2009-2010年度数列(理)模拟题汇编

1、 nS是等差数列{}na的前n项和，5511,35aS.

（Ⅰ）求{}na的通项公式;

（Ⅱ）设nanba（a是实常数，且0a），求{}nb的前n项和nT.

1、 解：（Ⅰ）由已知可得：1141da ……………………………… 1分

3524551da ，721da ……………………………… 3分

解得：31a，2d ………………………………………… 5分

∴ 12nan ……………………………………………… 6分

（Ⅱ）∵ 12nan ∴ 12nanaabn

∴ 212321aaabbnnnn， ∵ 0a ∴ }{nb是等比数列 … 7分

31ab 2aq …………………………………… 8分

∴ （1）当1a时，11b，1q，nTn ……………… 9分

（2）当1a时，2231)1(aaaTnn …………………… 12分

综上：1,1)1(1,223aaaaanTnn …………………… 13分

2、已知数列na的前n项和2nSnn，数列nb满足121nnbb*()nN，且15b.

（Ⅰ）求,nnab的通项公式；

（Ⅱ）设数列nc的前n项和为nT，且21log(1)nnncab，证明：12nT.

2、（Ⅰ）解：当1n时，112aS．

当2n时，221[(1)(1)]2nnnaSSnnnnn．

当1n时，122na．

所以2nan． ……………………………………………………3分

由121nnbb，得112(1)nnbb，又1140b， 所以1nb是以4为首项，2为公比的等比数列．

所以1111(1)22nnnbb．

所以121nnb．……………………………………………………6分

（Ⅱ）证明：12211log(1)2log(211)nnnncabn

12112log22(1)nnnn111()21nn． ………9分

故1111[]21223(1)nTnn…

111111[(1)()()]22231nn…

11(1)21n． ……………………………………12分

所以12nT． ……………………………………………………13分

3、设数列na是首项为()aa，公差为2的等差数列，其前n项和为nS，且123,,SSS成等差数列.

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）记2nnnab的前n项和为nT，求nT.

3、解：（Ⅰ）∵11Sa，212122Saaa，3123136Saaaa，

由123,,SSS成等差数列得，2132SSS，即11122236aaa，

解得11a，故21nan；

（Ⅱ）211(21)()222nnnnnanbn，

法1：12311111()3()5()(21)()2222nnTn， ①

①12得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222nnnTnn，

②

①②得，2311111112()2()2()(21)()222222nnnTn 11111(1)113121222(21)()12222212nnnnnn，

∴4212333222nnnnnnT．

法2：121112222nnnnnnanbn，

设112nnkkkF，记11()()nkkfxkx，

则1111(1)()1(1)nnnnkknkkxxnnxxfxxxxx，

∴114(2)2nnFn，

故111(1)1123224(2)13122212nnnnnnnTFn．

4、若数列}{na的前n项和为nS，点)(),(*NnSnn均在函数23)(2xxxf的图象上

（1）求数列}{na的通项公式；

（2）若数列}{nnab是首项为1，公比为)0(qq的等比数列，求数列}{nb的前n项和nT．

4、解： 232nnSn ……………………………………………………1分

（1）)2(42)1(4)2()1(41nnnnSSnannn

（2）1nnnqab………………………………………………………………8分

121nnnqqqST

)1(11)1(qqqqnn ………………………3分

………………………6分

………………………10分

………………………12分

)1(2311)1(2422qnnqqqnnTnn……………………………………………14分

5、已知函数2()1fxx，数列{}na中，1aa，1()nnafa*()nN．当a取不同的值时，得到不同的数列{}na，如当1a时，得到无穷数列1，3，53，115…；当2a时，得到常数列2,2,2，…；当2a时，得到有穷数列2，0．

（Ⅰ）若30a，求a的值；

（Ⅱ）设数列{}nb满足12b，1()nnbfb*()nN．求证：不论a取{}nb中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}na；

（Ⅲ）如果当2n时，都有533na，求a的取值范围．

5、解：（Ⅰ）因为 30a，且3221aa，

所以 22a． 同理可得123a，即23a． ………………………3分

（Ⅱ）证明：假设a为数列{}nb中的第*()iiN项，即1iaab；则

211()()iiafafbb；

3212()()iiafafbb；

………

121()()2iiafafbb；

12()10iiiafaa， 即1()(2)0iiafaf。

故不论a取{}nb中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}na． ………………………8分

（Ⅲ）因为212()()1afafaa，且2533a，

所以 31a． 又因为当533na时， 52111335na，

即1533na，

所以 当31a时，有533na． ………………………13分

6、已知数列na中，11422*31nnnaaanNa，，设321nnnaba．

（Ⅰ）试写出数列nb的前三项；

（Ⅱ）求证：数列nb是等比数列，并求数列na的通项公式na；

（Ⅲ）设na的前n项和为nS，求证：1111122221*212nnnnnnnnSnN．

6、解：（Ⅰ）由11422*31nnnaaanNa，，得26=5a，314=13a.

由321nnnaba，可得14b，28b，316b.

（Ⅱ）证明：因14231nnnaaa，故

11132126623222142311nnnnnnnnnnaaaabbaaaa.

显然23na，因此数列nb是以113241aa为首项，以2为公比的等比数列，即nb11324221nnnnaa.

解得112223nnna.

（Ⅲ）因为11123nna1212232nnnn 111121211111222212121nnnnnnnn,

所以

111111221111121212121nnnkknnknnSn；

------------11分

又111411232nnna1112n（当且仅当1n时取等号），故

1111122111212122nnnnknknSn.

综上可得1111122221*212nnnnnnnnSnN.

7、已知数列na的前n项和为nS，点, nSnn在直线4xy上．数列nb满足2120nnnbbb*()nN，且84b，前11项和为154.

（1）求数列na、nb的通项公式；

（2）设)52)(2(23nnnbac，数列nc的前n项和为nT，求使不等式75kTn对一切*nN都成立的最大正整数k的值；

（3）设).,2(,),,12(,)(**NllnbNllnanfnn是否存在*mN，使得)(3)9(mfmf成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

7、解：（1）由题意，得4nnSn，即nnSn42．

故当2n时，1nnnaSSnn42-)1(4)1(2nn=32n．

注意到1n时，511Sa，而当1n时，54n，

所以， 32nan*()nN． ………………………………………3分

又2120nnnbbb，即211nnnnbbbb*()nN，

所以nb为等差数列，于是1542)(1184bb． 而84b，故208b，34820d，因此，43)4(34nnbbn，

即43)4(34nnbbn*()nN．………………5分

（2）)52)(2(23nnnbac]5)43(2][2)32[(23nn

)36)(12(23nn=)12)(12(21nn=)12)(12(21nn．