备战2018高考数学二轮复习思想3.3数形结合思想测试卷03文

2018届高三二轮精品 第三篇 方法应用篇 测试卷总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一）选择题（12*5=60分）1.【2018届海南省高三二模】已知x 为锐角，cos sin a xx-=a 的取值范围为（ ）A. []2,2-B. (C. (]1,2 D. ()1,2 【答案】C2.【2018届江西省上高县第二中学高三上学期第四次月考】若不等式230xa x log -<对任意10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. [1,127）B. 1,127⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,27⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】构造函数f （x ）=3x 2，g （x ）=-log a x ， 10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵不等式3x 2-log a x ＜0对任意10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，∴f （13）≤g（13）∴3•19- 13a log ≤0．∴0＜a ＜1且a≥127∴实数a 的取值范围为[1127，） 故选A.3. 已知函数()3,f x x x R =∈，若当02πθ≤<时， ()()sin 10f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. ()0,1B. (),0-∞C. ()1,+∞D. (),1-∞ 【答案】D【解析】()f x 是奇函数，单调递增，所以()()sin 1f m f m θ>-，得sin 1m m θ>-，所以111sin m θ<≤-，所以1m <，故选D 。

4.若不等式223xlnx x ax ≥－＋－恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)【答案】B. 【解析】5.若存在正数x 使1)(2<-a x x成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(,)-∞+∞B ．(1,)-+∞C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞ 【答案】B【解析】因为20x>，故12x x a -<，12x a x >-，记1()2xf x x =-，则()f x 单调递增，所以()1f x >-，若存在正数x 使1)(2<-a x x成立，则a 的取值范围是(1,)-+∞．6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n t S ++=，若对任意的*n N ∈， ()()23275n S n λ+≥-恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A. 1,81⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 1,27⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 1,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A7.【2018届陕西省榆林市高考模拟第一次测试】已知()3,f x x x x R =+∈，若当02πθ≤≤时，()()sin 10f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (),1-∞ C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. ()0,1 【答案】B【解析】函数()3f x x x =+， x R ∈ 是奇函数，且在R 上是增函数；所以不等式()()sin 10f m f m θ+->可化为()()sin 1f m f m θ>-， 即sin 1m m θ>-，即()1sin 1m θ-<对任意02πθ≤≤恒成立；2πθ=时，不等式恒成立； 2πθ≠时，等价于11sin m θ<-对任意02πθ≤<恒成立,因为02πθ≤<时， 01sin θ≤< , 011sin θ<-≤,所以111sin θ≥-,所以11sin m θ<-恒成立等价于11sin m θ<-的最小值，则1m <,故选B.8.【2018届高三训练题】若不等式2log 0a x x -<对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. ()0,1B. 1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ()1,+∞D. 10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】不等式2log 0a x x -<对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，即不等式2log a x x <对10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 只需()21f x x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内的图象在()2log a f x x =图象的下方即可，当1a >时，显然不成立；当01a <<时，在同一坐标系中作出函数()21f x x =和函数()2log a f x x =的图象（如图所示），则211log 22a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即116a ≥，所以1116a ≤<；故选B. 9.【2016届高三山西省大同市调研】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时， )3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若 ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ） A.]61,61[- B.]66,66[- C. ]31,31[- D. ]33,33[- 【答案】B10. 设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a ≥ B. 112a << C. 12a ≥ D. 12a > 【答案】D 【解析】满足14x <<的一切x 值，都有()2220f x ax x =-+>恒成立，可知()22211110,242x a a x x ⎡⎤-⎛⎫≠∴>=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，满足14x <<的一切x 值恒成立，1114x<<， 2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤∴--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎢⎥⎣⎦，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，实数a 的取值范围为12a >，故选D.11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】D12.现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（ ）A ．P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅【答案】C【解析】对（1）：由lg lg lg()x y x y +=+得xy x y =+即(0,0)1xy x y x =>>-. 不等式2y x t >-+恒成立，等价于2t x y <+恒成立.这只需min (2)t x y <+即可.(1)111222212(1)331111x x x y x x x x x x x x -++=+=+=++=-++≥----（当1x =+时，取等号）.t 的取值范围是3t <+.二、填空题（4*5=20分）13. 已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-，若()f x 在区间1[2]3，上是增函数，则实数a 的取值范围______. 【答案】43a ≥. 【解析】 ∵120f x x a x '()=+-≥在1[2]3，恒成立，即12a x x ≥-+在1[2]3，恒成立， ∵max18()3x x-+=，∴823a ≥，即43a ≥.14.【2018届福建省仙游金石中学高三上学期期中】 当0x >时，不等式230x mx -+>恒成立，则实数m的取值范围是__________. 【答案】(,-∞15.【2018届河南省南阳市第一中学高三第六次考试】已知函数()331f x ax x =-+对(]0,1x ∈总有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[4，＋∞)【解析】当x ∈(0,1]时不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a≥331x x -，设g(x)＝331x x-，x ∈(0,1]，g′(x)＝()32641633132x x x x x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭=-，因此g(x)的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4，＋∞)．故答案为[4，＋∞).16.【2018届上海市长宁、嘉定区高三第一次质量调研（一模）】若不等式()222x y cx y x -≤-对任意满足0x y >>的实数x ， y 恒成立，则实数c 的最大值为__________．【答案】4三、解答题（6*12=72分）17.【2018届河南省豫南九校高三下学期第一次联考】设正项等比数列{}n a ， 481a =，且23,a a 的等差中项为()1232a a +. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若321l o g n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n c 满足141n n c S =-， n T 为数列{}n c 的前n 项和，若n T n λ<恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）3n n a =（2）13λ>【解析】【试题分析】（1）利用基本元的思想将已知转化为1,a q 的形式列方程组解出1,a q ，由此得到通项公式.（2）化简21n b n =-，是个等差数列，求得其前n 项和为2n ，利用裂项求和法可求得n T 的值，代入不等式，利用分离常数法可求得13λ>.18. 已知函数()2ln f x x ax x =+-.（Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的最小值；（Ⅱ）若函数()y f x =在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)3ln24+；(Ⅱ) 72a ≤-.【解析】试题分析：（Ⅰ）若1a =，则()2f x x x lnx =+-. ()()()211'x x f x x-+=，据此结合函数的单调性可得19.已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈． （I ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值； （II ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（I ）15；（II ）[2,)+∞. 【解析】 （I ）∵4t =，∴24(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x+=-=+-=20.已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n a T +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1.【解析】21.已知函数()ln f x b x =．（1）当1b =时，求函数2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值；（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得0001()bx f x x +-<-成立，求b 的取值范围． 【答案】（1）21e e --，0；（2）21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-. 【解析】（1）当1b =时，2()()G x x x f x =--2ln (0)x x x x =-->，(21)(1)'()x x G x x+-=，令'()0G x =，得1x =，当x 变化时，()G x ，'()G x 的变化情况如下表：故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由1()0bh e e b e +=+-<，可得211e b e +>-． 因为2111e e e +>--，所以211e b e +>-． ②当11b +≤，即0b ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增， 故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ，由(1)110h b =++<， 可得2b <-（满足0b ≤）．③当11b e <+<，即01b e <<-时，()h x 在(1,1)b +上单调递减，在(1,)b e +上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)2ln(1)h b b b b +=+-+． 因为0ln(1)1b <+<，所以0ln(1)b b b <+<，所以2ln(1)2b b b +-+>，即(1)2h b +>，不满足题意，舍去．综上可得2b <-或211e b e +>-，所以实数b 的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-． 22. 已知函数()()21f x a x x =++．（1）当0a =时，求证： ()f x 函数是偶函数； （2）若对任意的[)()1,00,x ∈-⋃+∞，都有()1f x ax a x≤++，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有且仅有4个零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)见解析；（2）a 的取值范围为12,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（3）a 的取值范围为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.在21,02a a -⎛⎫-⎪⎝⎭上单调减，而2141024a a f a a --⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， ()00f a =<， 所以()f x 在(),0-∞内有两个零点， 再分12a ≤-，和102a -<<两种情况讨论,可得实数a 的取值范围．试题解析:（1）当0a =时， ()f x x =，定义域为R ． 因为对任意的x R ∈，都有()()f x x x f x -=-==， 所以函数()f x 是偶函数．（2）由题意知， ()211a x x ax a x++≤++在[)()1,00,-⋃+∞上恒成立，①若0a >，则2102a a+-<，所以()f x 在[)0,+∞上单调增，则()()00f x f a ≥=>， 因此()f x 在[)0,+∞内无零点，而()f x 在(),0-∞内最多有两个零点，不符合题意； ②若0a <，则2102a a --<，所以()f x 在21,2a a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调增，在21,02a a -⎛⎫-⎪⎝⎭上单调减，而2141024a a f a a --⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， ()00f a =<，。

2018届高考数学二轮复习：数系的扩充与复数的引入单元测试卷（A ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．(2015·北京理)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i2．|21＋i |＝( )A ．2 2B ．2C ． 2D ．1 3．(2015·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( ) A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若复数a ＋3i 1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．(2015·全国卷Ⅰ理)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．26．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( ) A ．1＋52i B ．－1＋52i C ．1－52iD ．－1－52i7．当z ＝1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i8．已知复数z 满足2－iz ＝1＋2i ，则z ＝( ) A ．4＋3i B ．4－3i C ．－iD ．i9．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10.(2015·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20131＋i，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2 B ．－2cos α2 C ．2sin α2D ．－2sin α212.对任意复数ω1、ω2，定义ω1]2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1、z 2、z 3，有如下四个命题： ①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1]( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝__________ ________. 14．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝__________ ________.15．(2015·天津理)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．16．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，则复数z 在复平面对应的点位于第__________ ________象限．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本题满分10分)m 为何实数时，复数z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i)是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？18．(本题满分12分)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有一实根，求这个实根以及实数k的值．19．(本题满分12分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是复数4－20i 的共轭复数，求实数x的值．20．(本题满分12分)设z ∈C ，求适合z 2＝z －的复数z .21．(本题满分12分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．22．(本题满分12分)已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．章末测试（A ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分) 1． [答案] A[解析] i(2－i)＝1＋2i. 2． [答案] C[解析] ∵21＋i ＝1－i ，∴|21＋i |＝|1－i|＝2，故选C ．3． [答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A ．4． [答案] C[解析] ∵a ＋3i 1＋2i ＝ a ＋3i 1－2i 1＋2i 1－2i＝a ＋6＋ 3－2a i5为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝03－2a ≠0，∴a ＝－6. 5． [答案] A[解析] 由1＋z 1－z ＝i 得，z ＝－1＋i 1＋i ＝ －1＋i 1－i1＋i 1－i ＝i ，故|z |＝1，故选A ． 6． [答案] D[解析] 设x ＝i t (t ∈R 且t ≠0)， 于是2t i －1＋i ＝y －(3－y )i ， ∴－1＋(2t ＋1)i ＝y －(3－y )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12t ＋1＝－ 3－y ，∴⎩⎨⎧t ＝－52y ＝－1.∴x ＋y ＝－1－52i. 7． [答案] D[解析] z 2＝12(1－2i －1)＝－i ，z 50＝(－i)25＝－i ，z 100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i. 8． [答案] D[解析] 由2－i z ＝1＋2i ，得z ＝2－i 1＋2i ＝ 2－i 1－2i 5＝2－4i －i －25＝－i ，∴z ＝i. 9． [答案] A[解析] z ＝m －2i 1＋2i ＝ m －2i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为m －45，虚部为－2 m ＋1 5，由⎩⎪⎨⎪⎧ m －4>0－2 m ＋1 >0，得⎩⎪⎨⎪⎧m >4m <－1，此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限． 10. [答案] A[解析]∵i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i n ＝4k ＋1，－1 n ＝4k ＋2，－i n ＝4k ＋3，1 n ＝4k ，k ∈Z ，∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2013＝503×(i＋i 2＋i 3＋i 4)＋i 2013＝503×0＋i ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝i 1－i 1＋i 1－i ＝1＋i 2，在复平面内的对应点(12，12)在第一象限． 11． [答案] B[解析] 所求复数的模为1＋cos α 2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π， ∴cos α2＜0， ∴4cos 2α2＝－2cos α2.12. [答案] B [解析] ∵ω1]．∴①左边＝(z 1＋z 2)z 3，右边＝z 1z 3＋z 2z 3＝(z 1＋z 2)z 3，左边＝右边，正确． ②左边＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)，右边＝z 1z 2＋z 1z 3＝z 1(z 2＋z 3)，左边＝右边，正确．③左边＝(z 1z 2)z 3，右边＝z 1(z 2z 3)＝z 1(z 2z 3)，左边≠右边，不正确． ④左边＝z 1z 2，右边＝z 2z 1，左边≠右边，不正确，选B ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)13． [答案] 6－2i[解析] ∵z ＝1－2i ，∴z －＝1＋2i ， ∴z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i. 14． [答案] 76－4i[解析] 设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2＋b 2－3b ＝－4，∴⎩⎨⎧a ＝76b ＝－4∴z ＝76－4i.15．[答案] －2[解析] (1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i 是纯虚数，所以a ＋2＝0，即a ＝－2. 16． [答案] 四[解析] ∵a 、b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i， 即a 1＋i 2＋b 1＋2i 5＝3－i 2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝155a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－10. ∴复数z ＝a ＋b i ＝7－10i 在复平面内对应的点位于第四象限． 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．[解析] z ＝(2＋i)m 2－3(i ＋1)m －2(1－i) ＝2m 2＋m 2i －3m i －3m －2＋2i ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. (1)由m 2－3m ＋2＝0得m ＝1或m ＝2， 即m ＝1或2时，z 为实数． (2)由m 2－3m ＋2≠0得m ≠1且m ≠2， 即m ≠1且m ≠2时，z 为虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，得m ＝－12，即m ＝－12时，z 为纯虚数． 18．[解析] 设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2k ＝－22或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2k ＝22，∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2， 相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2. 19．[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2. 方程②的解为x ＝－3或x ＝6. 所以实数x 的值为－3. 20．[分析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )代入方程，利用复数相等求解，或利用共轭复数的性质求解．[解析] 解法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2＋2xy i ， z －＝x －y i ，∴x 2＋y 2＋2xy i ＝x －y i.由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝x ，2xy ＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎨⎧y ＝±32，x ＝－12.∴所求的复数z ＝0或1或－12＋32i 或－12－32i.解法二：对z 2＝z －两边取共轭复数得z －2＝z ，将z －＝z 2代入得z 4＝z ，∴z ＝0或z 3＝1，∴z ＝0或z ＝1或z ＝－12±32i. 21．[解析](1)由已知，得⎩⎨⎧log 2 1＋m <0， ①log 12 3－m <0， ②解①得－1<m <0. 解②得m <2. 故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值范围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上， 即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2[(1＋m )(3－m )]＝1.从而(1＋m )(3－m )＝2，即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0. 故m ＝1± 2. 22．[分析] (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合． [解析] (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)， ∴|z 1|＝22＋ －2 2＝2 2.(2)解法一：|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ， |z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝ cos θ－2 2＋ sin θ＋2 2 ＝9＋42sin θ－π4 .当sin(θ－π4)＝1时，|z －z 1|取得最大值9＋42， 从而得到|z －z 1|的最大值22＋1.解法二：|z |＝1可看成半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z 1对应坐标系中的点(2，－2)．∴|z －z 1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点距离最大，则|z －z 1|max ＝22＋1.2018届高考数学二轮复习：数系的扩充与复数的引入单元测试卷（B ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD.2i ∈S2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．i 是虚数单位，复数3＋i1－i 等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i4．已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C. 2D ．－ 25．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i6．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i7．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i8．i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．159．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 12．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________．13．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 14．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y 1＝－ 3－y ；②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 15．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时： (1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？16．已知复数z1＝1－i，z1·z2＋z1＝2＋2i，求复数z2.17．计算：(1) 2＋2i 41－3i 5；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.18．实数m为何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i对应的点在：(1)x轴上方；(2)直线x＋y＋5＝0上．19．已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．20．设z1是虚数，z2＝z1＋1z1是实数，且－1≤z2≤1.(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z11＋z1，求证：ω为纯虚数．章末检测（B ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C10．B [f (n )有三个值0,2i ，－2i.]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)11．(3,4)12．013．(1，5)14．⑤三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)15．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3. 即当m ＝3时，z 是纯虚数．16．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i.设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.17．解 (1)原式＝16 1＋i 41－3i 4 1－3i＝16 2i 2－2－23i 2 1－3i＝－644 1＋3i 2 1－3i ＝－16 1＋3i ×4＝－41＋3i ＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.18．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)，∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，整理得2m 2＋3m －4＝0，解得m ＝－3±414.19．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.20．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －b a 2＋b 2)i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12]．(2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i 1＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i. 因为a ∈[－12，12]，b ≠0，所以ω为纯虚数．。

数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没
有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来
简化，即通过 e x、x、
ln x 三者之间相互变换，即
x eln x ， x ln e x 通过构造跨阶函数的同构式，
大大简化了分析和计算．
(二)师生互动，研究课题
3.指对函数同构之三生三释
生：同构式能解决什么问题？
e
x
x
2
( x 0) 的最小值为______；
ln x 1
x
2
的最大值为________；
解函数在某点取得极值 过三次的多项式函数最大值、最 了 在 教 学 上
的必要条件和充分条件；小值;
不易操作的
能利用导数求某些函数 （选修2-2）结合函数的图象.了解 部 分 ： 对 导
的极大值、极小值以及 函数在某点取得极值的必要条件 数 方 法 在 研
给定闭区间上不超过三 和充分条件；会利用导数求不超 究 函 数 性 质
性和变通性，从而在浩如烟海的
数学题目中寻找解题的规律．
根据以上分析，本节课
的教学重难点确定为
教学重点同构方法的基本技巧步骤教学难点如何引导学生识别题目的
类型、联想方法，在不同
的复合情境中抓住题目的
本质，寻找恰当的、最优
的构造函数的方法解决问
题
教学目标
（1）让学生了
解同构思想的
本质及优越性.
（3）让学生体
2
单调性，恒成立求参
（四）部分高考压轴题函数模型
思考 1：基本元素？ e x , ln x, xe x , x ln x, 多项式函数
思考2：基本问题和应对策略？
1.切线问题：注意两类切线问题.

方法八 “四法”锁定填空题——稳得分填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等；(2)定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意. 1．直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过巧妙地变形、严密地推理和准确地运算，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题． 例1【2018届河南省郑州市高三第一次质量检测（模拟）】在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC V 的面积为3S c =，则ab 的最小值为（ ） A. 28 B. 36 C. 48 D. 56 【答案】C∵2222222cos33c a b ab a b ab ab π=+-=++≥，当且仅当a b =时等号成立． ∴22316a b ab ≥，解得48ab ≥． 故ab 的最小值为48．选C ．例2【2018届华大新高考联盟高三1月】设函数()222(3x f x x e mx m e =-+为自然对数的底数），当x R ∈时， ()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[]0,6e【解析】由题意可得： 2223x x e mx m ≥-恒成立， 令21222,3x y x e y mx m ==-，则()'2214224x x x y xe x e e x x =+=+， 令()2240x e x x +=可得： 120,2x x ==-，绘制函数21222,3x y x e y mx m ==-的图像如图所示， 满足题意时， 212xy x e =的图像不在223y mx m =-的图像的下方，设切点坐标为()00,P x y ，切线方程为： ()00y y k x x -=-，即： ()()0022000224x x y x e e x x x x -=+-，切线过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭，则： ()0022000202243x x x e e x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 解方程可得： 00x =或01x =或043x =-， 结合函数图像可得： ()024m e ≤≤+，即06m e ≤≤. 表示为区间形式即[]0,6e .点睛：本题的实质是切线问题，直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，注意“过某点”与“在某点”的区别.【名师点睛】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键. 2．特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.例3【2018届二轮复习】设F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使，O 为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为________．【答案】＋1【解析】如图，取F 2P 的中点M ，则＋＝2. 又由已知得·＝0，∴⊥.又OM 为△F 2F 1P 的中位线，∴⊥. 在△PF 1F 2中，2a ＝||－||＝(－1)||，2c ＝2||. ∴e ＝＝＋1.例4.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.(2)如图，在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA>OB>OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________.【答案】(1)332；(2)S 3<S 2<S 1.【解析】(2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E ，F ，G 分别为中点，故可以将三条棱长分别取为OA ＝6，OB ＝4，OC ＝2，如图，则可计算S 1＝35，S 2＝210，S 3＝13，故S 3<S 2<S 1.点睛：第(1)题中的法一，将一般三角形看作特殊的等边三角形，减少了计算量，优化解题过程. 【名师点睛】求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解. 3．构造法构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的. 例5【2018届广东省汕头市高三上学期期末】已知()()()221sin 1x a x f x a R x++-=∈，则()()()()()()321123f f f f f f -+-+-+++=__________．【答案】6【解析】由题意得()()222221sin 12sin 2sin 1x a x x x a x x a xf x x x x++-+++===+， 令()22sin ,0x a xg x x x+=≠，则()()22sin x a xg x g x x---==-， ∴函数()g x 为奇函数．∴()()()()22f x f x g x g x +-=++-=， ∴()()()()()()321123f f f f f f -+-+-+++()()()()()()3322116f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-++-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦．答案：6点睛：本题的求解中若直接求解则比较困难，利用函数的性质可使问题的解决变得方便、容易．解题的关键是观察出分离常数后把原函数变形为常数与一个奇函数的和的形式，再利用奇函数中()()0f x f x +-=这一性质求解．例6【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】已知()f x 是R 上的连续可导函数,满足()()'0f x f x ->.若()11f =,则不等式()1e xf x ->的解集为_______.【答案】()1,∞+点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e=， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f x g x x=， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等.【名师点睛】构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题. 4．数形结合法一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.例7.已知函数()()22log 1,0{ 2,0x x f x x x x +>=--≤，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】01m <<【解析】试题分析：令()()0g x f x m =-=，得()m f x =，作出()y f x =与y m =的图象，要使函数()()g x f x m =-有3个零点，则()y f x =与y m =的图象有3个交点，所以01m <<.例8【2018届宁夏育才中学高三第四次月考】在中，，，对平面内的任一点，平面内有一点使得，则__________．【答案】6【解析】根据题意，分别以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A （0，3），设M （x ，y ），B （b ，0），D （x′，y′）； ∴由得：3（x′﹣x ，y′﹣y ）=（b ﹣x ，﹣y ）+2（﹣x ，3﹣y ）；∴ ∴，故答案为：6.点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。