离散数学第五章答案
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离散数学第五章答案
【篇一:3~离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数5】
题五(第五章格与布尔代数)
1.设〈l,?〉是半序集,?是l上的整除关系。问当l取下列集合时,〈l,?〉是否是格。 a) l={1,2,3,4,6,12}
b) l={1,2,3,4,6,8,12}
c) l={1,2,3,4,5,6,8,9,10}
[解] a) 〈l,?〉是格,因为l中任两个元素都有上、下确界。
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3
1
b) 〈l,?〉不是格。因为l中存在着两个元素没有上确界。
例如:8?12=lub{8,12}不存在。
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3 1
c) 〈l,?〉不是格。因为l中存在着两个元素没有上确界。
倒例如:4?6=lub{4,6}不存在。
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1
2.设a,b是两个集合,f是从a到b的映射。证明:〈s,?〉是〈2b,?〉的子格。其中
s={y|y=f (x),x∈2a}
[证] 对于任何b1∈s,存在着a1∈2a,使b1=f(a1),由于
f(a1)={y|y∈b∧(?x)(x∈a1∧f (x)=y)}
?b 所以b1∈2b,故此s?2b;又b0=f (a)∈s (因为a∈2a),所以s
非空;
对于任何b1,b2∈s,存在着a1,a2∈2a,使得b1=f (a1),b2=f (a2),从而
l∪b{b1,b2}=b1∪b2=f (a1)f (a2)
=f (a1∪a2) (习题三的8的1))
由于a1∪a2?a,即a1∪a2∈2a,因此f (a1∪a2)∈s,即上确界
l∪b{b1,b2}存在。
对于任何b1,b2∈s,定义a1=f –1(b1)={x|x∈a∧f (x)∈b1},
a2=f-1(b2)={x|x∈a∧f (x)∈b2},则a1,a2∈2a,且显然b1=f (a1),b2=f (a2),于是
glb{b1,b2}=b1∩b2=f (a1)∩f (a2)
?f (a1∩a2) (习题三的8的2))
又若y∈b1∩b2,则y∈b,且y∈b2。由于y∈b1=f
(a1)={y|y∈b∧(?x)(x∈a1∧f (x)=y)},于是存在着x∈a1,使f
(x)=y,但是f (x)=y∈b2。故此x∈a2=f-1(b2)={x|x∈a∧f(x)∈b2},因此x∈a1∩a2,从而y=f (x)∈f (a1∩a2),所以
glb{b1,b2}=b1∩b2=f (a1)∩f (a2) ?f (a1∩a2)
这说明 glb{b1,b2}=b1∩b2=f (a1)∩f (a2)=f (a1∩a2)于是从
a1∩a2∈2a可知f (a1∩a2)∈s,即下确界glb{b1,b2}存在。
因此,〈s,?〉是〈2b,?〉的子格。
3.设〈l,?〉是格,任取a,b∈l且a?b。证明〈b,?〉是格。其中
b={x|x∈l 且 a?x?b}
[证] 显然b?l;根据自反性及a?b?b
所以a,b∈b,故此b非空;
对于任何x,y∈b,则有a?x?b及a?y?b,由于x,y∈l,故有
z1=x?y为下确界∈l存在。我们只需证明z1,z2∈b即可,证明方
法有二,方法一为:
由于
a?x,所以a?x=x,于是
z1=x?y
=(a?x) ?y (利用a?x=x)
=a? (x?y) (由?运算结合律)
因此a?z1;另一方面,由y?b可知y?b=b,由x?b可知x?b=b,
于是
z1?b=(x?y) ?b
=x?(y?b)(由?运算结合律)
=x?b (利用y?b=b)
=b (利用x?b=b)
因此 z1?b,即 a?z1?b所以z1∈b
由于a?x及a?y,所以a*x=a,a*y=a,因而
a*z2=a* (x*y)
=(a*x) *y (由*运算结合律)
=a*y(利用a*x=a)
=a (利用a*y=a)
因而a?z2;又由于y?b,所以y*b=y 于是
z2=x*y
=x* (y*b)
=(x*y) *b (利用*运算结合律)
=z2*b
从而z2?b,即a?z2?b所以z2∈b
因此〈b,?〉是格(是格〈l,?〉的子格)。
方法二:根据上、下确界性质,由a?x,a?y,可得a?x*y,(见附页数)
4.设〈l,?,*,?〉是格。?a,b∈l,证明:(附页)
a?x??y,即a?z2,a?
又由x?b,y?b,可得x?y?b,x*y?y?b,即z1?b,z2?b
所以a?z1?b,a?z2?b,故此z1,z2∈b
a*b?a且a*b?b?a与b是不可比较的。
[证] 先证?
用反证法,假设a与b是可比较的,于是有a?b或者b?a。
当a?b时,a*b=a与a*b?a(得a*b≠a)矛盾;
当b?a时,a*b=b与a*b?b(得a*b≠b)矛盾;
因此假设错误,a与b是不可比较的。
次证?
由于a*b?a,a*b?b。如果a*b?a,则a?b,与a和b不可比较的
已知条件矛盾,所以a*b≠a,故此a*b?a;如果a*b=b,则b?a,也与a和b不可比较的已知条件矛盾,所以a*b≠b,故此可得a*b?b。 5.设〈l,?,*,?〉是格。证明:
a) (a*b) ? (c*d)?(a? c) * (b? d)
b) (a*b) ? (b*c)?(c ? a)?(a?b) * (b?c) * (c?a)
[证] a) 方法一,根据上、下确界的性质,由
a*b?a?a?c及a*b?b?b?d 所以得到
a*b?(a?c) * (b?d)
又由 c*d?c?a?c及c*d?d?b?d,所以得到
c*d?(a?c) * (b?d)
因此(a*b) ? (c*d) ? (a?c) * (b?d)
方法二 (a*b) ? (c*d)
?[(a?c) * (a?d)] * [(a?c) * (b?d)]
(分配不等式,交换律,结合律,保序性)
?(a?c) * (b?d)(保序性)
b) 方法一,根据上、下确界的性质