概率论第四章作业附答案

3. 设轮船横向摇摆的随机振幅X的概率密度为

f(x)=b。迅 χ>6 (0, X ≤ 0.

求 E(X).

+ oo X2

解:E(X) =匸]xf(x)dx =齐J)OoX∙ e ≡^dx = 1

4. 设X1, X2,…Xn独立同分布,均值为U,且设Y = Xi,求E(Y).

解:E(Y) = EGJXIXi) = ^E(∑jl1Xj) = nμ = μ

5. 设(X,Y)的概率密度为

(e^y, 0 ≤x ≤ l,y > 0,

f(X^y) = I 0,其他

求 E(X+Y).

解:E(X + Y)=亡 U(X + y)f(x, y)dxdy = Jm(X + y)Qdxdy =VOoJ, θ^y + Y * θ^ydY = \习题4・1

1.设随机变量X的概率密度为

(2×, O ≤ X ≤ 1, I .

(l)f(x) = I O 其他 (2)f(x) =-e lx,, -oo<%< +

求 E(X)

X3 1

- 0 解:(I)E(X) = J二 xf(x)dx X ∙ 2xdx = 2 ・却

⑵ E(X) = J二 Xf(X)dx = D ∙∣e^lxl = 0

2.设连续型随机变量X的分布函数为

( O1 X < -1,

F(X) = ]a + b ∙ arcsinxl -1 ≤ x < 1,

( 1, X > 1.

试确定常数a,b,并求E(X).

解： :arcsinx的导数为「

;

: √ΓΣXΣ ；

； 1 !

:arctanx的导数为 T ;

• √1 +x2 : (1) f(×) = F'(x)= 7⅛,-ι≤xvi

0,其他

+8 Γ1 b

f(x)dx = r dx = b ∙ arcsinx g λ1√1^2 1 =bπ= 1,即 b = ^ —1 π

又因当一 ISXV 1时

F(X) = ∫ f(x)dx =

⑵ E(X) = J二 Xf(X)dx = £ J ・ √⅛ = 0 Γx 1 1 1 ----- dx = 一 ∙ arcsinx

-ι∏ √1 -x2 H XI =ZarCSinX + M 即 a=；

—1 R 2 2 6.设随机变量Xb X2相互独立,且XIZ X2的概率密度分别为

且E(X)=O.75,求常数C和α.

解:E(X)=仁7 Xf(X)血= JOI X ∙ CXadX = 0.75 fι W = { 2e"2x, X > 0,

0, X ≤ 0,

f2(χ) = { 3e"3x,

0, X > 0,

X ≤ O1 ;该题服从描数分布"

I I

求：(1)E(2X1 + 3X2); (2)E(2X1 - 3X22); (3)E(X1X2). 解：

(1) E(2X1 + 3X2) = 2E(X1) + 3E(X2) = 2*i÷3*i=2 2 3

(2) E(2X1 - 3X22)=

=2E(XI)-3E(X22)

r +8

I X2 3e^3xdx

0 r+x

I X2 d(e~3x)]

JO = 1-3*

=1 - 3 * [-

=1 - 3 * [-X2 ∙ e"3x

=1 - 3 * [0 + r+o° 'e-3x

0 + oo

0

+ 8

e-3x ∙ 2x dx] rO

=1 — 3 * [∣ J e-3x ∙ 3x dx]

2 1 =1 — 3 * — * — 3 3

(3) E(X1X2) = E(X1)E(X2) = ∣*i = ⅛

X

O 1 2

1 0.1 0.2 0.1

2 0.3 0.1 0.2

解:E(X) = ∑i ∑j XiPij = 0 * 0.1 ÷ 0 * 0.3 ÷ 1 * 0.2 + 1 * 0.1 + *0.1÷2* 0.2 = 0.9

8.设随机变量X的概率密度为 7.己知二维随机变量(X,Y)的分布律为

求

E(X).

0 ≤ X ≤ 1,

其他. 习题4・2

1.设离散型随机变最X的分布律为

X -1 0 0.5 1 2

P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2

求 E(X), E(X2)1 D(X)・

解：E(X) = (-1) *0.1 + 0* 0.5 ÷ 0.5 *0.1+ 1*0.1+2 * 0.2 = 0.45

E(X2) = (-1)2 *0.1 + 0* 0.5 + (0.5)2 * 0.1 + I2 * 0.1 + 22 * 0.2 = 1.025

D(X) = (一1 一 0.45)2 * 0.1 + (0 - 0.45)2 * 0.5 + (0.5 一 0.45)2 * 0.1 + (1 - 0.45)2 * 0.1 + (2 - 0.45)2 *

0.2 = 0.8225

2. 盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X的期望和方差. 解:X的可能取值为0,1,2

注总此处不可以用二项分布式： I

P{X =k} = C⅛kqn^k ；

E(X) = 0 * 0.1 + 1 * 0.6 + 2 * 0.3 = 1.2

D(X) = (O- 1.2)2 * 0.1 + (1 - 1.2)2 * 0.6 + (2 — 1.2)2 * 0.3 = 0.144 + 0.024 + 0.192 = 0.36

3. 设随机变量X,Y相互独立,他们的概率密度分别为

求 D(X+Y).

1 (-—0)2 49

解:D(X + Y) = D(X) + D(Y)=亦 + 旨=涪

4. 设随机变量X的概率密度为

且 E(X)=O.5FD(X)=0.15.求常数 afb,c. 解：P{x = o} = I = 0.1

2e"2xf X > 0,

O1 X ≤ O1 fγ(y) = P 0

0,其他，

fχ(x) = ie^∣x∣,-∞ < X < +∞,

求 D(X)

解:E(X) = -IXIdX = 0 ；此为奇函数,故=O

E(X2)= ^e-WdX = 2 Γ ^e-X -8 2 Loo 2 打二夕小正负无:

+∞ 2 —X I ■ x e =:穷带入结果都一样,故： •8 I

D(X)=E(X2)- [E(X)]2 = 2 设随机变量X与Y相互独立,且D(X)JD(Yr2,求D(X-Y).

解：D(X -Y) = D(X) + D(Y) =1 + 2 = 3

6.若连续型随机变量X的概率密度为

ax2 + bx + cl 0 < X < 1, 0, 其他， 5.

f(x)= I =2∫+°∙^e-× J —OO 2 P{X=2} = ∣∣ = 1

E(XY) = J [J *(x + y)dy]dx = J

4 7 7 1 Cov(X, Y) = E(XY) 一 E(X)E(Y) = —

3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

Cf 、 fye^(X+y), x>0,y>0,

3珂0,其他

求X与Y的相关系数pxy∙

解：

r+o° r+o°

=I ( I χyθ^(χ+y)dy)dx =

Jo丿O

E(Y) y2e^(χ+Y) dx)dy E(X) f1 7 a =I x(ax ÷ bx ÷ c) dx = - ÷ 丿0 b C

尹厂0・5

1 a b C E(X2) = I x2(ax2 + bx + c)dx = -÷-÷- = 0.15 + (0.5)2 = 0.4 丿 O S 4β d

r+∞ r i a b I f(x)cix = I (ax2 ÷ bx ÷ c)dx = ^∙÷^∙÷ c = 1 J-∞ JO 3 /

解得 a=12,b=-12,c=3.

习题4・3

1. 设两个随机变最XZY相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是 _

A. 8 B. 16 C. 28 D. 44

2. 设二维随机变S(XzY)的概率密度为

1

§(X + y), 0 ≤ X ≤ 2,0 ≤ y

0,其他 求 COV(X,Y).

解： + 8

(a + b + cx)dx

-8

E(X) = JQq ∣(χ + y)dy]dx = r2 X2 __

'0⅛∙y + 8,

E(Y) = [Q》x + y)dx|dy =右

E(X) =(a∙x + b∙x+c∙

e_y ∙ y dy = 2

r+ o° r + o°

E(XY) = I (I xy2e_(x+y)dy)dx = 2 JO丿O

COV(XlY) = E(XY) 一 E(X)E(Y) = 2-2*1 =0

4. 设二维随机变M(XzY)HK从二维正态分布卫 E(X)=Oj E(Y)=O, D(X)=I6, D(Y)=25, COV(XZY)=12,求(X”)的联合概 率密度函数f(x,y).

解：

--------- 1 e~Ξ(I⅛{⅛^

2πσιθ2√ 1—p2

∙∙∙ E(X) = Ol E(Y) = 0

∙*∙ AI = 0,旳=θ*

・・・ D(X) = 16, D(Y) = 25

・•・ σ1 = 4, σ2 = 5

・・・ COV(Xl Y) = 12

Cov(X, Y) 12 3

：■ P = --------------------- = ----------- =—

√D(X)√D(Y) 4*5 5

1 _25比_3Xy 丄 y2、

:∙ f(x,y) = R—e 宓 16一 50 十刃 J 32π

5. 证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(XzY). y2e"xe"ycix)dy

y2 d(e"y)

运用分部积分法.

:

^o°e-×∙ydy服从入“的指数分布:

所以

PXy = Cov(XlY)

√D(χ)√oσ)

2 (X-^I)(y-^2⅜ I (y~μz)21

H σi∏2 O22' f(χ,y)=

.

. 概率论与数理统计习（第四版）题解答

第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算

一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A表示“出现偶数点”，事件B表示“出现的点数能被3整除”．

（1）写出试验的样本点及样本空间；

（2）把事件A及B分别表示为样本点的集合；

（3）事件BAABBABA,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的

集合．

解：设iω表示“出现i点”)6,,2,1(i，则

（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321

（2）},,{642ωωωA； }.,{63ωωB

（3）},,{531ωωωA，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωBA，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{BA51ωω，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”

二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：

（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A—“点数之和大于10”，B—“点

数之和小于15”．

（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3

只，A—“最小号码为1”．

解：(1) 设iω表示“点数之和等于i”)18,,4,3(i，则

},,,{1843ωωωΩ；

},,,{181211ωωωA；}.,,,{1443ωωωB

(2) 设ijkω表示“出现号码为kji,,”);5,,2,1,,(kjikji，则

},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωωΩ

}.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA

41 第四章

2.[二] 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）

解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ

P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表

1－0.7361=0.2639.

因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639). P (X=0)=04×0.26390×0.73614

=0.2936.

P (X=1)=14×0.26391×0.73613=0.4210, P (X=2)= 24×0.26392×0.73612=0.2264.

P (X=3)=34×0.26393×0.7361=0.0541, P (X=4)= 44×0.2639×0.73610=0.0049.从而

E (X)=np=4×0.2639=1.0556

3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。

∵ 事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）

∴ 6437414341343413)1(322XP

∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”

∴ 6419414241342413)2(322XP

第三章 习题参考答案

1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果

0112{0}={1}=33pppp，

得 12201333E

一般对0-1分布的随机变量有{1}Epp

2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望

290.3300.5310.229.9E

和宽的数学期望

190.3200.4210.320E

再利用数学期望的性质计算周长的数学期望

(22)229.922099.8EE

方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望

 96 98 100 102 104

p 0.09 0.27 0.35 0.23 0.06

960.09980.271000.351020.231040.0698.8E3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)ER是否等于2ER？（3）能否用2()ER来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何计算？其结果是什么？

解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER

（2）由数学期望的性质有

(2)223.2ERER

（3）因为22()()ERER，所以不能用2()ER来计算圆面积的期望值。利用随机变量函数的期望公式可求得

222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4ERER

或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望