭30．已知双曲线2222:1x y C a b−=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ） A ．()1,2B ．()1,4C ．()2,2D ．()2,431．（多选）双曲线2221y x a−=的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为（ ）．A ．324B ．2C ．32D ．232．已知双曲线2222:1,(0,0)x y a b C a b−=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y x =有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线离心率取值范围范围为 .33．设椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221y x a b−=，若双曲线的一条渐近线的斜率大于52，则椭圆的离心率e 的范围是 .34．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为 ． 35．已知点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线右支交于点P ，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若1||3F A b =，则双曲线的离心率的取值范围是()A ．2)B ．3)C ．(2,2)D ．(3,2)36．已知12F F ，分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使12120F PF ∠≥︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎭D ．3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭37．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．3⎛ ⎝⎦B ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭38．已知点P 为椭圆C ：()222101y x b b+=<<的上顶点，点A ，B 在椭圆上，满足PA PB ⊥且PA PB =，若满足条件的△PAB 有且只有一个，则C 的离心率的取值范围为（ ） A ．20,2⎛ ⎝⎭B ．6⎛ ⎝⎦C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．6⎫⎪⎪⎝⎭题型三 椭圆和双曲线公共焦点问题39．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦40．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y a a +=>和双曲线()2210x y m m−=>，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,1C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭41．设12,F F 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b −=>>的公共焦点，曲线12,C C 在第一象限内交于点12,90M F MF ∠=，若椭圆的离心率16,13e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，则双曲线的离心率2e 的范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．(1,3⎤⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．)2,⎡+∞⎣42．设12,F F 为双曲线22122:1x y C a b−=与椭圆2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点12,P PF F 是以线段1PF 为底边的等腰三角形，若椭圆2C 的离心率范围为25,512⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则双曲线1C 的离心率取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．125,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．122,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,5]43．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22124e e +的最小值为（ ）A ．3B ．92C ．4D ．5344．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．445．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是其一个公共点，1260F PF ∠=︒，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．246．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF ＞，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．247．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ） A ．43B ．433C ．4 D ．46348．如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．32B ．643C 510D 55专题2-4椭圆与双曲线离心率相关问题一、常见的离心率的求法：①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．二、求离心率范围建立不等式：1、利用焦半径的取值范围建立不等关系P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈−+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥−．2、利用最大顶角θ建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为 ．35【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式，从而利用勾股定理求得a m =，进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t ==−，224t c =，将点A 代入双曲线C得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +−=，故a m =或3a m =−（舍去）， 所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =， 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===， 所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +−∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故35c e a ==方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c −，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =−，所以()()002,,3x c y c t −=−−，则00235,3x c y t ==−，又11F A F B ⊥，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=−⋅ ⎪⎝⎭2282033c t =−=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b−=，整理得2222254199c t a b −=，则22222516199c c a b −=， 所以22222225169c b c a a b −=，即()()2222222225169c c a a c a c a −−=−，整理得4224255090c a c a −+=，则()()22225950c a c a −−=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以35e =5e =（舍去），故35e =2021年全国乙卷（理）T112．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+−=−+−=−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b −≤≤，当32bb c−≤−，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 20e <≤； 当32b b c −>−，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()2220c b −≤，显然该不等式不成立．2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 ． 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边1．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的离心率为______________. 【解答】解：设22||||F A F B m ==，由双曲线定义得：1||2F A m a =−，1||2F B m a =+， 所以11||||||(2)(2)4AB F B F A m a m a a =−=+−−=，作21F H F B ⊥，Rt △21F HF 中，213tan 4F H F H α==，可得234F H m =， Rt △2F HA 中，勾股定理得：222222222234||||||()(2)......4167m F H AH AF m a m a +=⇒+=⇒=①，Rt △21F HF 中，勾股定理得：22222221123||||||()(2)4F H F H F F m m c +=⇒+=，可得22254 (16)m c =②， 由①②可得2242547a c ⨯=，整理可得22257c a =，即577e =2．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )重点题型·归类精讲A 2B 3C 5D 7【解答】解：因为2ABF ∆为等边三角形，不妨设22||||||AB BF AF m ===，B 为双曲线上一点，1211||||||||||2F B F B F B BA F A a −=−==， A 为双曲线上一点，则21||||2AF AF a −=，2||4AF a =，12||2F F c =，由260ABF ∠=︒，则12120F AF ∠=︒，在△12F AF 中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+−⋅⋅⋅︒， 得227c a =，则27e =，解得7e =D ． 【法二】作垂直，勾股定理3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 B 7C 5D ．2【答案】B 【解析】224AB BF AF ===，1212BF BF AF a ∴−==，又212AF AF a −=，244AF a ∴==，解得：1a =，16BF ∴=， 在12BF F △中，由余弦定理得：2221212122cos 283F F BF BF BF BF π=+−⋅=，解得：1227F F =227c =，7c ∴=∴双曲线C 的离心率7ce a=4．（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .【答案】【分析】作出辅助线，得到，求出. 【详解】由题知，过作轴于，则，，，利用正余弦定理2024届·厦门大学附属科技中学10月月考 5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP 3得，222312tan sin cos 61313PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>A C P A 3312PF F △21120PF F ∠=323,2PM c AM c a ==−333PM c AM==1222F F PF c ==P PM x ⊥M 260PF M ∠=2223,,2PM c F M c AM AF F M c a c c a ∴==+=−+=−333PM c AM ==23c a =32e ∴=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠, 所以222113134,π5431211sin()3221313c a c e a c PAF =∴==+−∠⋅−⋅6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________. 3【解析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ， 则2,,P F Q 三点共线， 设1PF m =，则PQ m =，又127cos 9F PF ∠=，所以在1PF Q 中，由余弦定理有： 22222174299FQ m m m m =+−⨯=，即123m FQ = 由椭圆定义可知11243m PF PQ QF m m a ++=++=，可得32m a = 所以1231,22PF a PF a ==在12PF F △中，由余弦定理可得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠，即22222913744244493c a a a a =+−⨯⨯=，所以2213c a =， 所以3c e a ==构造齐次方程求离心率7．双曲线2222:1(0x y C a a b−=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．43B 2C 3D ．2【解答】解：因为点P 在双曲线上，且2PF x ⊥轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得2(,)b P c a ±，则22||b PF a=，12||2F F c =，所以2221212||3tan ||224b PF b a PF F F F c ac ∠====，所以223b ac =， 所以222()3c a ac −=，所以2232(1)c ca a −=，所以22320e e −−=，所以12e =−（舍去），或2e =8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别为12,l l ，点12,F F ，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O 为圆心且过两焦点的圆与1l 交于点P (P 在第一象限)，点Q 为线段1OF 的中点，且2QP l ⊥，则双曲线的离心率为( )A 351−B ．331+ C 171− D 171+【答案】B法一：利用对称性和互余关系导角【简证】设2QP l ⊥于H ，作PH ⊥x 轴于H ，易知如右图，易知∠POH=∠GOQ ，则∠1=∠2 而5s 0.10.5in a a c c ∠==，sin 2OH OHOP c∠==，则OH a =，PH b =故 221tan 1122OG PH a b a ac b QG QH b a c ∠==⇒=⇒+=+，即22212a ac c a +=−同除a ²可得21112e e +=− 解得3314e =法二：设点由题可设,),(,0)2(cP a b Q −，2,2PQ bk PQ l G a =⊥+，则 223311()()124045Q bb k k e ec a a e +⋅=−⇒−=−⇒−−==⇒+9．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A 3B ．22C 21D 2【答案】C【解析】不妨设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c −，离心率为e ，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =, 又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，yxl 2l 1:y=b aGHQF 1O F 2P 12ba c0.5c0.5bG O所以22b c a=即2220c a ac −+=，所以2210e e +−=，解得21e =（负值舍去）.10．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15B 5C 10D 15【答案】C【详解】设2F B m =,则23AF m =,124AB AF m ==. 由椭圆的定义可知1225BF BF a m +==,所以25m a =,所以265AF a =,145AF a =. 在△ABF 1中,22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF A a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.所以在△AF 1F 2中,2221212122cos F F AF AF AF AF A =+−,即22224441425554a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：22225c e a ==,所以10e =11．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，2222NF =，则C 的离心率为（ ） A 2B ．12C 623−D 323−【答案】C【详解】解：依题意作下图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分， ∴四边形12MF NF 是矩形，其中122F MF π∠=，12NF MF =，设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=， 整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，222x a a b =−，由2222NF =，得23MN MF =，即(22322a a b c −=，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得6237e =.利用勾股定理构造等式12．（2024届河南省实验中学高三校考）设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 5【答案】D【分析】由题意OE a =，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得22PF a =，14PF a =，再根据勾股定理列式求解决即可.【详解】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴=，()112OE OP OF =+，∴E 是1PE 的中点， 又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴==，且2//PF OE ， 又122PF PF a −=，14PF a ∴=，1PF 是圆的切线，1 OE PF ∴⊥，21PF PF ∴⊥又12||2F F c =，22222212416420c PF PF a a a =+=∴=+， 故225c a =，离心率5ca=2024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．34B ．23C ．53D ．74【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3an =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =−，22NF a n =−，在2Rt MNF △中22222N M MF NF +=，即()()()2223222n a n a n +−=−， 22222948444n a an n a an n ∴+−+=−+，2124n an ∴=，3a n =， 123a MF ∴=，243a MF =， 在12Rt MF F △中，2221212MF MF F F +=，即222416499a a c =+， 223620c a ∴=，2205369e ==，又()0,1e ∈，5e ∴=利用2次余弦定理14．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的两个焦点为12F F ，，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆C 上的离心率为（ ）A ．13 B ．14 C 3 D 6【答案】C解析：设1F B t =，则12AF t =，23F B t =， 由椭圆定义：1242F B F B t a +==，2at ∴=，1222F A F A a F A a +=+=，2F A a ∴=，1212cos cos AF F BF F ∠=−∠，22222294444122222a a c a c a a c a c +−+−∴=−⋅⋅⋅⋅，化简223c a =,3e ∴=，故选C15．设12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点A B ，均在C 上，若122F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（ ）A 2B 5C 6D 10【答案】B解析：设1A F t =，则22t F B =，152BF t =， 由椭圆定义：125222t tF B F B a +=+=， 23a t ∴=，1222F A F A t F A a +=+=，243a F A ∴=， 12A 2F F B =，12F A F B ∴，1212cos cos AF F F F B ∴∠=−∠，2222224162544999921222233a a a a c c a c a c +−+−∴=−⋅⋅⋅⋅，化简2295c a =，5e ∴=，故选B16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 22C ．53D ．13【答案】D【解析】因为122||||2F F AF c ==，由椭圆定义知1||22AF a c =−，又112AF F B =，所以1||BF a c =−，再由椭圆定义2||2()BF a a c a c =−−=+， 因为1212πAF F BF F ∠+∠=，所以1212cos cos AF F BF F ∠=−∠，所以由余弦定理可得22222211221122112112||||||||||||2||||2||||AF F F AF BF F F BF AF F F BF F F +−+−=−⋅⋅，即222222(22)(2)(2)()(2)()2(22)22()2a c c c a c c a c a c c a c c −+−−+−+=−−⋅−⋅，化简可得22340a c ac +−=，即23410e e −+=， 解得13e =或1e =（舍去）17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为( )A ．32B ．2C 15D ．4【解答】解：设2||BF x =，因为22||3||AF BF =，则2||3AF x =， 由双曲线的定义可得1||23AF a x =+，1||2BF a x =+， 因为1||||4232AB AF x a x x a =⇒=+⇒=，所以2||2BF a =，2||6AF a =，1||8AF a =，1||4BF a =， 因为1212F F B F F A π∠+∠=，所以1212cos cos 0F F B F F A ∠+∠=，由余弦定理可得22222212211221122122||||||||||||02||||2||||F F F B BF F F F A AF F F F B F F F A +−+−+=⋅⋅， 即222222(2)(2)(4)(2)(6)(8)0222226c a a c a a c a c a +−+−+=⋅⋅⋅⋅，解得2c e a ==． 故选：B ．与初中几何性质结合（相似，中位线等）2024届武汉九月调研T718．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 3B 5C ．132 D．152【答案】C【分析】取线段AT 中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线E 的右焦点为F '，半焦距为c ，取线段AT 中点M ，连接,,OT AF F M ''，因为FA 切圆222x y a +=于T ，则OT FA ⊥，有2222||||||FT OF OT c a b =−=−=， 因为3FA FT =，则有||||||AM MT FT b ===，||||232AF AF a b a '=−=−， 而O 为FF '的中点，于是//F M OT '，即F M AF '⊥，||2||2F M OT a '==， 在Rt AF M '中，222(2)(32)a b b a +=−，整理得32b a =， 所以双曲线E 的离心率22131c b e a a ==+=19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点为()1,0F c −和()2,0F c ，直线l 过点1F ，2F 点关于直线l 对称点A 在C 上，且()2112222F A F F AF c +⋅=，则椭圆C 的离心率为____________．【答案】12【分析】由向量线性运算化简已知等式得到21222F F AF c ⋅=，由向量数量积定义可求得22AF c =，121cos 2F F M ∠=，可知12AF F △为等边三角形；利用椭圆定义可得42c a =，进而可得椭圆离心率. 【详解】设2AF 与直线l 交点为M ，则M 为2AF 中点，21AF F M ⊥；()()()1122112122112222F A F F AF F A F F F F AF F M F F AF +⋅=++⋅=+⋅21212212222F M AF F F AF F F AF c =⋅+⋅=⋅=，2221221212222212cos 22F M F F AF F F A F F AF AF F M F M c F F ∴⋅∠=⋅⋅=⋅==，2F M c ∴=，22AF c =，121cos 22c F F M c ∴∠==，则123F F M π∠=，又2122AF F F c ==， 12AF F ∴为等边三角形，则12AF c =，由椭圆定义知：1242AF AF c a +==，∴椭圆离心率12c e a ==.20．已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A.33B.32C.53D.54【答案】C【分析】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，由已知条件可得出2113=a a ，利用椭圆和双曲线的定义可求得1PF 、2PF ，分析出12F PF ∠为直角，利用勾股定理可求得椭圆1C 的离心率.【详解】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，设()2120F F c c =>，因为双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，则21223a a =， 设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点， 设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得112121214323PF a a a PF a a a⎧=+=⎪⎪⎨⎪=−=⎪⎩，由对称性可知PQ 、12F F 的中点均为原点O ，所以，四边形12PF QF 为平行四边形， 因为P 、1F 、Q 、2F 四点共圆，则有12121212πF PF FQF F PF FQF∠+∠=⎧⎨∠=∠⎩，故12π2F PF ∠=，由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即()2221142233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212049a c =， 即12523a c =，故椭圆1C 的离心率为112515323c e a ===.21．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______. 6【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据P A 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解. 【详解】解：如图所示：延长2F A ，交1PF 于点Q ， ∵P A 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||3QF OA b ==. 又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=， 223a b ∴=，222233()a b a c ∴==−，∴离心率为6c a=2024届长郡中学月考（二） 22．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 . 【答案】【分析】由题意知四边形为菱形，再结合图形得出，最后根据定义即可得出离心率.【详解】设双曲线焦距为，不妨设点在第一象限，由题意知，由且与垂直可知，四边形为菱形，且边长为，而为直角三角形，， 2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>12,F F C P y Q 12PQ F F =1PF 2QF C 31212PQF F 1223,2PF c PF c ==22221(0,0)x y a b a b−=>>2c P 12PQ F F ∥12PQ F F =1PF 2QF 12PQF F 2c 1QF O112,QF c FO c ==故，则， 则， 故， 即离心率故答案为:23．（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 . 【答案】【分析】设椭圆的左焦点为，证明四边形为矩形，设，结合椭圆定义可得，结合可得的关系，由此可求离心率.【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，，1130,60F QO QF O ∠=∴∠=1120F QP ∠=1232223,2PF c c PF c ===122322PF PF c c a −=−=3131e +==−31+O P ()2222:10x y E a b a b+=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E 53E F 'PFQF 'FR m =3am =222PF PF FF ''+=,a c E F 'PF 'QF 'RF 'P Q O O FF 'PFQF 'QF FR ⊥PFQF '4QF FR =FR m =4QF PF m '==224PF a PF a m '=−=−22F R a FR a m '=−=−所以，，在中，，即， 解得，所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得24．已知1F ，2F 是双曲线22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 31【答案】C【分析】先求解F 1到渐近线的距离，结合OA ∥F 2M ，可得∠F 1MF 2为直角，结合勾股定理可得解 【详解】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)， 设一条渐近线方程为y =b a x ,则F 122b a b=+. 设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b , A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点, ∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2.题型二 求离心率范围范围问题25．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l ：340x y −=与C 交于M ，N 两点．若6MF NF +=，A 到l 的距离不小于85，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．5⎛ ⎝⎦ C ．3⎛ ⎝⎦ D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B【分析】据162MF NF NF a NF +=+==，得到3a =，根据点A 到直线l 距离d ，求出2b ≥，从而求出c2423PR PF FR a m m a m =+=−+=−Rt F PR '222PF PR F R ''+=()()22216232m a m a m +−=−3a m =443a PF m '==4224233a aPF a m a =−=−=Rt PFF '222PF PF FF ''+=22242433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2259a c =5c e a ==得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆的左焦点为1F ，A 是C 的上顶点，连接11,MF NF ，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,M N 关于原点对称，则OM ON = 又1OF OF = ，∴四边形1MFNF 为平行四边形1MF NF ∴= ，又162MF NF NF a NF +=+==，解得：3a = A 到l 的距离为：4855b d −=≥， 解得：2b ≥22292a c c −−05c ∴<≤5c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦.26．已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】2101⎛ ⎝⎭，【分析】表示出222AB a b =−a b c 、、的齐次式，即可求出离心率的范围.【详解】1F ，2F 是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以()20F c ，圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0ax by =－交于A ，B 两点，则焦点到渐近线的距离：22bc d b a b==+，所以222AB a b =−， 122F F AB >， 22222c a b ∴−>， 可得2222244a b c a b >=+－，即：22223555a b c a >=－，可得2258c a <，所以2285c a <，所以210e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是：2101⎛ ⎝⎭，27．已知双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中0,0m λ>≠），若0λ<，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m 表示出离心率，进而可得其取值范围. 【详解】由双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中,00m λ><）， 得()2211y x m mλλ−=−+−， 则双曲线C 离心率()()()121121121111m m m m e m m m m λλλ−+−+−+====−−++++ 因为0m >，所以11m +>，则1011m <<+， 所以11221m <−<+， 所以12e <<C 离心率的取值范围为(2.28．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得c b >，据此可求出椭圆的离心率. 【详解】因为以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b c <，即22b c <，222a c c −<，222a c <，所以212e >，即22e >， 又因为01e <<，所以椭圆离心率的取值范围为2⎫⎪⎪⎝⎭．29．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且12π3F PF ∠=，设12PF F θ∠=，当θ的。

第十三讲椭圆［知识能否忆起］ 1 •椭圆的定义平面内到两个定点 F i , F 2的距离之和等于常数（大于|F I F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 F i ，F 2间的距离叫做椭圆的焦 __________［小题能否全取］x2 y 21. （教材习题改编）设P 是椭圆~4 + 9 =1的点，右F i , F 2是椭圆的两个焦点，贝U |PF i |+ |PF 2| 等于() A . 4B . 8C . 6D . 18解析：选C 依定义知|PF 11+ |PF 2|= 2a = 6.C . (— 3,1) U (1,5)D . (— 5,1)U (1,3) 5 — m > 0,解析：选C 由方程表示椭圆知 m + 3>0,5 — m ^ m + 3,X22.（教材习题改编）方程53m + m + 3=1表示椭圆, m 的范围是（A . (-3,5)B . (— 5,3)解得一3 v m v 5 且 m ^ 1.223. （2012淮南五校联考）椭圆X9 + 4^= 1的离心率为5，则k 的值为（解析：选 C 若 a 2= 9, b 2 = 4+ k ,贝V c = 5 — k ,若 a 2= 4 + k , b 2= 9,则 c ='k — 5,c 4 k — 5 4由C =4,即 =4，解得k = 21.a 5、4+k 54. （教材习题改编）已知椭圆的中心在原点，焦点在8•则该椭圆的方程是 _________5. 已知F 1, F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|= 2|PF 2|,/ PF 1F 2=30°则椭圆的离心率为 ___________ .解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin Z PF 2F 1= 1,即Z PF 2F 1=扌，设 |PF 2|= 1,贝U |PF 1|= 2, |F 2F 1| = V 3,所以离心率e = ?c =3.2a 31.椭圆的定义中应注意常数大于 |F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1, F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段 F 1F 2;当平面内的动点与定点 F 1,F 2的距离之和小于|F 1F 2| 时，其轨迹不存在.2 •已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时， 要分两种情形讨论.［考点通关把握］1典题导入解析：c 4 1 丄，•••2c = 8,「.c = 4,「.e = a = a = 2,故 a =•••椭圆的方程为64+4x8= 1.A . - 21B . 2119C .-亦或21D.25或 211y 轴上，若其离心率为2,焦距为又'/b 2= a 2— c 2= 48,4 /曰. 19 5，得 k = — 25；［例1］（山东高考）已知椭圆C:乍+羊=1（a>b>0）的离心率为兰双曲线x2—y2= 1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为)丘+社=1B.x 2+ J 1C.x !+J 1D. x 2 y 2 —+ y = 18 212 616 420 5 ［自主解答］ •••椭圆的离心率为 2，• C 也2-b 2…a = a —23 T ，••a = 2b. 故椭圆方程为x 2+ 4y 2= 4b 2.•••双曲线x 2— y 2= 1的渐近线方程为 x ±y = 0,•••渐近线x ±= 0与椭圆x 2 + 4y 2= 4b 2在第一象限的交点为绎5b ,55a 2= 4b 2 = 20.故椭圆C 的方程为20+y5 = 1.J由题悟法1 •解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题.2 •椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为：⑴定标准；⑵设方程；⑶找关系；（4）得方程.3.当椭圆焦点位置不明确时，可设为 m+羊=1（m > 0，n > 0,n ），也可设为 Ax 2+By 2= 1（A >0，B >0，且 A M B ）.>以题试法1. （2012张家界模拟）椭圆4 + y 2= 1的两个焦点为F l ，F 2，过F i 作垂直于x 轴的直线 与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|=（ ）A.2B^23C. ；3 D . 4解析：选A 因为a 2= 4， b 2= 1，所以a = 2， b = 1，+ m 2= 1,解得 m = 1，所以 |PF 1|=舟根据椭圆定义 |PF 1|+ |PF 2|= 2a ，所以 |PF 2|= 2a — |PF 1|=22—1 = 722 2.1典题导入y 2uuir uuur[例2](1)F 1、F 2是椭圆—+ y 2= 1的左右焦点，点 P 在椭圆上运动•则 PF 1 -PF 2的最•由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为2 52. 5V b X T b =4，/•b 2= 5,即不妨设F 1为左焦点,P 在x 轴上方, 则 F 1( — .'3, 0),设 P( — . 3, m)(m > 0),则(2)(江西高考)椭圆x 2 + y 2= 1(a>b>0)的左、右顶点分别是F 2,若|AF i |, |F i F 2|, |F i B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A ・4B¥ 。

九年级椭圆拔高培优及解析概述本文档将对九年级椭圆拔高培优进行详细解析，帮助学生更好地理解和掌握椭圆相关的知识点。

1. 椭圆的定义和特点椭圆是指平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点组成的集合。

椭圆具有以下特点：- 椭圆的中心为两个焦点连线的中点。

- 长轴是通过两个焦点且与椭圆内所有点连线都垂直的线段。

- 短轴是通过中心且与椭圆内所有点连线都垂直的线段。

2. 椭圆的方程椭圆的一般方程为：\[\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\]其中，(h, k)为椭圆中心坐标，a为长轴的一半长度，b为短轴的一半长度。

3. 椭圆的焦点和准线椭圆上的焦点是椭圆中心到长轴上某一点的距离，可以通过以下公式计算：\[c = \sqrt{{a^2 - b^2}}\]其中，c为焦点到椭圆中心的距离。

椭圆上的准线是与椭圆的长轴平行且通过焦点的直线。

4. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个衡量椭圆形状的值，可以通过以下公式计算：\[e = \frac{c}{a}\]其中，e为离心率，c为焦点到椭圆中心的距离，a为长轴的一半长度。

5. 椭圆的拔高培优方法为了更好地掌握椭圆相关的知识点，以下是一些拔高培优的方法：- 认真研究椭圆的定义和特点，理解椭圆的构成和性质。

- 掌握椭圆的方程和坐标表示方法，能够根据给定条件确定椭圆的方程。

- 熟练计算椭圆的焦点、准线和离心率等相关参数。

- 多做椭圆相关的数学题，积累解题经验。

通过以上的拔高培优方法，相信同学们能够更好地理解和掌握九年级椭圆的知识。

总结本文档详细解析了九年级椭圆拔高培优及其解析，帮助学生更好地理解椭圆相关的知识点。

同学们在学习椭圆时，应该牢记椭圆的定义、方程和特点，并通过多做相关题目来提高自己的解题能力。

相信通过努力学习和练习，大家能够在椭圆的知识上取得更好的成绩。

椭圆(一)复习要点1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.4.了解椭圆的简单应用．一椭圆的概念1．我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．2．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：(1)若a >c ，则集合P 为椭圆；(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；(3)若a <c ，则集合P 为空集．二椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距|F 1F 2|＝2c焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )离心率e ＝ca∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2常/用/结/论椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.一般常用定义＋余弦定理解决．(1)当P 为短轴端点时，θ最大，S △F 1PF 2最大．(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝b 2tan θ2＝c |y 0|.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ＋n ＝2a ，①2＝m 2＋n 2－2mn cos θ，②①2代入②得mn ＝2b 21＋cos θ，则S △F 1PF 2＝12mn sin θ＝b 2sin θ1＋cos θ＝b 2·2sin θ2cosθ22cos 2θ2＝b 2tan θ2.(3)|PF 1|max ＝a ＋c ，|PF 1|min ＝a －c .(4)|PF 1|·|PF 2＝a 2.(5)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.1．判断下列结论是否正确．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)y 2m 2＋x 2n 2＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆．()(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．()(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)表示的曲线是椭圆．()2．(2024·重庆诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是()A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32解析：把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32，故选D.答案：D3．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：－k >0，－3>0，－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：(3,4)∪(4,5)4．(2024·广东深圳模拟)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为____________．解析：因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以c a ＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．答案：x 24＋y23＝1(答案不唯一)题型椭圆的定义及应用典例1(1)(2024·云南丽江模拟)一动圆P 与圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1外可得|PA|＝r ＋1.切，而与圆B ：(x －1)2＋y 2＝64内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是()数形结合可得|PB|＝8－r.A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．双曲线的一支(2)(2023·全国甲卷，文)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()可直接利用焦点三角形的面积秒杀：S △F 1PF 2＝b 2tan θ2＝12|PF 1|·|PF 2|⇒|PF 1|·|PF 2|.A ．1B ．2C ．4D ．5(3)(2024·江西九江模拟)已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 为平面内异于F 1，F 2的两点．若AB 的中点P 在C 上，且AC →＝2AF 1→，AD →＝2AF 2→，则|BC |＋|BD |＝()A ．4B ．42C ．8D ．82解析：(1)设动圆P 的半径为r ，又圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1的半径为1，圆B ：(x －1)2＋y 2＝64的半径为8，可知圆A 在圆B 内部，则|PA |＝r ＋1，|PB |＝8－r ，可得|PA |＋|PB |＝9，又9>2＝|AB |，则动圆的圆心P 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为9的椭圆．故选A.(2)方法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan 45°＝1＝12×|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.方法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16.又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.(3)如图所示，连接PF 1，PF 2，∵AC →＝2AF 1→，AD →＝2AF 2→，∴F 1，F 2分别为线段AC ，AD 的中点．又P 为AB 的中点，∴PF 1，PF 2分别是△ABC 和△ABD 的中位线，∴|BC |＝2|PF 1|，|BD |＝2|PF 2|，【划重点】通过中位线将待求长度转化为椭圆上的点到焦点的距离，便可利用椭圆定义求值了．∵点P 在C 上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|BC |＋|BD |＝82.故选D.1．椭圆定义的应用范围(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．(2)解决与焦点有关的距离问题．2．焦点三角形的应用椭圆上一点P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；常见题型：①周长；②面积；③焦半径．利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等.对点练1(1)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上一点，M ，N 分别是圆(x ＋3)2＋y 2＝4和(x －3)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的取值范围是()A ．[7,13]B ．[10,15]C ．[10,13]D ．[7,15](2)(2023·全国甲卷，理)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A.25B.302C.35D.352(3)已知A －12，0，B 是圆x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．解析：(1)如图，设F 1，F 2分别为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，则由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以7＝10－(1＋2)≤|PM |＋|PN |≤10＋(1＋2)＝13，即|PM |＋|PN |的取值范围为[7,13]．故选A.(2)由题不妨设F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以|OF 1|＝|OF 2|＝3，|F 1F 2|＝23，|PF 1|＋|PF 2|＝6.在△POF 1中，由余弦定理得cos ∠POF 1＝|OF 1|2＋|OP |2－|PF 1|22|OF 1|·|OP |，在△POF 2中，由余弦定理得cos ∠POF 2＝|OF 2|2＋|OP |2－|PF 2|22|OF 2|·|OP |，又∠POF 1＋∠POF 2＝π，所以cos ∠POF 1＋cos ∠POF 2＝|OF 1|2＋|OP |2－|PF 1|22|OF 1|·|OP |＋|OF 2|2＋|OP |2－|PF 2|22|OF 2|·|OP |＝0，又|OF 1|＝|OF 2|，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|OF 1|2＋|OF 2|2＋2|OP |2＝6＋2|OP |2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝36－122|PF 1|·|PF 2|－1＝35，解得|PF 1|·|PF 2|＝152，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝6，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|＝36－15＝21，所以6＋2|OP |2＝21，所以|OP |＝152＝302.故选B.(3)如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |＝1，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.答案：(1)A (2)B(3)x 2＋43y 2＝1题型椭圆的标准方程典例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)经过点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)；宜采用焦点不定的设法：mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m≠n)，这样可避免分类讨论，简化计算过程．(2)与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)．注意要讨论焦点所在的轴．解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点P1(6，1)，P2(－3，－2)在椭圆上，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.故x29＋y23＝1为所求椭圆的方程．(2)方法一：e＝ca＝a2－b2a＝12.若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x2m2＋y2n2＝1(m>n>0)，思路较自然，找到关于m，n的方程组即可．则由e2＝1－b2a2＝14，得1＝14，从而＝34，nm＝32.又4m2＋3n2＝1，∴m2＝8，n2＝6.∴所求椭圆的方程为x28＋y26＝1.若焦点在y轴上，设方程为y2m2＋x2n2＝1(m>n>0)，则3m2＋4n2＝1，且nm＝32，解得m2＝253，n2＝254.故所求椭圆的方程为y2253＋x2254＝1.方法二：若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为x24＋y23＝t(t>0)，将点(2，－3)代入，此法是共离心率椭圆方程的设法，简化运算．得t＝224＋－323＝2.故所求椭圆的方程为x28＋y26＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的方程为y24＋x23＝λ(λ>0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求椭圆的方程为y2253＋x2254＝1.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：对点练2(1)已知方程(k－1)x2＋(9－k)y2＝1，若该方程表示椭圆方程，则实数k的取值范围是()A．(1,9)B．(9，＋∞)C．(－∞，1)D．(1,5)∪(5,9)(2)古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，其面积为83π，过点F1的直线l与椭圆C交于点A，B且△F2AB的周长为32，则椭圆C的方程为()A.x2 64＋y23＝1B.y 264＋x 23＝1C.x 264＋y 248＝1D.y 264＋x 248＝1解析：(1)因为方程(k －1)x 2＋(9－k )y 2＝1－1>0，－k >0，－1≠9－k ，解得1<k <5或5<k <9，所以实数k 的取值范围是(1,5)∪(5,9)．故选D.(2)∵焦点F 1，F 2在y 轴上，∴可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，面积为S ，由题意可得4Sπ＝2a ×2b ＝4ab ，∴S ＝ab π＝83π，即ab ＝83，∵△F 2AB 的周长为32，∴4a ＝32，则a ＝8，∴b ＝3，故椭圆方程为y 264＋x 23＝1.故选B.答案：(1)D(2)B题型椭圆的离心率的多维研讨维度1求离心率的值或与离心率有关的计算典例3(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a2＋y 2＝1(a >1)，C 2：注意焦点在x 轴呦！x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()分别求出e 1，e 2，代入可求得a.A.233B.2C.3D.6(2)(2024·河北保定调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，∠PF 1F 2＝π3，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线交F 1P 的延长线于点N .若sin ∠PNF 2＝64，则椭圆的离心率为()A.3－12B.32C.52D.5－12(3)如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P (当成质点)，篮球的影子是椭圆，篮球的接触点(切点)就是影子椭圆的焦点，实际问题中蕴含着直线、圆、椭圆的位置关系，因此准确作图是解决本题的关键．点P 到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e ＝________.解析：(1)由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.(2)设NF 2与∠F 1PF 2的外角平分线的交点为M ，∠NPM ＝∠MPF 2＝α，由于sin ∠PNF 2＝64，PM ⊥NF 2，所以cos α＝sin ∠PNF 2＝64，cos 2α＝2cos 2α－1＝－1＝－14，所以cos ∠F 1PF 2＝cos(π－2α)＝14，sin ∠F 1PF 2＝154.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2a －x .在△PF 1F 2中，由余弦定理得(2c )2＝x 2＋(2a －x )2－2x (2a －x )cos ∠F 1PF 2①，焦点三角形问题：定义＋余弦定理．由正弦定理得2c154＝2a －x32，则x ＝2a －455c ，将其代入①式化简得c 2－5ac ＋a 2＝0，方法：求椭圆的离心率通常考虑建立关于a ，c 的齐次等式．即e 2－5e ＋1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝5－12，由于0<e <1，故e ＝5－12.故选D.(3)以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得P (0,4)，R (－3,0)，则直线PR目的是将几何问题代数化．的斜率k PR ＝43，直线PR ：4x －3y ＋12＝0.设影子椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，则|QR |＝a －c .设M (n,1)，则Q (n,0)，点M 到直线PR 的距离d ＝|4n －3＋12|42＋－32＝1，解得n ＝PR 与⊙M 相切：d ＝r.－1(舍去)，n ＝－72，则|QR |＝|－72－－3|＝12＝a －c .设直线PN ：kx －y ＋4＝0，则点M －72，1到直线PN 的距离d 1＝|－72k －1＋4|k 2＋－12＝1，得45k 2－84k ＋32＝0，Δ>0，∴k PR ·k PN ＝3245，则k PN ＝815，直线PN ：815x －y ＋4＝0，令y ＝0，得x N ＝－152.∴2a ＝|－152－－3|＝92，则a ＝94，故c ＝74.∴椭圆的离心率e ＝c a＝79.故答案为79.求椭圆的离心率的方法(1)直接求出a ，c 来求解．通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值．(2)构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．如：c 2－5ac ＋a 2＝0，即e 2－5e ＋1＝0.对点练3(1)(2024·江苏南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 为其左焦点，直线y＝kx (k >0)与椭圆C 交于点A ，B ，且AF ⊥AB .若∠ABF ＝30°，则椭圆C 的离心率为()A.73 B.63C.76D.66(2)(2024·广东湛江模拟)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为34的直线与以点F 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为()A.55B.12C.33D.22解析：(1)设椭圆C 的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2，则四边形AFBF 2为平行四边形．设|AF |＝m ，∵∠ABF ＝30°，AF ⊥AB ，∴|BF |＝2m ，|BF 2|＝|AF |＝m ，|BF |＋|BF 2|＝2m ＋m ＝2a ，则m ＝23a .在△BFF 2中，(2c )2－2×43a ×23a ×cos 120°，整理得4c 2＝289a 2，即c ＝73a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝73.(2)过椭圆C 的下顶点(0，－b )且斜率为34的直线方程为y ＝34－b ，即34x －y －b ＝0，F (c,0)，由点到直线的距离公式，得c ＝|34c －b |c 2＝－32bc ＋b 2，即(2c －b )·(c ＋2b )＝0，则2c －b ＝0，b ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，即a 2＝(2c )2＋c 2＝5c 2，解得c a ＝55.故选A.答案：(1)A (2)A维度2求离心率的取值范围典例4已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范先考虑P 位于上(下)顶点时，e ＝22，假设a 不变，将椭圆压扁满足题意，即b 变小，c 变大，也即e 变大．围是________．解析：方法一：设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)，若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 20＋bc 2，∴x 20＝a 2c 2－b 2c 2.∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c2≤1.利用x 0∈[－a ，a]，找到关于a ，c 的不等式．∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.方法二：若存在点P ，则圆x 2＋y 2＝c 2与椭圆有公共点，即b ≤c <a ，即b 2≤c 2，∴a 2－c 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.故答案为22，求椭圆离心率的取值范围的方法方法解读适合题型几何法利用椭圆的几何性质，如|x |≤a ，|y |≤b,0<e <1，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系借助几何图形更直观．题设条件有明显的几何关系直接法根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a ，b ，c 的不等关系式题设条件直接有不等关系对点练4已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (c,0)，上顶点为A (0，b )，若在直线x＝a2c上存在一点P 满足(FP →＋FA →)·AP →＝0，则椭圆的离心率的取值范围为()A.12，B.22，C.5－12，，22解析：取AP 的中点Q ，则FQ →＝12×(FP →＋FA →)，所以(FP →＋FA →)·AP →＝2FQ →·AP →＝0，所以FQ⊥AP ，所以△AFP 为等腰三角形，即|FA |＝|FP |，且|FA |＝b 2＋c 2＝a .因为点P 在直线x ＝a 2c上，所以|FP |≥a 2c －c ，即a ≥a 2c －c ，所以c 2＋ac －a 2≥0，所以e 2＋e －1≥0，解得e ≥5－12或e ≤－5－12.又0<e <1，故5－12≤e <1.故选C.答案：C。