大学物理 简明教程 习题 解答 答案
习题一
1-1 ｜r ∆｜与r ∆有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ∆是位移的模，∆r 是位矢的模的增量，即r ∆12r r -=，12r r r ϖϖ-=∆；
（2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s
d d .
t r
d d 只是速度在径向上的分量.
∵有r r ˆr =（式中r ˆ叫做单位矢），则
t ˆr ˆt r t d d d d d d r r r += 式中t r
d d 就是速度径向上的分量，
∴t r t d d d d 与
r 不同如题1-1图所示. 题1-1图
(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d ϖϖ=，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττϖϖ(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττϖϖϖ+=
式中dt dv
就是加速度的切向分量. (t t
r d ˆd d ˆd τϖϖΘ与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，
有人先求出r ＝22y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先
计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
v =22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 及a =
2
22222d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有
j y i x r ϖϖϖ+=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v ϖϖϖϖϖϖϖϖ222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴
故它们的模即为
2
22222222222
d d d d d d d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y
x
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
22d d d d t r a t r v ==
其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速
度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t r
也不是加速度的模，它只是加
速度在径向分量中的一部分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r ϖ在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r ϖ及速度v ϖ的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。
1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y =21
t 2+3t -4.
式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；
(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．
解：（1）
j t t i t r ϖϖϖ)4321()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 j i r ϖϖϖ5.081-= m j j r ϖϖϖ4112+=m j j r r r ϖϖϖϖϖ5.4312+=-=∆m (3)∵ j i r j j r ϖϖϖϖϖϖ1617,4540
+=-=
∴ 104s m 534201204-⋅+=+=--=∆∆=j i j i r r t r v ϖϖϖϖϖϖϖϖ (4) 1
s m )3(3d d -⋅++==j t i t r v ϖϖϖϖ 则 j i v ϖϖϖ734+= 1s m -⋅ (5)∵ j i v j i v ϖϖϖϖϖϖ73,3340
+=+= 2
04s m 1444-⋅==-=∆∆=j v v t v a ϖϖϖϖϖ (6) 2
s m 1d d -⋅==j t v a ϖϖϖ
这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。
1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图
所示．当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图1-4
解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知
222s h l +=
将上式对时间t 求导，得
t s s t
l l d d 2d d 2= 题
1-4图
根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，
∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳 即 θcos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-
=船 或
s v s h s lv v 02/1220)(+==船
将船v 再对t 求导，即得船的加速度
