整式

第三章 整式及其加减知识点(1)

整式知识点

1 ．单项式： 在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代

数式叫单项式 .

2 ．单项式的系数与次数： 单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为

零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数 .

3 ．多项式： 几个单项式的和叫多项式 .

4 ．多项式的项数与次数： 多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式

里，次数最高项的次数叫多项式的次数；

注意： (若 a 、b、c、p 、q 是常数) ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式 .

5．整式： 凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式 .

( 单项式

整式分类为： 整式〈

6 ．同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项 .

7 ．合并同类项法则： 系数相加，字母与字母的指数不变 .

8． 去 (添) 括号法则： 去(添)括号时，若括号前边是 +”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“ - ”

“

号，括号里的各项都要变号 .

9 ．整式的加减： 整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并 .

10.多项式的升幂和降幂排列： 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫

做按这个字母的升幂排列(或降幂排列) .注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列 .

11. 列代数式

列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒

数以及几分之几、几成、倍等等 .抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了 .

12.代数式的值

根据问题的需要， 用具体数值代替代数式中的字母， 按照代数式中的运算关系计算， 所得的结果是代数式的值 .

整式与分式

【知识回顾】

一、整式

1、整式分类

单项式：数字或字母的乘积，例如：vta、、260 多项式：单项式的和：例如：vta26

2、整式加减与同类项

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项

几个常数项也是同类项

合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项法则：(一变两不变)把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。

注意：(1) 合并的前提是同类项合并。

(2) 合并指的是系数相加，字母和字母的指数保持不变。

(3) 合并同类项的根据是加法交换律、结合律以及分配律。

整式加减：去括号、合并同类项

二、分式基本概念及性质

1、分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．

一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．

整式与分式统称为有理式．

在理解分式的概念时，注意以下几点：

⑴分式的分母中必然含有字母；

⑵分式的分母的值不为0；

⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．

2、分式有意义的条件：

两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1x，当0x时，分式有意义；当0x时，分式无意义．

3、分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．

4、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．

上述性质用公式可表示为：aambbm，aambbm(0m)．

注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m；

②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；

③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．

5. 分式运算: 分式的乘法：acacbdbd 分式的除法：acadadbdbcbc 乘方：()nnnnnaaaaaaaabbbbbbbb个个n个＝(n为正整数)

整式的加减乘除法则总结

一、整式的定义

整式是由数字、字母和运算符号（加号、减号、乘号）通过运算得出的式子。例如，2x - 5y + 3 是一个整式。

二、整式的加法法则

整式加法法则可以总结为下列两条规则：

1. 对于整式的同类项进行合并，即将相同字母的幂次相同的项合并。

例如：2x - 3x + 4x + 5 可以合并为 3x + 5。

2. 对合并后的同类项进行系数相加。

例如：3x - 2y + 4x - 5y 可以合并为 7x - 7y。

三、整式的减法法则

整式减法法则是整式加法法则的特例，即将减号后面的各项取相反数后，按整式加法法则进行运算。

例如：5x^2 - 3x + 2y - (2x^2 - 4x + 3y) = 5x^2 - 3x + 2y - 2x^2 + 4x - 3y = 3x^2 +

x - y。

四、整式的乘法法则

整式乘法法则可以总结为下列规则：

1. 将两个整式的每一项按照乘法分配律进行相乘。

例如：(2x - 3)(4x + 5) 可以按乘法分配律展开为 2x(4x + 5) - 3(4x + 5)

= 8x^2 + 10x - 12x - 15 = 8x^2 - 2x - 15。

2. 将展开后的各项进行合并。

例如：3x(2x - 1) + 5y(3x + 2y) 可以合并为 6x^2 - 3x^2 + 15xy +

10y^2。

五、整式的除法法则

整式除法法则可以总结为下列规则： 1. 将除法转化为乘法。即将被除数乘以除数的倒数。

例如：(4x^2 + 8x) / 2x 可以转化为 (4x^2 + 8x) * (1 / 2x)。

2. 化简分式。

例如：(4x^2 + 8x) * (1 / 2x) 可以化简为 2x + 4。

六、整式的总结

通过以上的总结，可以得出整式的加减乘除法则：

1. 加法法则：合并同类项后，进行系数相加。

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整式的乘法

整式是指由常数、变量及其乘积与积之和表示的代数式。在代数学中，整式的乘法是一个基本而重要的运算。

基本概念

在讨论整式的乘法之前，我们先来回顾一下整数乘法的概念。在整数乘法中，当我们计算两个整数的乘积时，我们将第一个整数乘以第二个整数，并将乘积作为结果。例如，$3\\times4=12$。

类似地，整式的乘法也遵循相同的原则。当计算两个整式的乘积时，我们将第一个整式乘以第二个整式，并将乘积作为结果。下面是一个例子：

(2𝑥+3)(4𝑥−5)

要计算上述整式的乘积，我们需要将每个项在第一个整式与第二个整式中进行乘法运算，并将结果相加。具体计算步骤如下：

1. 将第一个整式中的每一项与第二个整式中的每一项进行乘法运算。 未知驱动探索，专注成就专业

2

(2𝑥)(4𝑥)=8𝑥2

(2𝑥)(−5)=−10𝑥

(3)(4𝑥)=12𝑥

(3)(−5)=−15

2. 将上述结果相加。

8𝑥2−10𝑥+12𝑥−15

3. 合并同类型的项。

8𝑥2+2𝑥−15

因此，整式(2𝑥+3)(4𝑥−5)的乘积为8𝑥2+2𝑥−15。这个过程称为「整式的乘法」。

乘法法则

在整式的乘法中，存在一些乘法法则，用于简化计算过程。下面是一些常用的乘法法则：

1. 分配律：𝑥(𝑥+𝑥)=𝑥𝑥+𝑥𝑥

分配律可以用于拆分整式乘法中的项。它允许我们将一个整式与一个括号内的和进行分别相乘，并将结果相加。例如： 未知驱动探索，专注成就专业

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$2x(3x-4)=2x\\times3x-2x\\times4=6x^2-8x$

2. 幂运算法则：$a^m\\times a^n=a^{m+n}$

幂运算法则允许我们将相同的底数的幂相乘，并将指数相加。例如：

$x^2\\times x^3=x^{2+3}=x^5$

3. 同底数相乘：$a^m\\times b^m=(ab)^m$