立体几何十大经典问题解法归纳总结

空间立体几何知识点归纳：1. 空间几何体的类型（1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，如棱柱、棱锥、棱台。

（2） 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。

如圆柱、圆锥、圆台。

2.一些特殊的空间几何体直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱。

正棱柱：底面多边形是正多边形的直棱柱。

正棱锥：底面是正多边形且所有侧棱相等的棱锥。

正四面体：所有棱都相等的四棱锥。

3.空间几何体的表面积公式棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ： 圆锥的表面积：222S rl r ππ=+2Srl r ππ=+圆台的表面积： 球的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++24S R π=4．空间几何体的体积公式柱体的体积 ： 锥体的体积 ： VS h =⨯底13V S h =⨯底台体的体积 ： 球体的体积： 1)3V S S h =++⨯上上（343V R π=5.空间几何体的三视图 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。

俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

画三视图的原则：长对正、宽相等、高平齐。

即正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，侧视图和正视图一样高。

6 .空间中点、直线、平面之间的位置关系（1）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面。

（2）直线与平面的位置关系：直线与平面平行；直线与平面相交；直线在平面内。

（3）平面与平面的位置关系：平行；相交。

7. 空间中点、直线、平面的位置关系的判断（1）线线平行的判断：①平行公理：平行于同一直线的两直线平行。

②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

③面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

④线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。

立体几何中的存在惟一性问题存在惟一问题是立体几何中的重要题型，但往往被同学们所忽视。

下面介绍其证明方法。

解决这类题型必须分两步论证。

先证存在性，常用构造法，即作出符合题意的图形，再证惟一性，常用反证法（或同一法）。

例：求证：过两条异面直线中一条有且仅有一个平面与另一条直线平行。

分析；“有一个”——说明图形存在。

“仅有一个”——说明图形惟一。

证明：（1）存在性∴a b //这与a 、b 是异面直线相矛盾，于是假设不成立 故过b 有且仅有一个平面α与直线a 平行立体几何中公理2的一个应用公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。

此公理是立体几何中关于平面的基本性质之一，它除了能判断两个平面是否相交之外，还能得出如下性质：若A A l ∈∈=αβαβ，，且I ，则A l ∈。

用此性质可解决如下题型：证明点在直线上。

以下举例说明。

例1. 已知∆ABC 的三边AB 、BC 、AC 所在的直线分别与平面α相交于E 、F 、G 三点，求证：E 、F 、G 三点共线。

证明：如图1，ΘI I AB E BC F EF EF ααα==⊂.，，联结，则又平面平面又，，平面，即是平面与平面的公共点。

因此，、、三点共线。

EF ABC ABC EF AC G G G ABC G ABC G EF E F G ⊂∴==∴∈∈∴∈ααααI I ..图1例2. 如图2，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：CE 、D 1F 、DA 相交于一点。

图2证明：ΘE AB F AA 为的中点，为的中点，1∴∴EF A BA B D C EF D C//////1111又因，评注：证明三点共线或三线共点常常转化为证明点在直线上。

反证法在立体几何中的应用反证法在立体几何中用得最多，课本中有很多定理如直线和平面的平行判定定理、平面和平面的平行判定定理等都是用反证法来证明的。

立体几何大题方法与技巧讲解空间向量问题基础知识：线面平行：1．线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．2．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个相交那么这条直线和交线平行．3．平行平面的判定定理：如果一个平面内两条相交的直线都平行于另一平面，那么这两个平面互相平行．4．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．5．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．线面垂直：1．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．2．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．3．两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．4．两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．证明方法：如何证明线面平行常用方法①构造三角形中位线，线面位置落差大时（平移法）② 构造平行四边形， 线面位置相当时 ③ 通过面面平行，证明线面平行 ● 如何证明线面垂直 1) 题目中给出的垂直条件2) 特殊的图形（菱形，正方形，等腰三角形，等边三角形等等） 3) 勾股定理证明垂直（偶尔利用相似证明垂直） 4) 通过面面垂直证明线面垂直 ● 空间向量建系问题① 找出和底面垂直的直线 ② 找出底面相垂直的直线 ③ 建立直角坐标系 ● 三个角异面直线所成的角的范围]90,0(00 两异面直线的方向向量分别为 ，2121cos l l l l ⋅=θ直线和平面所成的角的范围]90,0[0， 直线的方向向量为，平面的法向量为nl nl ⋅==φθcos sin平面和平面所成的角的范围]180,0[00， 两个平面的法向量分别为，2121cos n n n n⋅=φθ1l 2l θl nθ1n 2n如果面面所成的角为锐角，则2121cos cos n n n n ⋅==φθ，如果面面所成的角为钝角，则2121cos cos n n n n ⋅=-=φθ是否存在一点问题线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM 即证：线CE 和法向量垂直 判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF 即证:两个面的法向量垂直证明 直线FG （不在平面BCD 里面）与平面BCD 相交． 即证:线和面的法向量不垂直例子1．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由． 1．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF CD ⊥．………………4分EDCBA F（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==． 设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0. x y z +=⎧⎨=⎩令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ， 则|2(1)|10sin |cos ,|552BF θ⨯-=〈〉==⨯n ．……………….9分 （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-， 所以()1,,0AM λλ=-．设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m因为()0,0,1AF =，所以000(1)0,0. x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=m ．z D y DxDEDCB A FM因为()1,2,1CE =--，由0CE ⋅=m ， 所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分2 .主要是C 点的坐标怎么表示（一是画出底面的平面图找出相应关系，二是利用向量平行BA CD 21=） （本小题14分）如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ． （Ⅰ）求证：CDEF ；（Ⅱ）若EF CD =，求二面角--A BC F 余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点M 使得AM EM ⊥？若存在，求BM 的长；若不存在，说明理由． （17）（共14分）解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ． 因为AB ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ， 所以CD ∥平面ABE ．因为CD ⊂平面CDE ，且平面ABE平面CDE EF =，所以CD ∥EF ． ........4分（Ⅱ）如图，取AD 的中点N ，连接BN ，EN .在等腰△ADE 中，.EN AN ⊥因为平面ADE ⊥平面ABCD ，交线为AD ，又EN AD ⊥，所以EN ⊥平面ABCD .所以.EN BN ⊥ 由题意易得.AN BN ⊥如图建立空间直角坐标系N xyz -，则(0,0,0),N (2,0,0)A ，(0,23,0)B ，(3,0)C -， (2,0,0)D -，(0,0,2)E ．因为EF CD =，所以(3,2)F -.设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =，n (1,3,2),(3,3,0),BF BC =--=-- 则0,0,BF BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,330.x y z x y ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩ 令3y =1,1x z =-=．于是(3,1)=-n ．又平面ABCD 的法向量为(0,0,2)NE =，所以5cos ,5NE NE NE⋅〈〉==n n n 由题知二面角--A BC F 为锐角， 所以二面角--A BC F 的余弦值为5分 （Ⅲ）不存在满足条件的点M ，使AM EM ⊥，理由如下：若AM EM ⊥，则0EM AM ⋅=．因为点M 为线段BC 上的动点，设(01),CM tCB t =≤≤，(,,0)M u v ．则(3,3,0)(3,3,0)u v t +-=， 解得(33,3+3,0)M t t -．所以(33,33,2)EM t t =-+-，(35,33,0)AM t t =-+． 所以(33,33,2)(35,33,0)=0EM AM t t t t ⋅=-+-⋅-+． 整理得22330t t -+=，此方程无实根．所以线段BC 上不存在点M ，使AM EM ⊥. ............................14分3.如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB =.（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由． 3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ，又因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE . ……………… 2分DABCEF同理//AF 平面CDE ， 又因为ABAF A =，所以平面//ABF 平面CDE . ……………… 3分又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE . ……………… 4分（Ⅱ）连接BD ,因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD . 则DE DB ⊥. 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DEBE E =，所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥.故,,DA DB DE 两两垂直，所以以,,DA DB DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(0,0,2)E ，(1,0,1)F ， 所以(0,1,2)BE =-,(1,0,1)EF =-，(0,1,0)=n 为平面DEF 的一个法向量. 设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由0BE ⋅=m ，0EF ⋅=m ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1,2,1)=m . ………………8分所以6cos ,||||3⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，D A B CEyxzF所以二面角B EF D --6.………………10分（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩………………12分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， (13)分解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. …… 14分4（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点． (Ⅱ)求证：1AC ∥平面DEF (Ⅱ)求证：平面1ACB ⊥平面DEF ;(Ⅲ)在线段1AA 上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面1ACB 所成的角为300?如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由． 4.（共14分）解：(Ⅰ)方法一：连结1BC因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点, 所以11//DE A B 又因为11//AB A B ，所以//DE AB因为,E F 分别为11B C ,1B B 中点，所以1//EF BC 又因为DEEF E =DE ⊂平面DEF ，EF ⊂平面DEF AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC所以平面1ABC 平面DEF又1AC ⊂平面1ABC ，所以1AC 平面DEF方法二：取1AA 中点为G ,连结FG 由11AA BB 且11AA BB =又点F 为1BB 中点，所以11FG A B又因为,D E 分别为11A C ,11B C 中点,所以11DE A B所以DEFG所以,,,D E F G 共面于平面DEF 因为D ,G 分别为111,AC AA 中点, 所以1AC DG1AC ⊄平面DEFDG ⊂平面DEF所以1AC 平面DEF方法三：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC 又因为AC BC ⊥以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -由题意得1(2,0,0),(0,0,2),(1,0,2)A C D ,(0,1,2),(0,2,1)E F .所以(1,1,0)DE =-,(0,1,1)EF =-设平面DEF 的法向量为111(,,)x y z =n ，则00DE EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 令11x =，得111,1y z ==于是(1,1,1)=n 又因为1(2,0,2)AC =-所以12020AC ⋅=-++=n 又因为1AC ⊄平面DEF ，所以1AC 平面DEF（Ⅱ）方法一：在直棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC因为AC ⊂ABC ，所以1CC AC ⊥ 又因为AC BC ⊥，且1CC BC C =所以AC ⊥平面11BB C C EF ⊂平面11BB C C ，所以AC EF ⊥又1BC CC =，四边形11BB C C 为正方形所以11BC B C ⊥ 又1BC EF ，所以1B C EF ⊥又AC EF ⊥，且1AC B C C =所以EF ⊥平面1ACB又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF方法二：设平面1ACB 的法向量为222(,,)x y z =m ，1(2,0,0),(0,2,2)CA CB == 100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即22220220x y z =⎧⎨+=⎩ 令21y =，得220,1x z ==-于是(0,1,1)=-m (1,1,1)(0,1,1)0⋅=⋅-=n m即⊥n m ，所以平面1ACB ⊥平面DEF （Ⅲ）设直线DP 与平面1ACB 所成角为θ，则30θ=︒设1(01)AP AA λλ=≤≤，则(0,0,2)AP λ=(1,0,22)DP λ=-所以1cos sin302DP DP θ⋅===︒=m m 解得12λ=或32λ=（舍） 所以点P 存在，即1AA 的中点，1AP =5.（本小题满分14分）在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =(Ⅰ) 求证：//EG 平面1AB D ；(Ⅱ) 求证：1BC ⊥平面1AB D ；(Ⅲ) 求二面角1A B C B --的余弦值.5．(本小题满分14分)(I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB . 又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D ,所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ) 取11B C 的中点1D ，连接1DD .显然DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -, 则(0,0,0)D，A ，(0,2,0)B -，1(0,B -，1C, E ,(0,2,0)C .所以1(0,DB =-，(2DA =，1BC =.又因为12300400BC DA ⋅=+⨯+⨯=，1100(2)40BC DB ⋅=⨯+-⨯+=,所以111,BC DA BC DB ⊥⊥.又因为1DA DB D =，所以1BC ⊥平面1AB D . ………….9分 （Ⅲ）显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ，又(AC =-，1(0,4,B C =-， 由2210,0,AC BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20,40.y y⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩设1x =，则y=，z =，则2=n.1B所以121212cos,⋅<>===n nn nn n设二面角1A B C B--的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以cos10θ=. ………….14分。

解题技巧：立体几何中几类典型问题的向量解法一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP u u u r的坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n•=•<>=r u u u r u u u r r u u u rr（2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ uuu r的模。

（3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r或PQ u u u r 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ u u u r 为点P 到直线AB 的距离。

还可以在AB 上任取一点Q 先求><AB PQ ,cos ，再转化为><AB PQ ,sin ，则PQ u u u r><AB PQ ,sin 为点P 到直线AB 的距离。

(4)求两条异面直线12,l l 之间距离，可设与公垂线段AB 平行的向量n r，,C D 分别是12,l l 上的任意两点，则12,l l 之间距离CD nAB n•=u u u r r r【例题】例1：设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离例2：如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。

点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<<a 。

（1）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN的长最小；（2）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小例3：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求异面直线11A C 与1AB 间的距离.例4：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3,2,AB BC CC ===求平面11A BC 与平面1ACD 的距离。