2-7函数的连续性

§2 连续函数的性质
一、函数在某一个点处连续的定义 f ( x) f ( x0 ) 设函数f在某 U ( x0 ) 内有定义，若 xlim x 则称f在点x0连续。
0
由于函数连续是指这个极限存在并且等于f(x0)，而极限 具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛 性等，那同样的这个极限也有这些性质 定理4.2 （局部有界性） 若函数f在点x0连续，则 f在某 U ( x0 ) 内有界 定理4.3 若函数f在点x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则对任何的 正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)， 使得对一切 x∈U(x0), 有 f(x)>r (或f(x)<-r)
证明 要证明复合函数 gf在点x0连续，按定义，只要证明
x x0
lim g ( f ( x)) g ( f ( x0 ))
| g ( f ( x)) g ( f ( x0 )) |
要证明这个极限等于它，按定义 任给 0 找 0 当 | x x0 | 时
因为 g在 u0处连续 所以存在 1 0 ，当 | u u0 | 1 时，有 | g (u) g (u0 ) | 3
| g (u) g (a) |
lim f ( x) a 又因为 x 所以对上述的 1 存在 2 0 x 当 0 | x x0 | 2时 有 | f ( x) a | 1
0
从而
| g ( f ( x)) g (a) |
6
即当
| x x0 | 2 时，有
11
闭区间上连续的函数，有最大值M, 最小值m, 从而区间 为[m,M]必包含在f(I)中，又函数值最大就是M，最小是m， 所以值域最大也就能为[m,M],因此f(I)=[m,M] 若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为 f(a),因此值域为[f(a),f(b)]，若是减函数，则值域为 [f(b),f(a)]

高等数学第一章习题一、填空1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为),1[e2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)11(+x f 的定义域 [-1/2,0] 。

3.设⎩⎨⎧≤<-≤≤=211101)(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。

5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+∈,)4,(πππ6. 已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。

7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()xf e 的定义域(,0]-∞8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9. xxsin limx ∞→＝ 010.()()()=+-+∞→1761125632lim x x x x 17653。

11.x x x)21(lim -∞→＝ 2e -12.当∞→x 时，x1是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 23-14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。

15.若A x f x x =→)(lim 0（A 为有限数），而)(lim 0x g x x →不存在，则)]()([lim 0x g x f x x +→ 不存在 。

16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。

（ 不一定 ） 17.函数23122++-=x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。

傅里叶变换傅里叶变换是一个概括的复杂的傅里叶级数在极限。

代替离散与连续而让。

然后改变一个求和积分和方程(1)(2)在这里,(3)(4)被称为远期(傅里叶变换),(5)(6)被称为逆(傅里叶变换)。

的符号介绍了Trott(2004,p .第23),然后呢和有时也用来表示傅里叶变换和傅里叶反变换,分别(“将军”1999年,p . 1999)。

注意,一些作者(特别是物理学家)更愿意编写转换角频率而不是振荡频率。

然而,这破坏了对称,导致转换(7)(8)(9)(10)恢复的对称变换,该公约(11)(12)(13)(14)有时使用(马修斯和沃克1970,p . 102)。

一般来说,傅里叶变换可以定义使用两个任意常数和作为(15)(16)傅里叶变换的一个函数是实现了Wolfram语言作为FourierTransform(f,x,k),不同的选择和可以通过使用可选FourierParameters - >一个,b选择。

默认情况下,Wolfram语言以FourierParameters为。

不幸的是,许多其他约定在广泛使用。

例如,在现代物理学中,使用使用在纯数学和系统工程,概率论中使用的计算特征函数,在经典物理学,用于信号处理。

在这工作,后Bracewell(1999年,页6 - 7),它总是假定和,除非另有说明。

这种选择往往导致大大简化变换等常见功能1,等。

因为任何函数都可以分成甚至和奇怪的部分和 ,(17)(18)傅里叶变换可以表达的傅里叶余弦变换和傅里叶正弦变换作为(19)一个函数有一个向前和傅里叶反变换,这样吗(20)前提是1。

的存在。

2。

有有限数量的不连续性。

3所示。

函数有界变差。

一个足够的较弱的条件是满足的李普希兹条件(拉米1985年,p . 29)。

的一个函数(即更平稳。

,连续的数量衍生品其傅里叶变换),更紧凑。

傅里叶变换是线性的,因为如果和有傅里叶变换和,然后(21)(22)因此,(23)(24)傅里叶变换也是对称的意味着 .让表示卷积,然后犹如函数的变换有特别漂亮的变换,(25)(26)(27)(28)第一个是推导如下:(29)(30)(31)(32)在哪里 .还有一个有点令人惊讶和极其重要的关系自相关和傅里叶变换被称为Wiener-Khinchin定理。

高数（上）试题库一、判断题1、集合{}0为空集。

（ ）2、集合{}1,2A =，集合{}1,3,4B =，则{}1,2,3,4A B = 。

（ ）3、函数y x =与函数y =（ ）4、函数()cos f x x x =是奇函数。

（ ）5、函数arcsin y x =的定义域是(),-∞+∞。

（ ）6、函数arcsin y u =和22u x =+可以复合成函数2arcsin(2)y x =+。

（ ） 7、函数()sin f x x =是有界函数。

（ ）8、函数()cos f x x =，()g x = （ ） 9、如果数列n x 发散，则n x 必是无界数列。

（ ） 10、如果数列n x 无界，则n x 必是发散数列。

（ ） 11、如果)(0x f =6，但00(0)(0)5,f x f x -=+=则)(lim 0x f x x →不存在。

（ ）12、)(x f 在0x x =处有定义是)(lim 0x f x x →存在的充分条件但非必要条件 。

（ ）13、0lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=是)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件。

（ ）14、100000x是无穷大。

（ ）15、零是无穷小。

（ ） 16、在自变量的同一变化过程中，两个无穷小的和仍为无穷小。

（ ）17、1sin lim=∞→xxx 。

（ ）18、当0x →时，sin ~~tan x x x ，则330tan sin lim lim 0sin x x x x x xx x→∞→--==。

（ ） 19、)(x f 在0x 有定义，且0lim x x →)(x f 存在，则)(x f 在0x 连续。

（ ）20、)(x f 在0x x =无定义，则)(x f 在0x 处不连续。

（ ） 21、)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上有界。

（ ） 22、若)(x f 在0x 处不连续，则0()f x '必不存在。