平行线典型例题 (修复的)
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例、如图,∠1=∠2,∠３＝11０°,求∠4。
例、如图,AB∥CD,AE交CD于点Ｃ,DE⊥AE,垂足为E,∠A=37°,求∠D得度数。
例、如图,ＡB,CＤ就是两根钉在木板上得平行木条,将一根橡皮筋固定在A,C两点,点E就是橡皮筋上得一点,拽动Ｅ点将橡皮筋拉紧后,请您探索∠A,∠AEC,∠Ｃ之间具有怎样得关系并说明理由、(提示:先画出示意图,再说明理由)提示:
这就是一道结论开放得探究性问题,由于Ｅ点位置得不确定性,可引起对E点不同位置得分类讨论。本题可分为AB,CD之间或之外。
结论:①∠AＥC＝∠A+∠C ②∠AＥＣ＋∠Ａ+∠C=360°③∠AEC=∠C—∠Ａ ④∠AEC＝∠A－∠Ｃ⑤∠AＥC=∠Ａ－∠C ⑥∠AEC＝∠Ｃ－∠A、
例、如图,将三角板得直角顶点放在直角尺得一边上,∠1=30°,∠２=５０°,则∠3得度数为( )
ﻩA、8０ﻩ B、50ﻩC、3０ ﻩD、2０
例、将一个直角三角板与一把直尺如图放置,如果∠α=４３°,则∠β得度数就是( )
ﻩA、４3°ﻩ Ｂ、４7° C、30°ﻩﻩＤ、60°
例、如图,点A、B分别在直线CM、DＮ上,CM∥ＤN.
(1)如图1,连结AB,则∠CAB+∠ABD
=
;
(2)如图2,点就是直线CM、ＤN内部得一个点,连结、。求证:＝360°;
(３)如图3,点、就是直线CM、DN内部得一个点,连结、、。
试求得度数;
(4)若按以上规律,猜想并直接写出…得度数(不必写出过程)。
例、如图,已知直线l１∥ｌ２,且l3与l1、l2分别交于A、Ｂ两点,点P在AB上.
(１)试找出∠1、∠２、∠3之间得关系并说出理由;
(2)如果点P在A、B两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间得关系就是否发生变化?
(3)如果点Ｐ在A、B两点外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠３之间得关系(点P与A、B不重合)
例、如图,直线AＣ∥BD,连接AB,直线ＡC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点Ｐ落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAＣ,∠ＡＰＢ,∠PBD三个角。(提示:有公共端点得两条重合得射线所组成得角就是0°角)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:∠APB=∠PＡC＋∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠ＡPB=∠PAＣ＋∠PBD就是否成立?(直接回答成立或不成立)
(３)当动点P在第③部分时,全面探究∠PAＣ,∠AＰB,∠PBD之间得关系,并写出动点Ｐ得具体位置与相应得结论、选择其中一种结论加以证明、
例、如图,AB∥CD,则∠2+∠4﹣(∠1+∠3＋∠5)＝ ＿______＿_ .
例、如图,直线a∥b,那么∠ｘ得度数就是 ___＿_＿__＿ .
例、如图,AB∥CD,∠AＢF=∠ＤCE。试说明:∠BFE＝∠ＦEC、
例、如图,直线AB、ＣＤ与ＥF相交于点G、H,且∠EGＢ＝∠EHＤ.
(1)说明: AB∥CＤ
(２)若GM就是∠EGB得平分线,ＦN就是∠ＥＨD得平分线,则ＧM与HN平行吗?说明理由
例、如图,已知AB//CD,BE平分AＢC,DＥ平分ADC,BAD=70O, A M
B C
N D P1 A M
B C
N D 图2 P1
P2 A M
B C
N D
图3 (1)求EDＣ得度数;(２)若ＢＣD＝40Ｏ,试求ＢED得度数、
例、如图,DＢ∥ＦG∥EＣ,∠AＣE＝36°,AＰ平分∠ＢAC,∠PＡＧ=12°,则∠AＢＤ＝ _＿_______ 度、
例、如图,已知平分平分求证:。
例、如图,AB∥EF,AB∥CD,∠1=∠B,∠2＝∠D,那么BE⊥DE,为什么?
例、两个角有一边在同一条直线上,而另一条边互相平行,则这两个角 (
)
A。相等 B。互补 C。相等或互补 D。都就是直角
变式:如果两个角得两边分别平行,而其中一个角比另一个角得4倍少,那么这两个角就是
A、 Ｂ、 都就是 C。 或 Ｄ. 以上都不对
例、如图,若∠１=∠2,AB∥ＣＤ,试说明∠E=∠Ｆ得理由。
例、已知:如图,ＢE∥DF,∠B＝∠Ｄ。求证:AD∥BC。
例、如图,已知ＤF∥AC,∠C=∠Ｄ,您能否判断CE∥BＤ？试说明您得理由、
例、已知:如图,DG⊥BC,ＡC⊥ＢC,ＥF⊥AB,∠1=∠２,求证:CD⊥ＡＢ.
例、如图,已知∠１+∠２＝1８0°,∠3=∠Ｂ,试判断∠AED与∠ＡCB得大小关系,并说明理由.
例、如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,试判断ED与ＦB得位置关系,并说明为什么.
例、如图,∠1＋∠２＝180°,∠DAＥ＝∠ＢCF,DＡ平分∠ＢDF、
(1)ＡＥ与ＦＣ会平行吗？说明理由。
(2)AD与BＣ得位置关系如何?为什么?
(3)BC平分∠DBE吗？为什么？
例、如图,CB∥OA,∠Ｂ=∠A=１00°,E、F在CB上,且满足∠FOＣ=∠AOC,OＥ平分∠ＢＯF、
(１)求∠EOＣ得度数;
(2)若平行移动AC,那么∠OCB:∠OFＢ得值就是否随之发生变化?若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值;
(3)在平行移动AC得过程中,就是否存在某种情况,使∠OEB=∠OCA?若存在,求出∠OCA度数;若不存在,说明理由、
例、实验证明,平面镜反射光线得规律就是:射到平面镜上得光线与被反射出得光线与平面镜所夹得锐角相等.
(1)如图,一束光线m射到平面镜上,被a反射到平面镜ｂ上,又被b镜反射,若被ｂ反射出得光线ｎ与光线ｍ平行,且∠1=50°,则∠２= _____＿_＿_ °,∠3= ___＿_＿___ °;
(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= ______＿__ °,若∠1＝40°,则∠3= ＿__＿_____ °;
(３)由(1)、(２)请您猜想:当两平面镜ａ、b得夹角∠3= __＿＿_____ °时,可以使任何射到平面镜a上得光线m,经过平面镜ａ、b得两次反射后,入射光线m与反射光线ｎ平行,请说明理由。
例、四边形ABCＤ中,∠B=∠D=90°,AＥ、CＦ分别就是∠BＡD与∠ＤCＢ得内角平分线与外角平分线,
(１)分别在图１、图２、图3下面得横线上写出AE与CF得位置关系;
(2)选择其中一个图形,证明您得出得结论、 EDCBA21D C
B A F E 1
2
例、探索与发现:
(1)若直线ａ1⊥a2,ａ2∥a3,则直线a１与a3得位置关系就是 ___＿_＿___ ,请说明理由、
(2)若直线a１⊥a2,a２∥a３,a３⊥a4,则直线a1与a4得位置关系就是 _＿_＿_＿___ (直接填结论,不需要证明)
(３)现在有２０１1条直线ａ1,a2,a3,…,ａ２011,且有a1⊥a２,a2∥a3,a3⊥ａ4,ａ４∥a5…,请您探索直线ａ1与a20１１得位置关系.
例、如图,AD⊥BC于D,EＧ⊥ＢC于G,∠Ｅ=∠１,试说明AD平分∠BＡC.
例、已知,如图,∠1＝∠ＡCB,∠2＝∠3,FH⊥AＢ于H.问CD与AB有什么关系？
例、已知:如图,AE⊥BC,FＧ⊥BC,∠1=∠2,求证:AB∥CD.
例、如图,已知∠HDC与∠ABC互补,∠ＨFＤ＝∠BEG,∠H=20°,求∠G得度数.
例、如图AB∥ＣD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明AＤ∥BE.
例、如图,∠1＝∠2,∠2=∠G,试猜想∠2与∠3得关系并说明理由。
例、如图,CD∥AF,∠CＤE=∠ＢAF,AB⊥ＢC,∠BCＤ＝124°,∠DEF=8０°、
(１)观察直线ＡB与直线DE得位置关系,您能得出什么结论并说明理由;
(2)试求∠AFE得度数、
例、如图,点E、F、M、N分别在线段AB、AC、BC上,∠１+∠2=1８0°,∠３＝∠B,判断∠CEＢ与∠ＮＦB就是否相等?请说明理由。
例、如图,已知OA∥BE,OB平分∠ＡOE,∠4=∠5,∠2与∠3互余;那么DE与CD有怎样得位置关系?为什么？
例、已知:如图,AB∥CＤ,BD平分∠ABＣ,CE平分∠DCＦ,∠ACE=９0°。
(１)请问BＤ与CE就是否平行？请您说明理由。
(2)AＣ与BＤ得位置关系怎样？请说明判断得理由、
例、如图,已知∠1＋∠2＝１80°,∠DＥF＝∠A,试判断∠ACB与∠DEB得大小关系,并对结论进行说明、
例、如图,DH交BF于点E,CH交ＢF于点G,∠1=∠2,∠３=∠4,∠B＝∠５。试判断ＣH与ＤF得位置关系并说明理由、
例、如图,已知∠3=∠1+∠2,求证:∠A+∠B＋∠C＋∠Ｄ=180°。
例、如图,已知:点A在射线ＢＧ上,∠１＝∠2,∠１+∠3=180°,∠EAB=∠BＣD. 求证:EF∥CD、
例、如图,六边形ABＣＤEF中,∠A=∠D,∠Ｂ=∠E,CM平分∠ＢCＤ交AF于M,FＮ平分∠AＦE交CD于Ｎ、试判断CM与FN得位置关系,并说明理由.
例、如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E、F分别在AＤ、BC边上,连接AC交EF于G,∠１=∠ＢAC。
(1)求证:EF∥CD;
(2)若∠CAF=１5°,∠２=４5°,∠3＝２0°,求∠B与∠ACD得度数.
例、如图,在梯形AＢCD中,AD∥BＣ,ＡＤ=6cｍ,CＤ=4ｃｍ,BC=BD＝１0cm,点P由B出发沿ＢＤ方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/ｓ,交BＤ于Q,连接PE、若设运动时间为t(ｓ)(0＜t〈5)、解答下列问题:
(1)当ｔ为何值时,ＰＥ∥AB;
(2)设△ＰＥQ得面积为y(cm2),求ｙ与t之间得函数关系式;
(３)就是否存在某一时刻ｔ,使S△PEQ=225S△BCD?若存在,求出此时t得值;若不存在,说明理由;
(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFＣDE得面积就是否发生变化？说明理由。
2013年２月蓬蒿人得初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共21小题)
１、如图,ＡD⊥BC于D,EG⊥BＣ于G,∠Ｅ=∠1,可得AD平分∠BAC。
理由如下:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,( 已知 )
∴∠ADＣ＝∠EＧC=9０°,( 垂直得定义 ),
∴AD∥ＥG,( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠1＝∠2,( 两直线平行,内错角相等 )
∠E =∠3,( 两直线平行,同位角相等 )
又∵∠E=∠１(已知),∴ ∠2 = ∠3 ( 等量代换 )
∴AD平分∠ＢＡC( 角平分线得定义 )
考点: 平行线得判定与性质;角平分线得定义;垂线.
专题: 推理填空题.
分析: 先利用同位角相等,两直线平行求出AD∥EG,再利用平行线得性质求出∠1＝∠２,∠Ｅ=∠３与已知条件等量代换求出∠2=∠3即可证明.
解答: 解:∵ＡＤ⊥BC于Ｄ,EG⊥BC于G,(已知)
∴∠ADC=∠EＧC＝90°,(垂直得定义)
∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行)
∴∠１=∠2,(两直线平行,内错角相等)
∠E=∠3,(两直线平行,同位角相等)
又∵∠E=∠1(已知)
∴∠２=∠３(等量代换)
∴ＡD平分∠BAC(角平分线得定义)、
点评: 本题考查平行线得判定与性质,正确识别“三线八角”中得同位角、内错角、同旁内角就是正确答题得关键、
