复合函数求导试题与答案

复合函数练习题计算复合函数的导数与相关性质复合函数练习题：计算复合函数的导数与相关性质复合函数是数学中一种重要的概念，它在微积分、代数以及其他数学领域中都有广泛的应用。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解复合函数的导数计算以及相关的性质。

练习题一：设函数f(x) = x^2和g(x) = √x，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，我们先求f(g(x))的导数。

根据链式法则，复合函数的导数可以表示为f'(g(x)) * g'(x)。

因此，我们需要先求出f'(x)和g'(x)。

对于函数f(x) = x^2，我们可以直接求导得到f'(x) = 2x。

对于函数g(x) = √x，我们也可以直接求导得到g'(x) = 1 / (2√x)。

接下来，将f'(x)和g'(x)代入链式法则公式中，我们可以得到f(g(x))的导数为f'(g(x)) * g'(x) = 2g(x) * (1 / (2√g(x))) = √g(x)。

同样的方法，我们使用链式法则来求g(f(x))的导数。

根据链式法则，g'(f(x)) * f'(x)。

将g(x)和f'(x)代入公式中，我们可以得到g(f(x))的导数为g'(f(x)) * f'(x) = (1 / (2√f(x))) * 2f(x) = (√f(x) / f(x))。

练习题二：设函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1，求复合函数f(g(x))和g(f(x))的导数。

解答：首先，求出函数f(x) = sin(x)和g(x) = x^2 + 1的导数。

对于函数f(x) = sin(x)，我们可以直接求导得到f'(x) = cos(x)。

对于函数g(x) = x^2 + 1，我们可以直接求导得到g'(x) = 2x。

复合函数练习题链式法则复合函数练习题——链式法则复合函数是数学中的一个重要概念，在实际问题中经常用到。

复合函数的求导是微积分中的重要内容之一，链式法则是求导过程中常用的方法。

本文将通过一些复合函数的练习题介绍链式法则的应用。

1. 题目一设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 F(x) = f(g(x)) 的导函数 F'(x)。

解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 F'(x) = f'(g(x)) * g'(x)。

2. 题目二设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 G(x) = g(f(x)) 的导函数 G'(x)。

解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 G'(x) = g'(f(x)) * f'(x)。

3. 题目三设函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，函数 g(x) 的导函数为 g'(x)，求复合函数 H(x) = g(f(g(x))) 的导函数 H'(x)。

解析：根据链式法则，复合函数的导数等于外函数对内函数求导乘以内函数的导数，即 H'(x) = g'(f(g(x))) * f'(g(x)) * g'(x)。

经过上述练习题的解析，我们可以总结出链式法则的一般表达形式：若有复合函数 y = f(g(x))，其中 f(u) 和 g(x) 均可导，则复合函数 y 对 x 的导数可以表示为：dy/dx = df/du * du/dx，其中 df/du 表示函数 f(u) 对 u 的导数，du/dx 表示函数 g(x) 对 x 的导数。

链式法则在求导过程中起到了重要的作用，通过对复合函数的求导，我们可以解决各种实际问题，如物理、经济等领域中的速度、加速度等相关问题。

高考数学专题复习：复合函数的求导法则一、单选题1．下列求导运算正确的是（ ）A ．()21ln 222x x '+=+B ．()22cos sin x x '=-C ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．'=2．已知函数()x f x e -=，则'(1)f -=（ ） A ．1eB ．1e-C ．eD ．e -3．已知函数()g x 为可导偶函数，()()f x g x c =+（c 为常数），若(1)2f '=，则(1)f '-=（ ） A ．2-B ．1-C ．2D ．04．函数sin()y x =-的导函数为（ ） A ．sin y x =B ．cos()y x =--C ．cos y x =D ．cos()y x =-5．设函数()1sin 2f x x =+，则0()(0)lim x f x f x∆→∆-∆等于（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．26．下列函数的求导正确的是（ ） A ．()22x x '-=-B ．()sin cos x x '=-C ．()1ln 33x x e e '+=+D ．()22ln x x'=7．给出下列结论：①sin cos 66ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若1y x =，则ln y x '=；③若2sin y x =，则sin 2y x '=；其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．设()ln 2f x =+的导函数为()f x '，则()1f '的值为（ ）A ．0B ．eC ．12e + D ．2e9．下列求导运算不正确．．．的是（ ） A ．()cos sin x x '=-B ．()21log ln 2x x '=C ．()xx e e --'=D ．'=10．已知函数()sin(2)2f x x π=-，则其导函数()f x '是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 11．函数()ln 25y x x =+的导数为（ ） A ．()ln 2525x x x +-+ B ．()ln 25225x x x+++ C ．()2ln 25x x + D ．25xx + 12．函数sin 2cos 2y x x =-的导数y '=（ ）A ．24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．cos2sin x x +C ．cos2sin 2x x -D ．24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数2()e cos x f x x =⋅，则()f x 的导函数()f x '=________．14．已知函数()()ln 21f x x =+，则()'1f =________.15．若函数()sin2f x x =，则0(3)()limx f x f x x∆→∆--∆=∆________.16．sin 2cos3y x x =⋅的导数是__________． 三、解答题17．（1）求函数()()()y x a x b x c =---的导数； （2）求函数()31cos 2y x =+的导数；18．求下列函数的导数：（1）21(33)x y x x e +=++ （2）cos(21)x y x+=19．求下列函数的导函数：（1）()2log x x x f =⋅； （2）()cos xxf x e =．20．求下列函数的导数．（1）()()22331y x x =+-； （2）()1sin xf x x-=； （3）y =21．求下列函数在给定点处的切线方程：（1）1y x x =-，1x = （2）212x e y x-=，12x =22．求下列函数的导数：（1）2tan y x x = （2）2ln xy x = （3）()()32231y x x =-+（4）23(21)x y x =+ （5212)cos()x y e x x -+=-+ （6）y =参考答案1．C 【分析】利用导数运算法则逐项判断 【详解】对A,（x 2+ln 2）′＝2x ，∴A 错；对B ,（cos x 2）′＝﹣sin x 2•（x 2）′＝﹣2x sin x 2，∴B 错； 对C ，'221ln 1ln 1ln x x x x x x x x ⋅-⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭∴C 对； 对D,12='∴D 错． 故选：C ． 2．D 【分析】首先求导得到()xf x e -'=-，再求()1f '-即可.【详解】()()x x f x e x e --''=⋅-=-，()1f e '-=-.故选：D 3．A 【分析】由偶函数的定义，利用复合函数的求导公式得到()()g x g x ''=--，进而结合已知条件求得()()f x f x ''-=-，由此求得(1)f .【详解】∵函数()g x 为可导偶函数， ∴()()g x g x =-,两边同时对x 求导，得到()()()g x g x x '''=-⋅-，即()()g x g x ''=--， 由()()f x g x c =+，两边同时求导得()()f x g x ''=， ∴()()()()f x g x g x f x ''''-=-=-=-，∴(1)(1)2f f ''-=-=-， 故选：A. 4．B 【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导公式求导即可． 【详解】 解：sin()y x =-，cos()y x '∴=--．故选：B ． 5．D 【分析】根据导数的定义，化简整理，可得所求即为(0)f '，根据()f x 解析式，求导，代入数据，即可得答案. 【详解】 由题意得ΔΔ0(Δ)(0)(0Δ)(0)lim lim (0)ΔΔx x f x f f x f f x x→→-+-'==， 因为()1sin 2f x x =+，所以()2cos 2f x x '=，所以(0)2 f '=， 故选：D ． 6．D 【分析】根据题意，依次分析选项中导数的计算，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，()21x '-=，A 错误； 对于B ，(sin )cos x x '=，B 错误；对于C ，(ln 3)()(ln 3)x x xe e e '''+=+=，C 错误；对于D ，2222(ln )x x x x'==，D 正确； 故选：D ．7．B 【分析】利用导数运算公式和法则即可得到答案. 【详解】常数的导数为0，①错误； 21y x '=-，②错误； 2sin cos sin 2y x x x '==，③正确.故选：B. 8．D 【分析】首先求导得到()f x '=，再计算()1f '即可.【详解】()f x =''=，()12e f '=. 故选：D 9．C 【分析】根据基本初等函数的导数以及求导运算法则判断即可. 【详解】由基本初等函数导数可知：()cos sin x x '=-，()21log ln 2x x '=，故AB 正确； 由复合函数求导法则可知：()()x x x e e x e ---''=⨯-=-，故C 错误；又幂函数的导数可知：132212x x --''⎛⎫==-= ⎪⎝⎭D 正确； 故选：C. 10．D 【分析】先求解出()f x '并根据诱导公式进行化简，然后确定出最小正周期以及奇偶性.【详解】解析：因为()2cos 22sin 22f x x x π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，且为奇函数， 故选：D. 11．B 【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的乘法运算法则求解出原函数的导数. 【详解】解析：因为()()()()ln 25ln 25y x x x x '''=⋅++⋅+，所以()()1ln 252525y x x x x ''=++⋅⋅++，所以()2ln 2525xy x x '=+++， 故选：B. 12．A 【分析】先根据复合函数的求导法则求解出y '，然后再利用辅助角公式化简得到结果. 【详解】解析：2cos 22sin 224y x x x π⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭，故选：A ．13．2e (2cos sin )x x x - 【分析】利用积的导数运算法则和复合函数求导法则求解即得. 【详解】依题意，22222)(cos sin (c ()(e cos e cos )2os sin )e e e 2xxx x x f x x x x x x x '''⋅⋅-⋅=-=⋅+=.故答案为：2e (2cos sin )xx x - 14．23【分析】直接对函数求导，然后代值求解即可 【详解】解：由()()ln 21f x x =+，得()'221f x x =+， 所以()'2212113f ==⨯+，故答案为：23.15．8 【分析】首先利用导数求出()0f '，然后根据导数的定义可求出答案. 【详解】由()sin2f x x =，可得()2cos2f x x ='，所以()02cos02f ='=， 则0300(3)()(03)(0)(0)(0)lim3lim lim 4(0)83x x x f x f x f x f f x f f x x x'∆→∆→-∆→∆--∆+∆--∆-=+==∆∆-∆ 故答案为：816．2cos2cos33sin 2sin3x x x x - 【分析】根据导数的乘法运算法则以及复合函数的求导法则求解出结果. 【详解】解析：因为()()sin 2cos3sin 2cos3y x x x x '''=+， 所以2cos 2cos33sin 2sin 3y x x x x '=-， 故答案为：2cos2cos33sin 2sin3x x x x -.17．（1）()()232y x a b c x ab ac bc '=-+++++；（2）548sin cos x x y -'=.【分析】（1）将所求函数表达式化简后求导即可；（2）根据复合函数求导法则进行求导后再根据二倍角公式化简即可. 【详解】（1）由题意得，()()()()()32y x a x b x c x a b c x ab ac bc x abc =---=-+++++-，所以()()232y x a b c x ab ac bc '=-+++++.即函数()()()y x a x b x c =---的导数()()232y x a b c x ab ac bc '=-+++++.（2）因为()31cos 2y x =+，所以()()()()222451cos 21cos 212cos 1sin 2264cos 2sin cos 48s n 33i cos x x x x x x x x xy ''+⋅+=+-⋅-⨯=-=-=⨯⨯，即函数()31cos 2y x =+的导数为548sin cos x x y -'= 18．（1）1(2)(3)x y x x e +'=++；（2）22sin(21)cos(21)x x x y x -+-+'=.【分析】直接利用导数的计算公式和法则运算即可 【详解】解：（1）212'121'(33)[(333)()](3)x x x y x x e x x x e e x +++'=++=+'++++，21211(3323)(56)(2)(3)x x x x x x e x x e x x e +++=++++=++=++（2）22[cos(21)]()cos(21)2sin(21)cos(21)x x x x x x x y x x ''+-+-+-+'==19．（1）()2log ex ；（2）sin cos xx xe +-．【分析】（1）根据导数乘法法则求解（2）根据导数除法法则求解 【详解】（1）()()22221log log log log ln 2f x x x x e ex x '=+⋅=+=， 答案也可以是21log ln 2x +或者ln 1ln 2x +； （2）()2sin cos sin cos x x x xe x e x x xf x e e-⋅-⋅+'==-； 20．（1）21849y x x '=-+；（2）()2sin cos 1x x x f x x --'=；（3）112y x '=+. 【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （2）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （3）利用复合函数的求导法则可求得原函数的导数. 【详解】 （1）()()23223316293y x x x x x =+-=-+-，()32262931849y x x x x x ''∴=-+-=-+；（2）()()22cos 1sin sin cos 1x x x x x x f x x x -----'==； （3）()1ln 1ln 212y x =+，所以，12121221y x x '=⋅=++.21．（1）220x y --=；（2）880x y +-=. 【分析】求导后求得切线斜率，然后代入点斜式方程化为一般式方程即可. 【详解】（1）1y x x =-，则211'=+y x，则在(1, 0)处的切线的斜率1|2x ky ='==，∴曲线1y x x=-在1x =处的切线方程为:()021y x -=-即220x y --=;(2) 212x e y x -=，则21221422x x e x e x y x --'⋅⋅-⋅=2132(1)x e x x --=在12x =处的切线的斜率12|8x k y ='==-.曲线212x e y x-=在12x =处的切线方程为:1482y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭即880x y +-=.22．（1）y ′＝2tan x +2x sec 2x ；（2）'22ln2ln xxy x x=⋅+；（3）y ′＝3（x ﹣2）2（3x +1）（5x ﹣3）；（4）2'422(21)x x y x -=+．（5）y '()2122cos x e x x -+=--+()212(21)sin x e x x x -+--+-+.（6）y '=【分析】根据基本初等函数、积的导数和商的导数的求导公式进行求导即可． 【详解】解：（1）y ′＝2tan x +2x sec 2x ；答案第11页，总11页 （2）'22ln2ln xxy x x =⋅+； （3）y ′＝3（x ﹣2）2（3x +1）2+6（x ﹣2）3（3x +1）＝3（x ﹣2）2（3x +1）（5x ﹣3）；（4）3222'642(21)6(21)22(21)(21)x x x x x x y x x +-+-==++． （5）()2122cos x y e x x -+=--+'()212sin (21)x e x x x -+⎡⎤+--+-+⎣⎦()2122cos x e x x -+=--+()212(21)sin x e x x x -+--+-+.（6）y ='。

高一数学简单复合函数的求导法则试题1.（2014•榆林模拟）要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【答案】D【解析】由题意可得f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]，而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x），分析选项可判断解：∵的导函数f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x）故选D点评：本题主要考查三角函数的平移．复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．2.（2012•桂林模拟）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．【答案】A【解析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．解：对f（x）=e x+a•e﹣x求导得f′（x）=e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y），则，得或（舍去），得x=ln2．点评：熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0，则一定过原点．3.（2012•德阳三模）已知，将函数的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数y=﹣f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数）的图象，则c的值可以为（）A．B．πC．D．【答案】D【解析】先根据辅助角公式进行化简，f（x）=cos（x+），按向量平移后得到y=cos（x﹣c+）的图象．由题意可得cos（x﹣c+）=sin（x+），从而得到c的值．解：∵f（x）==cosx﹣sinx=cos（x+），把函数的图象按向量平移后，所得图象对应的函数为y=cos（x﹣c+）．而﹣f′（x）=sin（x+），平移后，所得图象恰好为函数y=﹣f′（x），故cos（x﹣c+）=sin（x+），故可让c=，故选 D．点评：本题主要考查三角函数按照向量进行平移．其关键是要把向量的平移转化为一般的平移，然后根据三角函数的平移原则为左加右减上加下进行平移．4.设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8C．y=2x+2D．【答案】A【解析】据曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率，求g′（1）进一步求出f′（1），由点斜式求出切线方程．解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．点评：本题考查曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率．5.已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（）A．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）=﹣B．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）无意义C．x≠0时，都有f′（x）=D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导【答案】C【解析】利用绝对值的意义将函数中的绝对值去掉转换为分段函数；利用基本的初等函数的导数公式及复合函数的求导法则：外函数的导数与内函数的导数的乘积，分别对两段求导数，两段的导数合起来是f（x）的导数．解：根据题意，f（x）=，分两种情况讨论：（1）x＞0时，f（x）=lnx⇒f'（x）=（lnx）'=．（2）x＜0时f（x）=ln（﹣x）⇒f'（x）=[ln（﹣x）]'=（这里应用定义求导．）故选C点评：本题考查绝对值的意义、考查分段函数的导数的求法、考查基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的求导法则．6.为得到函数y=sin（2x+）的导函数图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有点的（）A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移【答案】C【解析】求出函数的导数，利用诱导公式化为正弦函数的形式，然后利用函数的平移原则，判断正确选项即可．解：函数y=sin（2x+）的导函数为y=2cos（2x+）=2sin（2x+），所以只需把函数y=sin2x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y=2sin2x的图象，横坐标向左平移，得到y=2sin2（x+）的图象，即y=2sin（2x+）=2cos（2x+）．故选C．点评：本题主要考查复合函数的导数，诱导公式以及三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．7.函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【答案】C【解析】设H（x）=f（u），u=g（x），则H′（x）=f′（u）g′（x）．解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．点评：牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用．8.函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【答案】D【解析】将f（x）=sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D点评：考查学生对复合函数的认识，要求学生会对简单复合函数求导．9.已知函数f（x﹣1）=2x2﹣x，则f′（x）=（）A．4x+3B．4x﹣1C．4x﹣5D．4x﹣3【答案】A【解析】令x﹣1=t求出f（x）的解析式；利用导函数的运算法则求出f′（x）．解：令x﹣1=t，则x=t+1所以f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1所以f（x）=2x2+3x+1∴f′（x）=4x+3故选A点评：本题考查通过换元法求出函数的解析式、考查导数的四则运算法则．10.若函数f（x）=，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′（x）取得最小值；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．故选C．点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．。