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2016年全国初中数学联合竞赛试题 数2

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2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 1 页 1.用x表示不超过x的最大整数，把xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba （ ） .A 12 .B 32 .C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C11种 .D12

种

3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.

如：333321(1),2631, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A6858 .B6860 .C9260 .D9262

3(B）.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab （ ）

.A0 .B14 .C34 .D2

4.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若8,AB2CD,则BCE的面积为 （ ）

.A12 .B15 .C 16 .D18 5.如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD,对角线的交点为M，则DM ( )

.A32 .B 53

.C22 .D12

6.设实数,,xyz满足1,xyz 则23Mxyyzxz的最大值为 ( ) .A 12 .B 23 .C 34 .D1

二、填空题（本题满分28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)

1.【1(A)、2（B）】 已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0x）的图象 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 2 页

上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的上方，且6,AB则点C的坐标为 . 1(B).已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，

3AD,则AM .

2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分BCD,O为对角线的交点，,CDAO,BCOD则ABC .

3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .

3(B).若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .

第二试 (3月20日上午9:50 — 11:20) 一、（本题满分20分）

已知,ab为正整数，求22324Maabb能取到的最小正整数值. 二、（本题满分25分） (A).如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D,点E在BD上，,AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N.证明:FNDE.

(B).已知：5,abc 22215,abc 33347.abc 求222222()()()aabbbbccccaa的值.

三、（本题满分25分） (A).已知正实数,,xyz满足：1xyyzzx ,且 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 3 页

222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4xyyzzxxyyzzx

 .

(1) 求111xyyzzx的值. (2) 证明:9()()()8()xyyzzxxyzxyyzzx. (3) B)如图，在等腰ABC中,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F 求ADAF的值.

1.用x表示不超过x的最大整数，把xx称为x的小数部分.已知123t，a是t的小数部分，b是t的小数部分，则112ba （ ） .A 12 .B 32 .C 1 .D 3 【答案】A. 【解析】123,132,23t

3234,

即34,t

331.at 又23,231,t4233,

(4)23,bt111123311,22222(23)31ba

故选A.

2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） .A 9种 .B 10种 .C11种 .D12

种

【答案】C. 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 4 页

【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,xyz则30101520500xyzxyz， 即30341002yzxyzx，解得20210yxzx 依题意得，,,xyz为自然数（非负整数）， 故010,xx有11种可能的取值（分别为0,1,2,,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C. 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.

如：333321(1),2631, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A6858 .B6860 .C9260 .D9262

【答案】B.

【解析】3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)kkkkkkkk

22(121)k （其中k为非负整数），由22(121)2016k得，9k

0,1,2,,8,9k，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为

333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.



故选B.

3(B）.已知二次函数21(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当ab为整数时，ab （ ） .A0 .B14 .C34 .D2

【答案】B. 【解析】依题意知0,0,10,2baaba 故0,b 且1ba，

(1)21abaaa，于是10,a 1211a 又ab为整数，210,a 故1,2ab14ab，故选B. 4.已知O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交O于点E,若8,AB2CD,则BCE的面积为（ ） .A12 .B15 .C 16 .D18 【解析】设,OCx则2,OAODx

ODAB于,C14,2ACCBAB 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 5 页

在RtOAC中，222,OCACOA 即2224(2),xx解得3x，即3OC （第4题答案图） OC为ABE的中位线，26.BEOC AE是O的直径，90,B

114612.22BCESCBBE 故选A.

5.如图，在四边形ABCD中，090BACBDC，5ABAC,1CD,对角线的交点为M，则DM ( )

.A32 .B 53

.C22 .D12

（第5题答案图） 【答案】D.

【解析】过点A作AHBD于点,H则AMH～,CMD,AHAMCDCM1,CD

,AMAHCM设,AMx 则5,5xCMxAHx

在RtABM中，2225,BMABAMx 则255ABAMxAHBMx 25,55xxxx

显然0x，化简整理得2255100xx

解得5,2x（25x不符合题意，舍去），故 5,2CM在RtCDM中，2212DMCMCD,故选D.

6.设实数,,xyz满足1,xyz 则23Mxyyzxz的最大值为 ( ) .A 12 .B 23 .C 34 .D1

【答案】C. 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 6 页

【解析】 22(23)(23)(1)34232Mxyyxzxyyxxyxxyyxy

2222111

22332222yxyxxxx





2222111133

22222244yxxxyxx



当且仅当1,02xy时，M取等号，故max34M，故选C.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)

1.【1(A)、2（B）】 已知ABC的顶点A、C在反比例函数3yx（0x）的图象上，090ACB,030ABC,ABx轴，点B在点A的上方，且6,AB则点C的坐标为 .

【答案】3,22. 【解析】如图，过点C作CDAB于点D. 在RtACB中，cos33BCABABC

在RtBCD中，33sin,2CDBCB （第1题答案图） 9cos,2BDBCB32ADABBD,设33,,,CmAnmn，

依题意知0,nm故33,CDnmADmn，于是 3323332nmmn





解得3223mn，故点C的坐标为3,22.

1(B).已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分，3AD,则AM .

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-2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及答案

-2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及答案

F第2题图EDBAC第2题图2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）班级：: 姓名： 成绩：考生注意：1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；3、解题书写不要超出装订线；4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、已知实数a 、b 满足31|2||3|=+-+-+-a a b a ，则b a +等于（ ） A 、1-B 、2C 、3D 、52、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点F ，设四边形EADF 、BDF ∆、BCF ∆、CEF ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则31S S 与42S S 的大小关系为（ ）A 、4231S S S SB 、4231S S S S =C 、4231S S S SD 、不能确定3、对于任意实数a ，b ，c ，d ，有序实数对（a ，b ）与（c ，d ）之间的运算“*”定义为：()*b a ，()=d c ，()bc ad bd ac +-，.如果对于任意实数m ，n 都有()*n m ，()=y x ，()m n -，，那么()y x ，为（ ）A 、（0，1）B 、（1，0）C 、（-1，0）D 、（0，-1）4、如图，已知三个等圆⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 有公共点O ，点A 、B 、C 是这些圆的其他交点，则点O 一定是ABC ∆的（ ）A 、外心B 、内心C 、垂心D 、重心5、已知关于x 的方程()0|2|422=----k x x 有四个根，则k 的范围为（ ） A 、01 k -B 、04 k -C 、10 kD 、40 k6、设在一个宽度为w 的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P 点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。

将梯子的顶端放于一堵墙的Q 点时，Q 离开地面的高度为k ，梯子的倾斜角为︒45，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R 点时，R 离开地面的高度为h ，梯子的倾斜角为︒75，则小巷的宽度w 等于（ ）A 、hB 、kC 、hkD 、2kh + 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 7、化简3232-++的值为 ．8、如果关于x 的实系数一元二次方程()033222=++++k x k x 有两个实数根α、β，那么()()2211-+-βα的最小值是 ．9、设四位数abcd 满足b d c a d +++=101001000103，则这样的四位数有 个． 10、如图，MN 是⊙O 的直径，2=MN ，点A 在⊙O 上，︒=∠30AMN ，B 为⌒AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PB PA +的最小值为 ．三、（本大题满分20分）11、设实数a ，b ，c 满足：0≠abc 且()()22223214c b a c b a ++=++，求bcac ab c b a ++++22232的值。

2016年全国初中数学联赛初二C卷试题(浙江卷)

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2016年全国初中数学联合竞赛试题(C)八年级 第一试（12月18日上午8:30-9:30）考生注意：1本试两个大题共10个小题，全卷满分70分.2.用圆珠笔或钢笔作答.3.解题书写不要超出装订线.一、（本题满分42分，每小题7分）1、已知△ABC 三边的长分别为a ,b ,c ，且2268|c 5|250a b a b +--+-+=，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 2．已知a ，b ＞0，11a b +=则2222a b b a +＝ A ．23 B ．25 C ．27 D ．49 ( )3．已知等腰三角形的腰长为5，底边上一点到两腰的距离之和为245，则底边长为 A ．4 B ．6 C ．6或8 D ．4或6 ( )4．已知xyz ＝－1，111+1,111x y z +=+++则x ＋y ＋z ＝ A ．－1 B ．1 C ．32-D ．－3 ( ) 5．已知正整数a ，b 满足2210a a ab b +--+=，则a ＋b ＝A ．2B ．3C ．4D ．5 ( )6．方程组222222x y z y z x z x y ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩的解(x ,y ,z )有A ．1组B ．3组C ．4组D ．7组 ( )二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.78=＝________．8．已知五边形AOBCD ，其中(00),A(10),B(32),C(25),D(03)O ，，，，，,过点C 的直线y ＝kx ＋b 把五边形分成面积相等的两部分，则k ＝_______．9．已知同时满足5x －1＞0和6x －b ≤0的整数x 恰好为1,2,3,则有序数对(a ,b )共有______对． 10四个村庄坐落在矩形ABCD 的四个顶点上，AB ＝10公里，BC ＝20公里．在新农村建设中，要设立两个车站E ,F 则EA ＋EB ＋EF ＋FC ＋FD 的最小值为______公里．第二试一、（本题满分20分）已知非负实数x ,y ,z 满足：2222(1)x y z x y z y z z x x y y z z x x y++-=++++++++， 求x ＋y ＋z 的值．二、（本题满分25分）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝3，∠ABC＋∠BCD＝240°，∠ABC＝2∠ADC,∠ABC＜∠BCD,求BC．B D三、（本题满分25分）求方程422268x x x y y +-+=+的正整数解(x ，y )．。

2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷

2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷

2016年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）班级：: 姓名： 成绩：一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是（ ） A 、2- B 、2- C 、2 D 、22、关于x 的方程42312=++-x x ，其所有解的和是（ ） A 、1- B 、52-C 、53D 、1 3、若()b a a b bb a ≠-=43，则2222232b ab a b ab a +--+的值是（ ） A 、3- B 、31- C 、51D 、54、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形()b a ，沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形，则小正方形的边长为（ ）A 、2bB 、2aC 、2ba -D 、b a - 5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为（ ）A 、4B 、6C 、12D 、4或12 6、已知正数m ，满足01724=+-m m ，则mm 1+的值为（ ） babbA 、2B 、5C 、7D 、3 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是 .8、若0132=+++x x x ，则20162015321x x x x x ++++++ 的值为 . 9、设|5||4||3||2||1|+++++++++=x x x x x m ，则m 的最小值为 .10、如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，D 点在BC 边上，满足：4=BD ，5=DC ，若28=+AD AB ，则AD 等于 .三、（本大题满分20分）11、若关于x 的方程()()013223=-++++x n x m x 有无数多个解，求实数m 、n 的值。

一道2016年全国初中数学联合竞赛题(浙江)新解

一道2016年全国初中数学联合竞赛题(浙江)新解


BM 2
m2 4
BM
BM BQ BM 2 ABOB m2 2 ,
同理得
b

m2 m2

9 6
由引论知当 ,


1 2
时，
a

b

2c
,
m2 m2

9 6

m2 1 m2

2 m2 m2

4 2
，
即3 m2 6

1 m2

4 m2 2
，解得 m

30 5 (舍负取正)
S AEF
S ABC
k

3 、 1 ，此时 SAEF

4 1 (1 1) 22

4
S四边形EFCB

5．
2
2
S ABC
(3)2
9
S AEF
4
2
图-5
例2.
如图5，在梯形 ABCD 中， AB CD ， BC 边上一点 P ，若点 E、F 分别在射线 PA、PD 上，使得
若
AG AD
=1
,
BD BC
=2
,求证:
12 EG

1(1 2 ) 1 1 . GF GH
图-3
图-4
证明
过E作EI//BH交AD于I,
AE =x, AF AB AC

y , SAEG

SAFG

SAEF

SAEG SAGF SAEF
S S S ABC
BC
2
证明
E、G、F 三点共线 SAEF
SAEG SAFG