矩阵的运算及其运算规则
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矩阵基本运算及应用
牛晨晖
在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则
1.1矩阵的加法与减法
1.1.1运算规则
设矩阵，，
则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！
注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质
满足交换律和结合律
交换律 ；
结合律 ．
1.2矩阵与数的乘法
1.2.1 运算规则
数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．
特别地，称称为的负矩阵．
1.2.2 运算性质
满足结合律和分配律
结合律： (λμ)A=λ(μA) ； (λ+μ)A =λA+μA．
分配律： λ (A+B)=λA+λB．
1.2.3典型举例
已知两个矩阵
满足矩阵方程，求未知矩阵． 解 由已知条件知
?
1.3矩阵与矩阵的乘法
1.3.1运算规则
设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即．
(2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
1.3.2典型例题
设矩阵
计算
解 是的矩阵．设它为
可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数； 结论2 在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3 方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
1.3.3 运算性质（假设运算都是可行的）
(1) 结合律 ．
(2) 分配律 （左分配律）；
（右分配律）．
(3) ．
1.3.4 方阵的幂
定义：设A是方阵，是一个正整数，规定
，
显然，记号表示个A的连乘积．
1.4矩阵的转置
1.4.1 定义
定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或．
例如，矩阵的转置矩阵为．
1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）
(1)
(2)
(3)
(4) ，是常数．
1.4.3典型例题
利用矩阵
验证运算性质：
解 ；
而
所以 ．
定义：如果方阵满足，即，则称A为对称矩阵．
对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．
1.5方阵的行列式
1.5.1定义
定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作或．
1.5.2运算性质
(1) （行列式的性质）
(2) ，特别地：
(3) （是常数，A的阶数为n）
思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之间的关系为什么不是，而是？
不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和． 例如，则．
于是，而
2光伏逆变器的建模
光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换与控制的核心。光伏逆变器的性能不仅影响到光伏系统是否运行稳定、安全可靠，也是影响整个系统使用寿命的主要因素。本节将分析主流光伏逆变器的拓扑结构和建模方法。
2.1系统拓扑结构
光伏并网逆变器按照不同的分类方式可分为多种类型。如按照交流侧接线数可分为单相逆变器和三相逆变器，如按照并网方式可分为隔离型光伏逆变器和非隔离型光伏逆变器。在欧洲，相关标准要求光伏逆变器可以采用非隔离型；而在美国，光伏逆变器必须采用隔离型的；我国目前尚没有在此方面的明确要求。
按照能量变换级数来分，光伏并网系统主要包括单级变换、两级变换和多级变换三种拓扑结构。为方面理解后续利用矩阵相关知识建模，下面对这三种拓扑结构的特点做简要介绍。
1) 单级变换拓扑结构
单级变换拓扑结构与前者相比，只有DC/AC逆变部分，该逆变器一般采用单相半桥、全桥电压型逆变器或者三相全桥电压型逆变器。这种类型的光伏逆变器具有结构简单、成本低廉等优点。由于该系统只有一级功率转换电路，所有控制目标都要通过这一级功率转换单元实现，因而增加了控制系统的复杂性。
图1为一典型的单极变换单相光伏逆变器的拓扑结构。这种光伏逆变器一般会安装工频变压器。变压器可以有效降低输出侧电压，也可以起到有效隔离绝缘的效果，具有可靠性高、维护量少、开关频率低和电磁干扰小等特点。
图1 单级单相光伏逆变器拓扑图
2) 两级变换拓扑结构
两级变换拓扑结构一般由DC/DC变换器和DC/AC逆变器两部分组成。前者一般采用比较常见的BOOST电路、BUCK-BOOST电路或CUK电路等，用来实现光伏阵列输出功率的最大功率跟踪的功能，DC/AC一般采用单相或三相的并网逆变器实现并网、有功调节、无功补偿或者谐波补偿等相关功能。
图2为一典型的两级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。第一级是DC/DC变换环节，其拓扑类型为boost电路，目的是把光伏组件输出的不稳定直流低电压提升到可并网的稳定直流高电压。第二级是DC/AC逆变环节，由单相全桥的可逆PWM整流器构成，这一级的功率开关可以采用MOSFET或IGBT。
图2 两级变换单相光伏逆变器拓扑图
3) 多级变换拓扑结构
采用高频变压器绝缘方式的多级变换拓扑结构通过采用带有整流器的高频率变压器来提升输入电压，具有体积小、重量轻、成本低等优点，常用于并网型太阳能发电设备之中。
图3为一典型的带高频变压器的多级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。这种拓扑结构由于需要经过三级能量变换，通常效率相对较低，并且由于高频电磁干扰严重，必须采用滤波和屏蔽等相关措施。
图3 带高频变压器的多级式光伏逆变器拓扑图
2.2典型光伏逆变器的建模
与两级式光伏逆变器相比，单级式光伏逆变器只有一个能量变换环节，结构紧凑、元器件少，能量转换效率更高。目前，单级式三相光伏并网逆变器在大中型光伏电站的建设中得到了大规模的应用。本节选取此类光伏逆变器作为典型进行建模分析。
如图4所示，三相光伏逆变器一般由防反冲二极管、直流母线稳压电容、DC/AC逆变环节、逆变器输出滤波器组成。
图4 三相光伏并网发电系统电路图
假定三相电感且其等效电感、电阻值分别为L1=L2=L3=L和R1=R2=R3=R。三相全桥都是理想的开关管。光伏发电系统在三相静止坐标系下的数学模型如下：
dcccccdcbbbbdcaaaauSeRidtdiLuSeRidtdiLuSeRidtdiL (2.1)
式中：
ia、ib、ic——三相并网逆变器的输出电流；
ea、eb、ec——三相电网电压；
Sa、Sb、Sc——开关函数； udc——直流母线电压；
考虑直流母线中电流的稳压作用，则有
)(bcbbaapvdciSiSiSidtduC (2.2)
式中：
C——直流母线稳压电容；
ipv——光伏阵列输出电流。
将公式2.2进行同步矢量旋转变换，则得到dq坐标系下的三相光伏并网发电系统的模型为：
CiSiSCidtduLuSLeiLRidtdiLuSLeiLRidtdiqqddpvdcdcqqdqqdcddqdd2)(3 (2.3)
式中：
id、iq——逆变器输出电流d、q轴（有功、无功）分量；
ed、eq——电网电压d、q轴分量；
Sd、Sq——触发三相逆变桥的开关信号d、q轴分量；
ω——电网电压的角频率，即dq坐标系的旋转速度。
公式2.3中两个电流方程写成矩阵形式为：
ddddcdqqqdcqiiSueRLdLiiSueLRdt (2.4)
对公式2.4两边取拉式变换得 ()()()()
()()()() ddddcdqqqdcqIsIsSUsEsRLLsIsIsSUsEsLR (2.5)
令*()dUs=()ddcSUs，*()qUs=()qdcSUs，相应时域中有*du=ddcSu，*qu=qdcSu，则公式2.5可写为
**()()()() ()()() ()ddddqqqqUsIsIsEsRLLsIsIsEsLRUs (2.6)
公式2.6的时域表达式为：
(2.7)
3 随机矩阵相关理论
3.1 随机矩阵相关理论和要点
随机矩阵理论(random matrix theory，RMT)的研究起源于原子核物理领域。Wigner在研究量子系统中得出结论，对于复杂的量子系统，随机矩阵理论的预测代表了所有可能相互作用的一种平均。偏离预测的那部分属性反映了系统中特殊非随机的性质，这为了解和研究潜在的相互作用和关系提供了理论支撑。RMT 以矩阵为单位，可以处理独立同分布(independent
identically distributed，IID)的数据。RMT 并不对源数据的分布、特征等做出要求(如满足高斯分布，为Hermitian 矩阵等)，仅要求数据足够大(并非无限)。故该工具适合处理大多数的工程问题，特别适合用于分析具有一定随机性的海量数据系统。随机矩阵理论认为当系统中仅有白噪声、小扰动和测量误差时，系统的数据将呈现出一种统计随机特性；而当系统中有信号源(事件)时，在其作用下系统的运行机制和内部机理将会改变，其统计随机特性将会被打破。单环定律(Ring Law)、Marchenko-Pastur定律(M-P Law)均是RMT 体系的重大突破。在这些理论基础上，可进一步研究随机矩阵的线
