二次函数压轴题与常数定值问题.doc

专题14二次函数解答压轴题（共32题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得： 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为22y x x =+，∴抛物线的对称轴为12b x a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：∴当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾；∴当0,0m n <>时，∴抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0， ∴此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，∴点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上，∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ∴0a >，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴213y y y <<．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点． （1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=，解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a =-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+，则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-≥，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：∴如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；∴如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出|1(1)|AB =-，12CD x x =-=3=即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==±11x ∴=21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=11x ∴=+21x =+ 12CD x x ∴=-3=AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）6【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD ′ 与杯高 OD ′ 之比为0.6，求出OD ′ ，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，∴杯口直径 AB =4 ，杯高 DO =8 ，∴()2,8B将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''=， 0.64CD CD'∴=+'， 6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x 2x =A B ∴''=即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可； （2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分∴当BF BE =时，∴当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）∴四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，∴5AD AB ==，()4,0A -，∴4AO =，∴OB =1，∴()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ∴点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称， ∴()2,5E ，∴由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：∴当BF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =∴点F 的坐标为(-或(1,-； ∴当EF BE =时，如图所示：∴由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =，∴点F 的坐标为(1,5-或(1,5-+；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ∴1OB =，DM =EM ，∴过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，∴1,//PM OB PM OB ==，∴四边形BOMP 是平行四边形，∴OM =BP ，∴1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，∴当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：∴()4,5D -，∴OD ==∴1DM MO ++1，即EM MP PB ++1+，设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-，∴线段OD 的解析式为54y x =-， ∴51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NE MD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∴抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线52x =， ∴B （4，0），C （0，4），设抛物线(1)(4)y a x x =--，把C （0，4）代入得：)40(0)1(4a ⨯-=-，解得：a =1，∴抛物线的解析式为：254y x x =-+；（2）∴B （4，0），C （0，4），∴直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），∴PQ =-x +4-(254x x -+)=24x x -+=()224x --+，∴当x =2时，线段PQ 长度最大=4，∴此时，PQ =CO ，又∴PQ ∴CO ，∴四边形OCPQ 是平行四边形；（3）过点Q 作QM ∴y 轴，过点Q 作QN ∴y 轴，过点E 作EN ∴x 轴，交于点N ，由（2）得：Q （2，-2），∴D 是OC 的中点，∴D （0，2），∴QN ∴y 轴，∴ODQ DQN ∠=∠，又∴2DQE ODQ ∠=∠，∴2DQE DQN ∠=∠，∴MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，∴tan tan MDQ EQN ∠=∠，即：MQ NE MD NQ =， 设E （x ，254x x -+），则222454(2)x x x -=-+--，解得：15=x ，22x =（舍去）， ∴E （5，4）， 设F （0，y ），则()()222240016BF y y =-+-=+， ()()()2222504254EF y y =-+-=+-，()()222544017BE =-+-=，∴当BF =EF 时，()2216254y y +=+-，解得：258y =， ∴当BF =BE 时，21617y +=，解得：1y =或1y =-，∴当EF =BE 时，()225417y +-=，无解，综上所述：点F 的坐标为：（0，258）或（0，1）或（0，-1）． ．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】（1）()214y x =--+；()1,4M ；（2131+；（3）是，1． 【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方式，将AQ QP PC ++的长转化为1PE PC ++，再利用两点之间线段最短确定PE PC +的最小值等于CE 的长，加1后即能确定1PE PC ++的最小值；（3）设出圆心和D 点的坐标，接着表示出E 点的坐标，利用圆心到B 点的距离等于圆心到D 点的距离，求出q 和e 的关系，得到E 点的纵坐标，进而确定EF 的长为定值．解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：()214y a x =-+，将点（0,3）代入解析式得：3=a +4，∴1a =-，∴抛物线解析式为：()214y x =--+，顶点坐标()1,4M ． （2）由表格可知，抛物线经过点A （-1,0），C （0,3），如图3，将A 点向上平移一个单位，得到()'1,1A -，则'//'=AA PQ AA PQ ，，∴四边形'AA PQ 是平行四边形，∴'=PA QA ，作'A 关于MQ 的对称点E ，则()3,1,E∴'=PA PE ，∴=1AQ QP PC PE PC ++++，当P 、E 、C 三点共线时，PE PC +最短，设直线CE 的解析式为：y mx n =+，将C 、E 两点坐标代入解析式可得：331n m n =⎧⎨+=⎩， ∴323n m =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线CE 的解析式为：233y x =-+， 令1x =，则73y =， ∴当713P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，P 、E 、C 三点共线，此时=PE PC EC +∴AQ QPPC ++1．理由：设,D p q （），因为A 、B 两点关于直线x =1对称，所以圆心位于该直线上，所以可设ABD △的外接圆的圆心为()'1,O e ，作'O N DF ⊥，垂足为点N ，则,N p e （），由DF x ⊥轴，∴,2E p e q -（），∴'='O D O B ，且由表格数据可知()3,0B∴()()()()2222310=1e p q e -+--+-，化简得：()()22241e p q e +=-+-，∴点D 是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为()214y x =--+，∴()214q p =--+，∴()214p q -=-，∴()2244e q q e +=-+-，∴0q ≠，∴21e q -=-， ∴,1E p -（），∴1EF =，即EF 的长不变，为1．【点睛】本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量，对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当22t =时，求抛物线的解析式．【答案】（1）BE ∴AB ，理由见解析；（2）（,1）；（3）243y x x =-+ 【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，则可判断∴AOB 是等腰直角三角形，然后结合正方形的旋转可证明∴AOC ∴∴BOE （SAS ），可得∴OBE =∴OAC =45°，进而可得结论；（2）作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证∴MOC ∴∴NEO ，可得CM =ON ，OM =EN ，由（1）的结论可得AC =BE =t ，然后解等腰直角∴ACM ，可求出2AM CM ==，进而可得答案；（3）由抛物线过点A 结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x =2，然后由（2）可求出当t =时k =1，进一步即可求出点P 的纵坐标，从而可得顶点P 的坐标，于是问题可求解． 【详解】解：（1）BE ∴AB ，理由如下：对于直线y =-x +1，当x =0时，y =1，当y =0时，x =1， ∴B （0，1），A （1，0）， ∴OA =OB =1， ∴∴OBA =∴OAB =45°， ∴四边形OCDE 是正方形， ∴OC =OE ，∴COE =90°， ∴∴AOB =90°， ∴∴AOC =∴BOE ， ∴∴AOC ∴∴BOE （SAS ）， ∴∴OBE =∴OAC =45°，∴∴EBC =∴EBO +∴OBA =45°+45°=90°， 即BE ∴AB ；（2）作CM ∴OA 于点M ，作EN ∴x 轴于点N ，如图1，则∴CMO =∴ENO =90°， ∴∴EON +∴NEO =∴EON +∴COM =90°， ∴∴NEO =∴COM ， 又∴OC =OE ，∴∴MOC ∴∴NEO ， ∴CM =ON ，OM =EN ，在∴ACM 中，∴CMA =90°，∴MAC =45°，AC =BE =t ， ∴22AM CM t ==， ∴212OM t =-， ∴点E 在第二象限， ∴点E 的坐标是（22,122t t --）；（3）∴抛物线过点A （1，0）， ∴a +b +c =0， ∴6320a b c ++=， ∴消去c 可得b =-4a ，∴抛物线的对称轴是直线x =2，如图1，当t =时，由（2）可得AC =， ∴12AM CM ==， ∴11122OM CM =-==，∴tan 1AOC ∠=，即k =1， ∴∴POA 的面积为12， 即11122P y ⨯⨯=，解得1P y =， ∴a ＞0，∴顶点P 的纵坐标是-1， ∴点P （2，-1）， 设()221y a x =--，把点A （1，0）代入，可求得a =1，∴抛物线的解析式是()222143y x x x =--=-+．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34． 【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点2DD CD '=的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N D N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =，(3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ，:1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+， 将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++， 解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ， 当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ， 综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ，设点D 的坐标为22(,)D x y '，2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=， 2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-， 设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =， 则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，2255(3)(62)35D N CN m m CN m CN FN CN '+=-+-=-+=+， 由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合， 则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等， 即23m =，解得32m =， 则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克；（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克．【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）分两种情况：当x≤100时，当x＞100时，分别列出函数解析式，即可；（3）分两种情况：若x≤100时，若x＞100时，分别求出w关于x的函数解析式，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克，由题意得：30020022x x=+-，解得：x=10，经检验：x=10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克；（2）当x≤100时，y=10x，当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，∴10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩；（3）若x ≤100时，w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+， ∴当x =100时，w 最大=100， 若x ＞100时，w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+， ∴当x =200时，w 最大=200，综上所述：当x =200时，超市销售苹果利润w 最大，答：要使超市销售苹果利润w 最大，一天购进苹果数量为200千克． 【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用，根据数量关系，列出函数解析式和分式方程，是解题的关键．11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．【答案】（1）265y x x =---；（2）6311-；（3）(3,26N --【分析】（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入解析式，即可求解；（2）由tan 2ACM ∠=想到将ACM ∠放到直角三角形中，即过点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，即可知2AEAC=，再由90AOC EAC ∠=∠=︒想到过点E 作EF x ⊥轴，即可得到AOC EFC ∆∆∽，故点E 的坐标可求，结合点C 坐标可求直线CE 解析式，点M 是直线CE 与抛物线交点，联立解析式即可求解； （3）过点M 作L 的垂线交于点D ，故设点M 的横坐标为m ，则点M 的纵坐标可表示，且MD 的长度也可表示，由//HM NQ 可得AHM AQN ∆∆∽即可结合两点间距离公式表示出MN ，最后由3MD MN =即可求解 【详解】解：（1）将点()1,0A -和点()5,0B -代入25y ax bx =+-得5025550a b a b --=⎧⎨--=⎩，解得：16a b =-⎧⎨=-⎩ 265y x x ∴=---（2）点A 作AE AC ⊥交CM 的延长线于点E ，过E 作EF x ⊥轴于,E 如下图EF x ⊥轴，AE AC ⊥ 90EFA EAC ∴∠=∠=︒ 90FAE OAC ∴∠+∠=︒又90ACO OAC ∴∠+∠=︒EAF ACO ∴∠=∠ AOC EFA ∴∆∆∽AC AO COEA EF AF∴==tan 2ACM ∠=即2AEAC= 12AC AO CO EA EF AF ∴=== 当0x =时，5y =-()0,5C ∴-即5OC =2,10EF AF ∴==即()11,2E --∴设直线CE 的解析式为()0y kx b k =+≠，并将C 、E 两点代入得1125k b b -+=-⎧⎨=-⎩解得3115k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 3511y x ∴=-- 点M 是直线CE 与抛物线交点2351165y x y x x ⎧=--⎪∴⎨⎪=---⎩解得1263,011x x =-=（不合题意，舍去） ∴ 点M 的横坐标为6311-（3）设过点M 垂直于L 的直线交x 轴于点H ，对称轴交x 轴于点Q ，M 的横坐标为m 则OH m =-1AH m ∴=--265y x x =---∴对称轴32bx a∴P 、Q 、N 的横坐标为3-，即3OQ =2AQ OQ OA ∴=-=∴当3x =-时，()()233654y =----⨯-= ()3,4P ∴-∴点D 的纵坐标为4∴()()222465693MD m m m m m =----=++=+ //HM NQ∴AHM AQN ∆∆∽AH HM AQ QN ∴=即21652m m m QN--++= 210QN m ∴=--()3,210N m ∴-+()()()2222223652103351MN m m m m m m ⎡⎤⎡⎤∴=-+-----=+++⎣⎦⎣⎦ 3MD =223MD MN ∴=，即()()()42233351m m m ⎡⎤+=+++⎣⎦， 30,3m m +==-不符合题意，舍去，当30m +≠时，2224690,m m ∴++=解得122m -=，由题意知122m --= (3,2N ∴--【点睛】本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大．解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设坐标的方程思想．12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）02n <≤【分析】（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入，利用待定系数法即可求解； （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤，求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+，将()1142,，()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2144k b =-⎧⎨=⎩， ∴2144m x =-+；（2）当120x ≤≤时，销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+， 当16x =时，销售利润最大为1568元；当2040x <≤时，销售利润20302160W my m x =-=-+，当21x =时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为： ()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-， ∴120x ≤≤时，'W 随x 的增大而增大，∴对称轴16220n +≤，解得02n <≤．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【答案】（1）2504009000W x x =-++，9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入2x =求出对应函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令9750W =可解出对应的x 的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的x 的值即可．【详解】（1）若降价x 元，则每天销量可增加50x 千克，∴()()500504830W x x =+--，整理得：2504009000W x x =-++，当2x =时，2502400290009600W =-⨯+⨯+=，∴每天的利润为9600元；（2）()225040090005049800W x x x =-++=--+，∴500-<，∴当4x =时，W 取得最大值，最大值为9800，∴降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令9750W =，得：()297505049800x =--+，解得：15=x ，23x =，∴要让利于民，∴5x =，48543-=（元）∴定价为43元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ．【详解】（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，根据题意可得：100200800020030013000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+，化简得：2550280w z z =-++， 当()505225b z a =-=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元．（3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨=-+⎩①② 将∴代入∴可得：()100002010930m W b m -=-+⨯， 化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+，使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则40b -=，得4b =，当4b =时，3000W =，∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）2n =（3）∴12；∴251013(9+或2513(,0)9-． 【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先根据抛物线的解析式可得点,C P 的坐标，再利用待定系数法可得直线BC 的解析式，从而可得点G 的坐标，然后分别求出,PG BG 的长，最后根据全等三角形的性质可得PG BG =，由此建立方程求解即可得；（3）∴先利用待定系数法求出直线BD 的解析式，再根据平移的性质可得直线1OB 的解析式，从而可得点E 的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；∴先求出直线1NN 的解析式，再与直线1OB 的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点1N 的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．。

二次函数-定值问题【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．，再根据x=代入y=与抛物线的图象上；++，根据两角对应相等的两三角=，即可证明﹣（﹣）﹣（﹣，x=y=x y=）与抛物线）在反比例函数++y=kx+8=x+++++，++，OFB=90 =，=【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．出均有=x1=x4=x9==．xx，）均有==，AB==CD=，m==m==（﹣（m y=m m﹣m2=m m m =m2m==m=．故答案为：；；．【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．）代入求出），a=y=y=x+；（y=（﹣（y=（﹣ECP=﹣﹣=﹣，ECP=【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．的长，然后代入+x x，然后表示出+，，x，AO=mAM=+=+x x +==，+=取何值，++是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且ABsin ∠（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，AB =sin OAB ∠=sin 3BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理，得6AD ===．1064OD OA AD ∴=-=-=．点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ········· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，． 而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，； 而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得220AP ===．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点．······················· 1分 ③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得3OP ===而CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ······················· 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ·················· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭．3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················ 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ····················· 1分 综上可知，:QNM QNR S S △△的值为3:20．【例6】、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。

专题15 定点问题例1．根据解析式画出二次函数图象，并结合图象从开口方向、对称轴、顶点坐标、是否过定点、m变化对函数图象的影响几个方面分析图象特征．（1）y＝x2﹣2x+m；（2）y＝x2﹣2mx+1；（3）y＝mx2﹣2x+1；（4）y＝mx2﹣2mx﹣3m；（5）y＝mx2﹣2mx﹣3．对应练习：1.（2024•呼和浩特二模）二次函数，有下列结论：①该函数图象过定点（﹣1，2）；②当m＝1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，，则y1＞y2．其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.已知y关于x的二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，下列结论中：①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标为（，）；②当m≠0时，函数图象总过定点；③当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．②③D．①②3．（2024•从江县校级一模）小明在学习二次函数知识的时候，发现二次函数图象和一次函数图象的交点个数有3种情况：有2个交点，有1个交点和没有交点，带着这样的结果，小明提问：若过定点（0，1）的一次函数y＝kx+b 与二次函数y＝x2+2x+3的图象有2个交点，则k的取值范围是（）A．，且k≠0B．C．D．或4．（2024春•鄞州区校级期末）无论m为何实数，二次函数y＝x2+（m﹣1）x+m 的图象总是过定点．5．（2023•无锡）二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列结论：①该函数图象过定点（﹣1，2）；②当m＝1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1＜m＜时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，则y1＞y2．其中，正确结论的序号为．6．（2023秋•淮阴区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m为常数）．（1）不论m为何值，该函数图象恒过定点；（2）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数图象上，若y1＞y2，求m 的取值范围．（1）若函数图象经过点A（﹣1，2），求该二次函数的表达式及图象的对称轴．（2）求证：二次函数图象过定点（1，﹣2）．（3）若a＞1时，二次函数的最小值为s，求s的取值范围．8．（2023秋•拱墅区校级月考）已知y关于x的二次函数y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m，（1）若二次函数图象与x轴有且只有一个公共点，求m的值；（2）无论m取何值，函数图象恒过定点A，求点A的坐标．9．（2023秋•淮阴区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣3（m为常数）．（1）不论m为何值，该函数图象恒过定点；（2）已知点A（﹣3，y1），B（2，y2）在二次函数图象上，若y1＞y2，求m 的取值范围．10．已知二次函数y＝ax2+（a+1）x+1（a≠0）．（1）不论a为何值时，求函数图象所过定点的坐标；（2）若函数有最大值1，求此时a的值．（1）若函数图象经过点A（﹣1，2），求该二次函数的表达式及图象的对称轴．（2）求证：二次函数图象过定点（1，﹣2）．例2．（2024•永州二模）定义：对于一个函数，当自变量x＝x0时，函数值y＝x0，则实数x0叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题：（1）求出反比例函数的不动点值；（2）若二次函数y＝ax2+b有﹣1和2两个不动点值．①求该二次函数的表达式；②将该二次函数图象平移，使其顶点为（t，2t+2），若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值x1，x2，记，求z的取值范围；③若该二次函数图象与y轴交于点M，过点M作MA⊥MB分别交抛物线于A，B两点．（点A在y轴左侧），试探究直线AB是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由．对应练习：1．（2024春•开福区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的解析式；（2）若平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，与抛物线的对称轴交于H点，若点H到x轴的距离是线段MN的，求线段MN的长；（3）抛物线的顶点为D，过定点Q的直线y＝kx﹣k+3与二次函数交于E、F，△DEF外接圆的圆心在一条抛物线上运动，求该抛物线的解析式．2．（2023秋•梁溪区期末）已知二次函数y＝ax2﹣（a+b）x+b（a、b是常数，a ≠0）．（1）若M（﹣4，m）（m＞0）在该二次函数的图象上，当a＜0时，试判断代数式a+b的正负性；（2）已知对于任意的常数a、b（a≠0），二次函数的图象始终过定点P，求证：一次函数y＝（k2+3）x+3k（x≥1）图象上所有的点都高于点P．3．（2024•雅安模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c图象C交x轴于点（﹣1，0）和（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线C1向上平移n个单位得抛物线C2，点P为抛物线C2的顶点，C（0，4），过C点作x轴的平行线交抛物线C2于点A，点B为y轴上的一动点，若存在∠ABP＝90°有且只有一种情况，求此时n的值；（3）如图2，恒过定点（1，1）的直线QN交抛物线C1于点Q，N两点，过Q点的直线y＝﹣2x+t的直线交抛物线C1于M点，作直线MN，求MN恒过的定点坐标．4．（2024春•亭湖区校级月考）【阅读理解】函数过定点的含义就是：不管参数（即待定系数）取什么值，函数都过的这个点就是定点；如函数y＝kx+1经过定点（0，1），因为无论k取什么值，函数一定经过点（0，1），因此函数经过的定点就是（0，1）；因此，我们可以把函数过定点的问题转化为与参数无关的问题进行解决．【尝试运用】（1）二次函数y＝kx2﹣2kx+1的图象必经过定点坐标为；（2）试说明抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；【思维拓展】（3）如图1，若A、B是抛物线y＝x2上的动点，OA⊥OB，且它们的横坐标分别为a、b，连接A、B．①证明：直线AB过定点D；②如图2，BE∥AF∥x轴，EF∥y轴，若，BE＝n．要使过原点O的直线恰好平分四边形ABEF面积，请直接写出n的最小值，及此时这条直线的解析式．5．（2024秋•西湖区校级月考）已知二次函数y＝mx2﹣2（m+1）x+4（m为非零实数）．（1）当m＝2时，求二次函数图象与x轴的交点坐标；（2）不论m为何值，该函数图象都会经过两个定点，求这两个定点坐标；（3）若二次函数有最小值，求证：当x≤1时，y随x的增大而减小．6．（2024秋•高新区校级月考）已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）．（1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标；（2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；（3）已知A（m，2），B（4，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．7.（2024•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y＝2x﹣9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．8．（2024•永州二模）定义：对于一个函数，当自变量x＝x0时，函数值y＝x0，则实数x0叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题：（1）求出反比例函数的不动点值；（2）若二次函数y＝ax2+b有﹣1和2两个不动点值．①求该二次函数的表达式；②将该二次函数图象平移，使其顶点为（t，2t+2），若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值x1，x2，记，求z的取值范围；③若该二次函数图象与y轴交于点M，过点M作MA⊥MB分别交抛物线于A，B两点．（点A在y轴左侧），试探究直线AB是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由．。

.市中考压轴题（二次函数）优选【例一】．如图，抛物线 y=ax2 +c（a≠0）经过 C（ 2，0）， D（ 0，﹣ 1）两点，并与直线 y=kx 交于 A、 B 两点，直线 l 过点 E（0，﹣ 2）且平行于 x 轴，过 A、 B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 M、 N．（1）求此抛物线的分析式；（2）求证： AO=AM；（3）研究：①当 k=0 时，直线y=kx 与 x 轴重合，求出此时的值；②试说明不论k 取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．剖析：（ 1）把点 C、 D的坐标代入抛物线分析式求出a、 c，即可得解；（ 2）依据抛物线分析式设出点 A 的坐标，而后求出AO、 AM的长，即可得证；（ 3）① k=0 时，求出 AM、 BN的长，而后辈入+ 计算即可得解；②设点 A（ x1， x12﹣ 1）， B（x2， x22﹣ 1），而后表示出+ ，再联立抛物线与直线分析式，消掉未知数 y 获得对于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1? 2，并求出22 x1 +x2，x12? x22，而后辈入进行计算即可得解．解答：（ 1）解：∵抛物线y=ax 2+c（a≠0）经过C（ 2， 0）， D（ 0，﹣ 1），∴，解得，所以，抛物线的分析式为y=x2﹣ 1；（ 2）证明：设点 A 的坐标为（ m，m2﹣ 1），.则 AO=2= m+1，∵直线 l 过点 E（0，﹣ 2）且平行于x 轴，∴点 M的纵坐标为﹣ 2，22∴AM= m﹣ 1﹣（﹣ 2） = m+1，∴AO=AM；（3）解：① k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，点 A、 B 在 x 轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣ 2） =2，∴+ =+=1；②k取任何值时，设点A（ x1，x12﹣ 1）， B（ x2，x22﹣ 1），则+ =+==，联立，消掉 y 得， x2﹣4kx ﹣ 4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k， x1? x2=﹣4，2222+8，所以， x1+x2 =（ x1+x 2）﹣ 2x1? x2=16k2 2x1? x2 =16，∴+ ===1，∴不论 k 取何值，+的值都等于同一个常数1．评论：此题是二次函数综合题型，主要考察了待定系数法求二次函数分析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，依据抛物线上点的坐标特点设出点A、 B 的坐标，而后用含有k 的式子表示出 + 是解题的重点，也是此题的难点，计算量较大，要认真认真．【例二】 .如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ OAB的极点Ａ的坐标为（10， 0），极点 B 在第一象限，且 AB =3 5 ，sin∠OAB=5. 5（ 1）若点 C 是点 B对于 x 轴的对称点，求经过O、 C、 A 三点的抛物线的函数表达式；（ 2）在 (1) 中，抛物线上能否存在一点P，使以 P、O、C、 A 为极点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）若将点O、点 A 分别变换为点Q（ -2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直均分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N，其极点为M，记△ QNM的面积为S QMN，△ QNR的面积.S QNR ，求 S QMN ∶ S QNR 的值.解：（ 1）如图，过点 B 作 BD OA 于点 D ．在 Rt △ ABD 中，Q AB3 5 ， sin OAB5y，5P 25 3 BD AB gsin OAB3 53 ． BP5xE OD 又由勾股定理，A FC P 1得 AD22(3 5)2 32 6 ．AB BDODOA AD 10 6 4．Q 点 B 在第一象限，点 B 的坐标为 (4，3) ．点 B 对于 x 轴对称的点 C 的坐标为 (4， 3) ． ················2 分设经过 O (0，0)， C (4， 3)， A(10，0) 三点的抛物线的函数表达式为y ax 2bx(a 0) ．16a 4b3 a1，8由100a 10bb5．4经过 O ，C ， A 三点的抛物线的函数表达式为y1 x2 5 x ． ········· 2 分84（ 2）假定在（ 1）中的抛物线上存在点 P ，使以 P ，O ，C ，A 为极点的四边形为梯形．① Q 点 C (4， 3) 不是抛物线 y1 x2 5 的极点，8 4过点 C 作直线 OA 的平行线与抛物线交于点P 1 ．.则直线 CP 1 的函数表达式为 y 3 ．对于 y1 x2 5x ，令 y3x 4 或 x 6 ．84x 1 ，x 2，46y 1； y 2 ．33而点 C(4， 3)，P 1(6， 3) ．在四边形P 1 AOC 中， CP 1 ∥ OA ，明显 CP 1OA ．点 P 1 (6， 3) 是切合要求的点．······················· 1 分②若 AP 2 ∥ CO ．设直线 CO 的函数表达式为 y k 1 x ．将点 C (4， 3) 代入，得 4k 13． k 13． 43 直线 CO 的函数表达式为 yx ．4 3 x 于是可设直线 AP 2 的函数表达式为yb 1 ．4将点 A(10，0) 代入，得3 10 b 1 0 ． b 1 15 ．42 直线 AP 2 的函数表达式为 y3 x 15 ．4 2y3 x 15由4 2x 24x 60 0 ，即 (x 10)( x6) 0 ．1 x 25yx8 4x 1 ， x 2，106y 1； y 2； 0 12而点 A(10，0) ， P 2 ( 6，12) ．过点 P 2作P 2Ex 轴于点 E ，则 P 2 E 12 ．在 Rt △ AP 2 E 中，由勾股定理，得 AP 2P 2 E 22122 162 20 ．AE而 COOB 5 ．在四边形 P 2OCA 中， AP 2 ∥ CO ，但 AP 2CO ．点 P 2( 612)， 是切合要求的点．······················· 1 分③若 OP 3 ∥ CA ．设直线 CA 的函数表达式为 yk 2 x b 2 ．.10k 2 b 20 k 2 1 ，将点 A(10，0)， C (4， 3) 代入，得b 2324k 2 b 2．5直线 CA 的函数表达式为y1x 5 ．2直线 OP 3 的函数表达式为y1x ．2y1 x由2x 2 14x0 ，即 x( x14) 0 ．1 x2 y5 x8 4x 1 ，，0 x 214y 1； ．0 y 27而点 O (0，0) ， P 3 (14，7) ．过点 P 3作 P 3F x 轴于点 F ，则 P F7 ．3在 Rt △ OP 3 F 中，由勾股定理，得OP 32272142 7 5 ．P 3 FOF而 CAAB3 5 ．在四边形 P 3 OCA 中， OP 3 ∥ CA ，但 OP 3 CA ．点 P 3 (14，7) 是切合要求的点．·······················综上可知，在（ 1）中的抛物线上存在点1 ， ，2 ， ，3 ， ，P (63) P ( 6 12) P (14 7)使以 P ，O ，C ，A 为极点的四边形为梯形． ·················· （ 3）由题知，抛物线的张口可能向上，也可能向下．1 分1 分①当抛物线张口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点 N ．y可设抛物线的函数表达式为ya( x 2k )( x 5k )(a 0) ．3 k2即 y ax 23akx 10 ak 2 a x 49 ak 2 ．Q OG24如图，过点 M 作 MGx 轴于点 G ．NQ Q ( 2k ，0)， R(5k ，0)， G3k ，0 ，M2Rx.N (0， 10 ak 2 )， M 3k，49ak 2，24|QO | 2k，|QR | 7k，|OG |3k ，7249|QG |k，|ON |10ak 2，|MG |ak 2．2114S△QNR gQR gON7k10ak 235ak 3．22S△QNM S△ QNOS梯形 ONMGS△QMG1gQO gON 1(ON GM )gOG1gQG gGM22212k10ak 2110ak 249ak 2 3 k17 k49 ak22242224120153497 49ak321ak 3．2884S△QNM : S△QNR21 ak3: (35ak 3 )3: 20 ．················ 2 分4②当抛物线张口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得 S△QNM : S△QNR3: 20 ．····················· 1 分综上可知， S△QNM: S△QNR的值为3: 20．【例三】xOy 中，一次函数y x m (m 为常数)的图象与x轴交于点、如图，在平面直角坐标系54A(3，0) ，与 y 轴交于点 C．以直线 x=1 为对称轴的抛物线2c 为常数，且 a ≠y ax bx c (，，0)a b经过 A， C两点，并与 x 轴的正半轴交于点B．（ 1）求m的值及抛物线的函数表达式；（ 2）设 E 是 y 轴右边抛物线上一点，过点 E 作直线 AC的平行线交 x 轴于点 F．能否存在这样的点E，使得以 A，C，E，F 为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明原因；（ 3）若 P 是抛物线对称轴上使△ ACP 的周长获得最小值的点，过点 P 随意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于 M 1 ( x1， y1 )， M 2 (x2， y2 ) 两点，尝试究M1P M2P能否为定值，并写出研究过程．M1M2.考点：二次函数综合题。