第4讲二项分布及其应用
A 组
一、选择题
1．某人投篮一次投进的概率为
3
2
，现在他连续投篮6次，且每次投篮相互之间没有影响，那么他投进的次数ξ服从参数为（6，3
2
）的二项分布，记为ξ～)32,6(B ，计
算 ==)2(ξP （ ） A.
24320 B. 2438 C. 7294
D. 27
4
【答案】A 【解析】
由题意得，根据二项分布概率的计算可得==)2(ξP 224
62220
()(1)33243
C -=
，故选A ． 2．已知离散型随机变量X 服从二项分布X ～(,)B n p 且()12,()4E X D X ==，则n 与p 的值分别为 A ．218,
3 B ．118,3 C ．212,3 D ．112,3
【答案】A
【解析】
由二项分布的数学期望和方差公式可得⎩⎨⎧=-=4
)1(12p np np ,解之得32
,18==p n ,故应选
A.
3．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ ，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ） A ．
23 B ．1
3
C ．1
D ．0 【答案】B 【解析】
由题意可得()300
1200
E np D np p ξξ==⎧⎪⎨=-=⎪⎩，解得1900,3n p ==，故选B.
4．若随机变量
，且()3E X =，则()1P X =的值是（ ）
A ．4
20.4⨯ B ．5
20.4⨯ C ．4
30.4⨯ D ．4
30.6⨯ 【答案】C
【解析】
由题意().063E X n ==，5n =，1
445(1)0.60.430.4P X C ==⨯⨯=⨯．故选C ．
5．随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ） A.
3
2
B. 31
C. 1
D. 0
【答案】B
【解析】
由,200,300==ξξD E 可知()1300,12003
np np p p =-=∴= 6．已知随机变量X 服从二项分布1(6,)3
X B ，则(2)P X ==（ ） A ．
316 B ．4243 C ．13243 D ．80243
【答案】D 【解析】
由题意得，随机变量X
服从二项分布1(6,)3
X B ，则
22
461180(2)(
)(1)3
3243
P X C ==-=，故选D ． 二、填空题
7．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4
5
,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是 . （请用分数表示结果） 【答案】608
625
【解析】
由对立事件可知所求概率为0
41
3
014
44444608
1115555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
8．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：
请小王同学计算ξ的数学期望，尽管“？”处完全无法看清，且两个“！”处字迹模糊，但能断定这两个“！”处的数值相同．据此，小王给出了正确答案E ξ=________． 【答案】2
【解析】
设!,?x y ==，则21x y +=，()42222E x y x y ξ=+=+=． 9．设随机变量2~(10,)5
B ξ,则D ξ= . 【答案】
125
【解析】：∵随机变量ξ服从二项分布，且2
~(10,)5B ξ，∴D ξ=10×
25×（1-25
）=
125,故答案为：12
5
三、解答题
10．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：
（Ⅰ）求a 的值和ξ的数学期望；
（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率． 【解析】
（1）由概率分布的性质有0.10.321a a +++=，解得0.2a =， ∴ξ的概率分布为
∴00.110.320.430.2 1.7E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
（2）设事件A 表示“两个月内共被投诉2次”事件A 1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A 2表示“两个月内每月均被投诉1次”，则由事件的独立性得
1
12()(2)(0)20.40.10.08P A C P P ξξ====⨯⨯=，
222()[(1)]0.30.09P A P ξ====，
∴12()()()0.080.090.17P A P A P A =+=+=，
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
11．某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者
（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望． 【解析】
（Ⅰ）设“选手甲进入复赛”为事件A ，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：
或选手甲答了4个题，前3个2对1或选手甲答了5
