高考导数题的解题技巧 绝版

导数题的解题技巧导数命题趋势：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）

问题.（2）求极值,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.【考点透视】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；

掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【例题解析】考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）是的导函数，则的值是．()fx31()213fxxx(1)f

[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.[解答过程] 22()2,(1)123.fxxf

故填3.例2. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实()1xafx

x





{|()0}xfx'

{|()0}xfx

数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.

[解答过程]由0,,1;,1.1xaxaax

x

当a>1时当a<1时 and ll

/

/22

11,0.11111.xxaxaxaa

yy

xxxx

a











综上可得MP时, 1.a

考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.典型例题

例3.（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个3211()32fxxaxbx[11)，(13]，

极值点．（I）求的最大值；24ab

（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿248ab()yfx(1(1))Af，

llA

过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的()yfxA()yfxAl一侧进入另一侧），求函数的表达式．()fx思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值32

11

()32fxxaxbx[11)，(13]，

点，所以在，内分别有一个实根，2()fxxaxb0[11)，(13]，

设两实根为（），则，且．于是12xx，12xx2214xxab21

04xx≤

，，且当，即，时等号2044ab≤2

0416ab≤

11x，23x2a3b

成立．故的最大值是16．24ab

（II）解法一：由知在点处的切线的方程是(1)1fab()fx(1(1))f，l，即，(1)(1)(1)yffx21(1)32yabxa

因为切线在点处空过的图象，l(1())Afx，()yfx

所以在两边附近的函数值异号，则21()()[(1)]32gxfxabxa1x

不是的极值点．1x()gx 而，且()gx321121(1)3232xaxbxabxa

．22()(1)1(1)(1)gxxaxbabxaxaxxa

若，则和都是的极值点．11a1x1xa()gx

所以，即，又由，得，故．11a2a248ab1b32

1()3fxxxx

解法二：同解法一得21()()[(1)]32gxfxabxa

．2133(1)[(1)(2)]322axxxa

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值l(1(1))Af，()yfx()gx1x

异号，于是存在（）．12mm，12

1mm

当时，，当时，；11mx()0gx2

1xm()0gx

或当时，，当时，．11mx()0gx2

1xm()0gx

设，则233()1222aahxxx





当时，，当时，；11mx()0hx2

1xm()0hx

或当时，，当时，．11mx()0hx2

1xm()0hx

由知是的一个极值点，则，(1)0h1x()hx3(1)21102ah

所以，又由，得，故．2a248ab1b32

1()3fxxxx

例4.（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ 4yx

l480xyl

）A． B． 430xy450xy

C． D．430xy430xy

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，480xyl40xym4

yx

而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.3

4yx4yx430xy

故选A.

例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )

2

5

A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 3131313

1

[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. e and All things in their being are good for [解答过程]解法1：设切线的方程为,0.ykxkxy

又22

5

21,2,1.2xy圆心为

22

2151,3830.,3.231kkkkk

k





1,3.3yxyx或

故选A.解法2:由解法1知切点坐标为由1331(,),,,

2222







//22

//

//113231(,)(,)22225(2)1,22(2)210,2.113,.313,.3xxxxxx

xyxyyxy

y

kyky

yxyx













故选A.例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，axyCxxyC

222

1:,2:a

1C2C

求出此时公切线的方程.思路启迪：先对求导数.axyCxxyC222

1:,2:

解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为xxy2222'xy

1

C

12112,xxx

，即 ①))(2(2)2(11121xxxxxy2

11)1(2xxxy

曲线在点Q的切线方程是即1C),(222axx)(2)(222xxxaxy

②axxxy2222

若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得ll，消去得方程， 1,1222

121xxxx

2

x0122

121axx

若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.0)1(244a

21a2

1

1x

∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .21a1C2C14yx

考点3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要