高一数学函数单调性
、函数单调性知识结构
【知识网络】
1函数单调性的定义， 2 •证明函数单调性；3 •求函数的单调区间
4.利用函数单调性解决一些问题；5•抽象函数与函数单调性结合运用
二、重点叙述
1. 函数单调性定义
(一)函数单调性概念
(1) 增减函数定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值X1、X2 :
如果当X i v X2时，都有f( X i ) v f( X2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数；
如果当X i v X2时，都有f( X i ) >f( X2 ),那么就说函数y=f(X)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做的单调区间。
(2) 函数单调性的内涵与外延
⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的，是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知：任意的X1、X2 € D,
①X i v X2 ,且f( X i ) v f( X2 ),y=f(X) 在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)
②y=f(X)在区间D上是增函数,且X i v X2 , f( X i ) v f( X2 );(可用于比较函数值的大小)
i 2 i 2
证明函数单调性的方法有：定义法(即比较法)；导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是基本方法，常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(i) 定义法：利用增减函数的定义证明。在证明过程中，把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序：
①设任意的X i、X2 € D,使X i V X2 ；
②求差一变形一判断正负；此为关键步骤，变形大多要“因式分解”。
求差:;变形:化简、因式分解；判断:差的符号的正或负。
③下明确结论。
⑵转化为求商比较证明程序：
①设任意的X1、X2 € D,使X i V X2；
②求商一变形一判断小于或大于1；此为关键步骤，变形要注意“因式分解”。
求商:;变形:化简、因式分解；判断:小于或大于1。
③下明确结论，要注意商的分母的正负。
(2) 导数法:利用函数单调性与可导函数的正负性关系证明。
设可导函数在定义域的某个区间(a,b)内，如果f X 0,那么函数f(X)在这个区间内单调递增；如果 f X 0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减。
求导证明函数单调性的程序：
①求函数的导数；
②把导函数f X变形,化简，因式分解，判断正负；
(1) 判断函数单调性的方法①定义法即比较法②图象法③复合函数单调性判断法则④运算法；⑤导数法。
实际上,用导数方法证明，求解或判断一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是基本方法，常用来判定解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(2) 判断函数单调性的一些常用的结论：
①奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③单调函数必有反函数(现教材没此概念),且单调性一致；
④函数是奇函数，在某区间上递增；则在对称区间上是递减。
(3) 函数单调性判断方法介绍
[1] 、图象法：画函数y=f(x)的图象,看在某区间D上,y的值随X值的增大而增大还是减少,从而做出函数单调性的判断。
[2] 、定义法：利用增减函数的定义判断。在判断过程中，把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较判断程序：
①设任意的X1、X2 € D,使X1V X2 ；
②求差一变形一判断正负；此为关键步骤，变形多要“因式分解”。
求差:;变形:化简、因式分解；判断:的符号正或负。
③下明确结论。
⑵转化为求商比较判断程序：
①设任意的X1、X2 € D,使X1V X2；
②求商一变形一判断小于或大于1；此为关键步骤，变形要注意“因式分解”。
求商:;变形:化简、因式分解；判断:小于或大于1。
③下明确结论，要注意商的分母的正负。
[3] 、复合法：复合函数y=f(g(x))在某区间D上的单调性，取决于函数y=f(U)与函数U=g(x)在其相应区间上的单调性，可归纳为
f(g(x)) 增减减增
即奇个“减”为减；偶个“减”为增或同增异减。
复合法判断程序：
①把复合函数分解已知其单调性的基本函数g(x)和f(U);
②判断函数g(x)和f(U)在各自相应区间上的单调性；
③合成(奇个“减”为减；偶个“减”为增或同增异减),下结论。
［4］、运算法：函数f(x)、g(x)在公共定义域内：
增函数+增函数是增函数；
减函数+减函数是减函数；
增函数-减函数是增函数；
减函数-增函数是减函数。
⑸、导数法：利用函数单调性与可导函数的正负性关系判断。
设可导函数在定义域的某个区间(a,b)内，如果f (x) 0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增；如果
f (x) 0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减。
求导判断函数单调性的程序：
①求函数的导数；
②把导函数f(X)进行变形，化简,因式分解，判断正负；
(1)判断证明函数单调性
按函数单调性的“判断方法”或“证明方法”的程序进行。
(2) 比较大小；
①比较函数值大小：
若函数y=f(x)在区间D上是递增函数，且x i v X2，则f( X i ) v f( X2 )；
若函数y=f(x)在区间D上是递减函数，且x i v X2 ,则f( x i ) >f( X2 ) o
②比较自变量值大小：
若函数y=f(x)在区间D上是递增函数,且f( X i ) v f( X2 ),则X i v X2 ；
若函数y=f(x)在区间D上是递减函数，且f( X i ) v f( X2 ),则x i >x2 o
(3) 解方程与不等式
若函数y=f(x)在R上是递增函数,f(g(x)) < f( q(x)), 则g(x) < q(x)；
若函数y=f(x)在R上是递减函数,f(g(x)) < f(q(x)), 贝U g(x) > q(x) o
(4) 求值域、极值、最值
①求值域：
若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递增,则函数值域为(f(a),f(b))；若函数y=f(x)在定义域(a,b)上递减，则函数值域为(f(b),f(a)) 。
若函数y=f(x)在定义域［a,b］上递增,则函数值域为［f(a),f(b)］；
若函数y=f(x)在定义域［a,b］上递减，则函数值域为［f(b),f(a)］。
②求极值：
I、极值定义：
⑴极大值：一般地,设函数f(x)在点x o附近有定义，如果对x o附近的所有的点,都有f( X o) >
f( X),就说f(x o )是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x o ),x o是极大值点。
⑵极小值:一般地,设函数f(x)在X0附近有定义,如果对X0附近的所有的点,都有f(x)>f(x 0 ),
