【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次项系数的符号分类使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项解题模板：第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步 分别求出其对应的不等式的解集； 第三步 得出结论.例1 已知关于x 的不等式2320ax x -+>)(R a ∈.（1）若不等式2320ax x -+>的解集为{|1}或x x x b <>，求,a b 的值．（2）求不等式ax x ax ->+-5232)(R a ∈的解集【答案】（1）1,2a b ==（2）①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ②当03<<-a 时，}13{-<<x ax ③当3-=a 时，∅④当3-<a 时，}31{ax x <<-⑤ 当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x（2）第一步，直接讨论参数大于0、小于0或者等于0： 不等式为()0332>--+x a ax ，即()()013>+-x ax第二步，分别求出其对应的不等式的解集： 当0=a 时，原不等式的解集为{}1|-<x x ； 当0≠a 时，方程()()013=+-x ax 的根为1,321-==x ax ；所以当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13|x a x x 或； ②当03<<-a 时，13-<a，∴}13{-<<x a x③当3-=a 时，13-=a ，∴∅④当3-<a 时，13->a，∴}31{a x x <<-学*科网第三步，得出结论：综上所述，原不等式解集为①当0>a 时，a x x 3{>或}1-<x ；②当03<<-a 时，}13{-<<x a x ③当3-=a 时，∅；④当3-<a 时，}31{ax x <<-；⑤当0=a 时，原不等式解集为{}1-<x x .考点：一元二次不等式的解法.【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知2320ax x -+=的两根为1x x b ==或，且0a >，根据根与系数的关系，即可求出,a b 的值．（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为()()310ax x -+>，然后通过对参数a 进行分类讨论，即可求出不等式的解集．学*科网【变式演练1】【河南省平顶山市2017-2018学年期末调研考试高二理科数学】若不等式对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【变式演练2】已知p ：1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式21253||a a x x --≥-对任意实数[]1,1m ∈-恒成立；q ：不等式2210ax x +->有解，若p 为真，q 为假，求a 的取值范围．【答案】1a ≤-∴440a ∆=+>，∴10a -<<， ∴不等式2210ax x +->有解时1a >-， ∴q 假时a 的范围为1a ≤-，②由①②可得a 的取值范围为1a ≤-．学*科网考点：命题真假性的应用类型二 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步 得出结论.例2 解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a学*科网 试题分析：21(1)10()(1)0ax a x a x x a-++>⇔-->,先讨论0a <时不等式的解集；当0a >时，讨论1与1a的大小，即分10<<a ，1=a ，1>a 分别写出不等式的解集即可. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练3】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<． 【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a ＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．考点：一元二次不等式．【变式演练4】【2018重庆高三理科数学不等式单元测试卷】已知0<b<1+a ，若关于x 的不等式（x －b ）2>（ax ）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）A ． －1<a<0B ． 0<a<1C ． 1<a<3D ． 3<a<6 【答案】C【解析】由()()22x b ax ->，整理可得（1－2a ）2x －2bx+2b >0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－2a <0，此时2a >1，而0<b<1+a ，故a>1， 由不等式()22212a x bx b -+-<0解得()()222222,2121b ab b ab x a a ---+<<--即111b bx a a -<<<-+要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<1b a --<－2，由1b a --<－2得－b<－2（a －1），则有a<2b +1，即a<2b +1<12a ++1，解得a<3，由－3<1ba --得3a －3>b>0，解得a>1，则1<a<3．学&科网类型三 根据判别式的符号分类使用情景：一般一元二次不等式类型解题模板：第一步 首先求出不等式所对应方程的判别式；第二步 讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；第三步 得出结论.例3 设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k (2x －1)}，B={x |x 2－(2x －1)k ＋k 2≥0}，且A ⊆B ，试求k 的取值范围． 【答案】.010<≤-≥k k 或【解析】第一步，首先求出不等式所对应方程的判别式：B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式k k k k 4)(4422-=+-=∆， (1)当k =0时，R x ∈<∆,0. (2)当k ＞0时，△＜0，x R ∈.(3)当k ＜0时，k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.第三步，得出结论：综上所述，k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类. 【变式演练5】在区间错误!未找到引用源。
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
解含参数的一元二次不等式例1.解关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<.【解】易知原不等式可化为()(1)0x a x -+<,其对就方程的两根为1,a -,所以(1)当1a =-时,则不等式2(1)0x +<, 则x ∈∅;(2)当1a <-时,则不等式的解集为(,1)x a ∈-;(3)当1a >-时,则不等式的解集为(1,)x a ∈-.例2.解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R ---<∈.【解】(1)当0a =时,不等式可化为10x -<,即1x <;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x +-<,其对应方程两根为11,a -,所以 ①当0a >时,显然101a -<<,所以原不等式的解为1(,1)x a ∈-; 当0a <时,有10a->,所以, ②当1a =-时,11a-=,原不等式可化为2(1)0x --<,其解为1x ≠; ③当10a -<<时,有11a ->,则不等式的解为1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ④当1a <-时,有11a -<,则不等式的解为1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; 综上(1)(2)可知,原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集)①当1a <-时,有1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; ②当10a -≤<时,有1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ③当0a =时,有(,1)x ∈-∞;④当0a >时,有1(,1)x a∈-. 例3.解关于x 的不等式220ax x a -+<.【解】(1)当0a =时,原等式可化为20x -<,即有0x >;(2)当0a ≠时,不等式对应方程的24(1)a ∆=-,所以,1)当0∆<,即1a >或1a <-时,有①当1a >时,不等式的解为x ∈∅;②当1a <-时,不等式的解为x R ∈;2)当0∆=,即1a =±时,有③当1a =时,不等式的解为x ∈∅;④当1a =-时,不等式的解为1x ≠-;3)当0∆>,即10a -<<或01a <<时,对应方程的两根为x =所以⑤当01a <<时,,故不等式的解为;⑥当10a -<<时,,故不等式的解为:()x ∈-∞+∞ . 综上(1)、(2)可知原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集) ①当1a <-时,有x R ∈;②当10a -≤<时,有()x ∈-∞+∞ ; ③当0a =时,有(0,)x ∈+∞;④当01a <<时有x ∈; ⑤当1a ≥时,有x ∈∅.〖小结〗一般地,关于x 的不等式2()()()0(0)p a x q a x r a ⋅+⋅+>≤(其中(),(),()p a q a r a 都是关于a 的简单多项式)的解法———分类讨论法,过程如下:(1)首先,讨论二次项系数()p a 符号(等于0优先);(2)其次,当()0p a ≠时,对应方程因式分解或讨论其判别式∆的符号(0,0∆<∆=优先);(3)再次,当0∆>时,讨论对应方程两根12(),()x a x a 的大小.(4)最后,按参数a 从小到大的顺序将不等式的解集分别陈述总结,能合并则合并起来. 〖巩固练习〗1.解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<.【解】(1)当0a =时,不等式为10x -+<,得1x >;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x --<,其对应方程两根为1,1a; ①当0a <时,显然101a <<,则不等式的解为1x >或1x a<; ②当0a >时,1)当1a =时,不等式为2(1)0x -<,即x ∈∅;2)当01a <<时,11a >,则不等式的解为11x a<<; 3)当1a >时,11a <,则不等式的解为11x a<<. 综上可知,不等式的解集为①当0a <时,1(,)(1,)x a∈-∞+∞ ; ②当0a =时,(1,)x ∈+∞;③当01a <<时,1(1,)x a∈; ④当1a =时,x ∈∅;⑤当1a >时,1(,1)x a∈. 2.解不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 【解】原不等式可化为(1)(2)0[(1)(2)](2)02a x a a x a x x --->⇔---->- 由于1a ≠,故其对应的方程两根为212,111a a a -=---,所以 (1)当1a >时,显然11121a -<<-,故不等式的解为2{|,2}1a x x x a -<>-或; (2)当1a <时,所以①当0a =时,有221a a -=-,故不等式2(2)0x -->的解为x ∈∅; ②当01a <<时,有221a a ->-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; ③当0a <时,有221a a -<-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; 综上(1)、(2)可知,原不等式的解为:①当0a <时,有2{|2}1a x x a -<<-;②当0a =时,有x ∈∅; ③当01a <<时,有2{|2}1a x x a -<<-;④当1a >时,有2{|,2}1a x x x a -<>-或.。
