第五篇 向量代数与空间解析几何
第八章 向量代数与空间解析几何
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.
本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.
第1节 空间直角坐标系
1.1 空间直角坐标系
用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.
1.1.1 空间直角坐标系
过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2
角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.
图8-1 在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.
y
x
z
O
图8-2
1.1.2 空间点的直角坐标
设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．
图8-3 反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．y
x
z
O y x
z
A B C
(,,)M x y z
注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．
1.2 空间中两点之间的距离
设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为
212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）
事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．
图8-4 由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：
21221211)()(||y y x x N M -+-=．
过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且
212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，
在直角三角形N MN 2中，
||||122z z N N -=，
所以点M 与N 间的距离为
2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．
例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离．
解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为
d ==
例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．
解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于
MA MB =，
由公式（8-1-1），得
222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++． 从而解得7
2=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．
习题8-1
1．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号．
2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？
3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：
(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -．
4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标．
5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标．
6．求下列各对点间的距离：
(1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ； (2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．
7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点．
8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．
9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.
