《高等数学(一)》期 末闭卷考试题参考解答08

大学一年级《高等数学》期末测试卷一、选择题（每题4分，共16分）1．101lim(1)lim sinxx x x x x -→→∞++=（ ）。

A 、e ；B 、1e -；C 、1e +；D 、11e -+2．设()ln f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x =（ ）。

A 、0；B 、e ；C 、1；D 、2e 。

3．若sin 2x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰（ ）。

A 、sin 2cos2x x x C ++；B 、sin 2cos2x x xC -+；C 、1sin 2cos 22x x x C -+；D 、1sin 2cos 22x x x C++。

4．已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则（ ）。

A 、3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极小值点；B 、0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极小值点；C 、3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极大值点；D 、0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极大值点。

二、填空题（每题5分，共20分）1． 0limx xx xe e -→=- 。

2．x =⎰。

3．3222sin (cos )1x x dx x ππ-+=+⎰ 。

4．设,,,αβδγ为向量，k 为实数。

若||||1,||||1αβ==，α⊥β，2,k γαβδαβ=+=+，γ⊥δ，则k = 。

三、计算下列各题（每题9分，共45分）1．求极限0lim xx x →+。

2．函数()y y x =由方程0x y e e xy --=确定，求202|x d ydx =。

3．求定积分1dx。

4．求过点(3,1,2)且与平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程。

5．设1sin , 0()20, x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，求0()()xx f t dt Φ=⎰。

《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2． 由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析 在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−， 所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析 因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫， 所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析 因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析 原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析 条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析 将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+−  ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+−  ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析 因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析 由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析 当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析 令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫， 故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析 方法一 由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+． 方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析 由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫， 则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析 令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+， 当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________． 答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫． 第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析 因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+， 所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ． 证 设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−． 于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<． 故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。

武汉轻工大学继续教育学习平台高等数学(一)(高起本)期末考试课程名称：高等数学(一)(高起本)1.(单选题)下列定积分其值为零的是( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：A.解析：无.2.(单选题)如果函数( )(本题2.5分) A.B.C.D.答案：C.解析：无.3.(单选题)函数在区间(-1,1)内( )(本题2.5分)A.递减B.递增C.不增不减D.有增有减答案：D.解析：无.4.(单选题)函数( )(本题2.5分)A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分也非必要条件答案：C.解析：无.5.(单选题)已知( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.6.(单选题)若函数区间上连续,则在区间上函数一定存在最大值和最小值的是( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.7.(单选题)当时,是( )(本题2.5分)A.无穷大B.无穷小C.有界函数D.无界函数答案：C.解析：无.8.(单选题)当时,和都是无穷小,下列变量中,当时,可能不是无穷小的是( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.9.(单选题)设函数,则当且时,( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.10.(单选题)下列各对函数中表示同一函数的是( )(本题2.5分)A.与B.与C.与D.与答案：C.解析：无.11.(单选题)求( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.12.(单选题)由上横坐标相同的点处作切线,这些切线彼此是( )的。

(本题2.5分)A.无规律B.存在C.相交D.平行答案：D.解析：无..13.(单选题)设( )(本题2.5分)A.B.C.D.答案：A.解析：无..14.(单选题)极限的结果是( )。

(本题2.5分)A.0B.不存在C.D.答案：D.解析：无..15.(单选题)求极限的结果是( )(本题2.5分)A.0B.C.D.不存在答案：B.解析：无..16.(单选题)一个已知的函数,有( )个原函数。

页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。