例题讲解
【例１】如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，E 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为F ． FE 与DC 的延长线相交于点G ，连结DE ，DF 。 （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．
（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
解析过程及每步分值
1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG ············ 1分
所以,
B GCE G BFE ∠=∠∠=∠
所以BEF CEG △∽△ ························· 3分 （2）BEF CEG △与△的周长之和为定值． ················· 4分 理由一：
过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，
因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH
由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6，
所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ·························· 6分 理由二：
由AB ＝5，AM ＝4，可知
在Rt △BEF 与Rt △GCE 中，有：
4343
,,,5555
EF BE BF BE GE EC GC CE ====，
所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是12
5
CE
又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． ··········· 6分
图10
M B D
C E F
G
x A A M x
H G
F
E
D C
B
（3）设BE ＝x ，则43
,(10)55
EF x GC x =
=- 所以21143622
[(10)5]2255255
y EF DG x x x x ==-+=-- ········· 8分
配方得：2655121
()2566y x =--+
． 所以，当55
6x =时，y 有最大值． ····················· 9分
最大值为121
6
． ······························ 10分
【例２】如图 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与坐标轴交于点A B C 且OA ＝
1 OB ＝OC ＝3 ．
（1）求此二次函数的解析式． （2）写出顶点坐标和对称轴方程．
（3）点M N 在y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边) 且MN ∥x 轴 求以MN 为直径且与x 轴相切的圆的半径．
解析过程及每步分值
（1）依题意(10)(30)(03)A B C --，，，，，分别代入2
y ax bx c =++ ········ 1分 解方程组得所求解析式为2
23y x x =-- ··················· 4分 （2）2
223(1)4y x x x =--=-- ······················ 5分
∴顶点坐标(14)-，，对称轴1x = ······················ 7分
（3）设圆半径为r ，当MN 在x 轴下方时，N 点坐标为(1)r r +-，
········ 8分
把N 点代入2
23y x x =--得r =
·················· 9分
同理可得另一种情形r =
∴圆的半径为
12-+或12
+ 10分 【例3】已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时，217y =；且二次函数2y 的
图象的对称轴是直222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，线1x =-． （1）求k 的值；
（2）求函数12y y ，的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由．
解析过程及每步分值
（1）由22112()2612y a x k y y x x =-++=++，
得22222121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--． 又因为当x k =时，217y =，即261017k k ++=， 解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．
（2）由1k =，得222
2610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-，
所以函数2y 的图象的对称轴为26
2(1)
a x a +=-
-，
于是，有26
12(1)
a a +-
=--，解得1a =-，
所以22
12212411y x x y x x =-++=++，．
（3）由2
1(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，； 由22
224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标
为(19)-，；
故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．
