题型三 不等式的证明与应用
例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：
(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．
【答案】略.
【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，
由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .
(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .
因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .
由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即
a ＋
b ＋2ab >
c ＋
d ＋2cd .
因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.
因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．
【易错点】不等式的恒等变形.
【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
【巩固训练】
题型一 解绝对值不等式
1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________
【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.
【解析】原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩
⎪⎨⎪⎧－2或⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.
故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．
2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.
(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围
【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．
【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，22x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；
当2当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；
所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．
(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.
当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |
⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .
由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.
故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．
3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .
(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.
【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.
【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).
(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3.
题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式
1.已知函数.
（1）图中画出的图像；
()123f x x x =+--()y f x =
