第1讲角平分线
1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的数学表示：如图，已知0E是/ AOB的平分线，F是0E上一点，若CF
点C, DF OB 于点D，则CF = DF.
逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型! 模型讲解
模型1-BD平分/ ABC,且DC BC
理由：角平分线的性质
结论：△ DCB2 △ DEB
模型 2 一BD 平分/ ABC, 且CD BD
理由：等腰三角形三线合一
结论：△ BDC BDE
模型3-BD 平分/ ABC, AD// BC OA于
理由：平行线的性质
结论：△ ABD为等腰三角形
【例题讲解】
例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC// AB，/ DAB =90 °, AC BC, AC=BC,
BF
/ ABC的平分线交AD , AC于点E、F，贝U BS的值是
EF
BF
EF
值得一试.
【解答】解：如图，作FG AB于点G
QAC BC，/ ACB =90°
又QBF 平分/ ABC，FG = FC 在Rt A BGF 和Rt A BCF 中
BF BF
AC =16，贝U DE的长度为_________
【分析】有AE平分/ BAC，且AE EC，套用模型2，即可解决该题
△ BGF BCF ( HL) ，BC = BG
Q AC
=
:BC，/ CBA =45°，AB = 2 BC
BF BG BC BC1 . 2 .
EF AG AB BG.2BC BC、2 I
CF GF
例题2、如图，D是厶ABC的BC边的中点,
当过点F作FG AB时，即可将转化为竺，又会出现模型
EF AG
1，所以这个辅助线与思路Q / DAB-90°，FG/AD，
BF
EF
BG
AG
AE 平分/ BAC，AE CE 于点E，且AB =10，【分析】要求B匚的值，一般来说不会直接把
EF
BF和EF都求出来，所以需要转化
【解答】解：如图，延长CE, AB交于点F.
QAE 平分/ BAC, AE EC
/ FAE = / CAE ,Z AEF = / AEC =90°在厶AFE和厶ACE中
/ EAF / EAC
AE AE
/ AEF / AEC
△ AFE 也ACE (ASA)
AF = AC = 16, EF = EC,
BF = 6
又QD是BC的中点，BD =CD
DE是厶CBF的中位线
1
DE = — BF =3
2
故答案为：3.
例题3、如图所示，在△ ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射
1
线EF 上, BP交CE于D，/ CBP的平分线交CE于Q,当CQ =- CE时，EP+BP= .
3 ------------- 【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相
似模型，即可解出答案.
【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M.
QE、F分别是AB、AC的中点，
EF// BC
/ CBM = / EMB
Q BM 平分/ ABC , / ABM = / CBM
/ EMB = / EBM , EB = EM
EP +BP = EP +PM =EM
1
QCQ = CE, EQ =2CQ
3
由EF// BC 得，△ EMQ CBQ
EM EQ
2 EM 2BC 12 EP BP 12
BC CQ
（第 5 题）
（第 7 题）
【巩固练习】
1、如图，/ AOB 是一个任意角，在边 OA , OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺 两边相同的刻度分别与 M , N 重合，过角尺顶点 C 的射线OC 便是/ AOB 的平分线OC ,做 法用得到三角形全等的判定定方法是（
）
A. SAS
B.SSS
C.ASA
D.HL
2、三角形中到三边距离相等的点是（ A 、三条边的垂直平分线的交点 C 、三条中线的交点
3、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE 平分/ ABC , CF 平分/ BCD , BE 、CF 交于 1
G.若使EF = AD ，那么平行四边形 ABCD 应满足的条件是（
）
4
A. /ABC =60°
B. AB ： BC = 1 : 4
C. AB ： BC = 5： 2
D. AB ： BC = 5： 8
4、 如图，△ ABC 的周长为26,点D , E 都在边BC 上,/ ABC 的平分线垂直于 AE ,垂 足为Q ,/ ACB 的平分线垂直于 AD ，垂足为P ,若BC = 10，则PQ 的长为（
）
3 5 A 3
B. -
C.3
D. 4
'2
2
5、 如图，在△ ABC 中，/ C =90°, AC =BC , AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D , DE AB 于点丘，若厶BDE 的周长是5cm ,则AB 的长为_. ________
（第 1 题） （第 3 题） （第 4 题）
）
B 、三条高的交点 D 、三条角平分线的交点
（第 6
题）
