抛物线的标准方程ppt

抛物线方程及图像

抛物线的标准方程有四种形式，其中参数p的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质：其中P(x0,y0)为抛物线上任一点。

抛物线的四种图像如下表所示：

对于抛物线y^2=2px(p≠0)上的点的坐标可设为( ,y0)，以简化运算。

抛物线的焦点弦

设过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）。

直线OA与OB的斜率分别为k1,k2，直线l的倾斜角为α，则有y1y2=-p^2，x1x2= ，k1k2=-4，|OA|= ，|OB|= ， |AB|=x1+x2+p。

扩展资料

抛物线四种方程共同点

1、原点在抛物线上，离心率e均为1。

2、对称轴为坐标轴。

3、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。

抛物线四种方程不同点

1、对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2。

2、开口方向不同。

开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号。

开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

原点顶点： y =轴2 （打开，a> 0）

y = -ax 2 （打开，a> 0）

x = ay 2 （向右打开，a> 0）

x = -ay 2 （向左打开，a> 0）

在（h，k）处的顶点：

y = a（x-h）2 + k（打开，a> 0）

y = -a（x-h）2 + k（打开，a> 0）

x = a（y-k）2 + h（向右打开，a> 0）

y = -a（y-k）2 + h（向左打开，a> 0）

扩展资料：

平面内与一个定点F和一条直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线上。

标准抛物线方程

嘿，你知道吗？在数学的神秘王国里，就像勇士要有锋利的宝剑一样，抛物线也有它的“神秘标准方程”，要是不搞懂，小心在数学的海洋里像没头苍蝇一样乱撞哟！

**“抛物线的起点：y = ax²的奇妙之旅”**

在抛物线的世界里，y = ax²就像是一个魔法咒语，千万别小瞧它！它可是抛物线家族的“基础款魔法”。

想象一下，a 就像是一个神奇的控制器，决定着抛物线的“胖瘦”和“开口方向”。当 a 大于 0 时，抛物线开口向上，就像一个开心大笑的嘴巴，充满了阳光和积极；当 a 小于 0 时，抛物线开口向下，仿佛一个沮丧的撇嘴。

比如说，y = 2x²，这个抛物线因为 a = 2 大于 0 ，所以开口向上，而且比 y = x²更“胖”。再看 y = -3x² ，由于 a = -3 小于 0 ，开口向下，并且比 y = -x²更“瘦”。

**“抛物线的变身：y = a(x - h)² + k 的华丽魔法”**

y = a(x - h)² + k 那可是抛物线的“超级变身术”！

它就像是给抛物线穿上了一套可以自由移动和伸缩的魔法套装。h

决定了抛物线在 x 轴上的左右平移，k 决定了抛物线在 y 轴上的上下移动。 打个比方，y = 2(x - 3)² + 4 ，这里的 h = 3 ，k = 4 ，这就意味着抛物线是由 y = 2x² 先向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位得到的。是不是很神奇？

就好像原本在原点安静待着的抛物线，突然被施了魔法，开始到处溜达！

**“抛物线的综合应用：解决实际问题的秘密武器”**

抛物线在实际生活中的应用，那简直是“绝绝子”！

它就像是一个智慧的小精灵，能帮我们解决好多难题。比如在投篮的时候，篮球的运动轨迹就可以用抛物线来描述。工程师设计桥梁的时候，抛物线也能大显身手，让桥梁既美观又稳固。

想象一下，如果没有抛物线的标准方程，我们怎么能准确计算投篮的最佳角度和力度？怎么能建造出那些令人惊叹的桥梁？

第05讲 抛物线

知识点1 抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？

不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．

②定义的实质可归纳为“一动三定”

一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．

知识点2 抛物线的标准方程和几何性质

焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．

p的几何意义：焦点F到准线l的距离．

标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)

图形

顶点 O(0,0) 【考点目录】

【知识梳理】 对称轴 x轴 y轴

焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2

离心率 e＝1

准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

开口方向 向右 向左 向上 向下

焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋p2 |PF|＝y0＋p2 |PF|＝－y0＋p2

知识点3 直线与抛物线的位置关系

设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.

(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；

当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；

当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．

(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．

1

抛物线教学课件

抛物线教学课件

抛物线教学课件

【教学内容解析】

《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之后的又一重要内容，根据抛物线定义推出的标准方程，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质和几何性质的应用提供了必要的工具和基础．因此，它是圆锥曲线这章的重要的组成部分．

《抛物线及其标准方程》的重点是抛物线的定义和抛物线标准方程．难点是抛物线标准方程的推导．

抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系．因此，抛物线标准方程的推导是培养学生数形结合思想的好素材．

【教学目标设置】

1．知识与技能

通过“几何特征”的分析，让学生由观察与思考后理解抛物线的定义；

通过类比椭圆和双曲线的标准方程的推导过程，让学生探究出抛2

物线的标准方程；

在研究方程与抛物线定义的过程中，让学生能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，根据所给的抛物线方程写出焦点坐标、准线方程．

2．过程与方法

掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，培养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、计算能力．

3．情感态度与价值观

通过本节课的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想．

【学生学情分析】

1．学生已有认知基础

学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．

2．达成目标所需要的认知基础

学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．

3．难点及突破策略