颗粒流理论模拟砂土的力学性质
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第１４卷第３期 ２００２年８月 岩土工程师
Ｇｅｏｔｅｃｎｍｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒ Ｖｏ１．１４ Ｎｏ．３
Ａｕｇ．，２００２
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓａｎｄ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｂｙ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｆｌｏｗ Ｃｏｄｅ ＺＨＯＵ ＪＩＡＮ＆ＣＨＩ Ｙｏｎｇ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ ｇｅｏｔｅｃｈｎｉｃａｌ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ。Ｐ．Ｒ．Ｃ。２０００９２）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｆｌｏｗ Ｃｏｄｅ（ＰＦＣ），ｔｈｅ ｂｉａｘｉａｌ ｔｅｓｔ ａｎｄ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｓａｎｄ ａｒｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｍａｃｒｏ ｓｔｒｅｓｓ—ｓｔｒａｉｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓａｎｄ ｉｓ ｒｅｐｒｏｄｕｃｅｄ ｂｙ ＰＦＣ ｍｏｄｅ１． Ｔｈｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｒｕｌｅｓ ｏｆ ｍａｃｒｏ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｎｄ ｓａｍｐｌｅ ｗｉｔｈ ｍｅｓｏ—ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｓｕｃｈ ａｓ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｉｚｅ ａｎｄ ｆｒｉｃｔｉｏｎ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅ，ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ．Ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓａｎｄ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｉｎ ｌａｂ ｔｅｓｔ ｗｉｔｈ ＰＦＣ ｍｏｄｅｌ，ａｎｄ ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ａｓ ｍｅｓｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｓｕｃｈ ａｓ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｉｚｅ，ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ，ａｒｅ ｖａｒｉｅｄ．Ｉｔ ｉｓ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｏｆ ｓａｎｄ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｂｙ ＰＦＣ ｍｏｄｅ１． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐａｒｔｉｃｌｅ Ｆｌｏｗ Ｃｏｄｅ；ｓａｎｄ；ｓｔｒｅｓｓ—ｓｔｒａｉｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ；ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ
颗粒流理论模拟砂土的力学性质
周健池永 摘 要：文中采用颗粒流理论模拟了砂土双轴试验和砂土剪切带的形成与发展机理。通过颗粒流数值 模拟试验再现了砂土应力～应变关系曲线，同时研究了砂土细观参数变化时其宏观力学性质的反应。 对比研究了室内试验与颗粒流试验砂土剪切带的形成与发展机理，同时研究了当细观参数如颗粒大小、 刚度、摩擦系数变化时，砂土剪切带的变化规律。 关键词：颗粒流 砂土 应力一应变关系 剪切带
１ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ Ｔｈｅ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｃａｎ ｂｅ ｏｂｓｅｒｖｅｄ ｂｏｔｈ ｉｎ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ ｔｅｓｔ ｏｆ ｓａｍｐｌｅ ａｎｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｓｌｉｐ． Ｔｈｅ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｉｓ ｉｎｄｕｃｅｄ ｂｙ ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｓｔｏｒｔｉｏｎ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ ｓａｎｄ，ｓｏ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｍｅｃｈａ． ｎｉｓｍ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｉｎ ｓａｎｄ ｓｈｏｕｌｄ ｂｅ ｓｔａｒｔｅｄ ｆｒｏｍ ｍｅ． ｓｏｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｌｅｖｅ１． Ｔｈｅ ｆｏｒｍｅｒ ｓｔｕｄｙ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｉｎ ｓａｎｄ ｄｅｐｅｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｉｚｅ ｏｆ ｓａｎｄ．Ｒｏｓｃｏｅ（１ ９ ７０）ａｎｄ Ｍｕｈｌｈａｕｓ＆Ｖａｒｄｏｕｌａｋｉｓ （１９８７）ｒｅｐｏｒｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｗｉｄｔｈ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｉｓ ａｂｏｕｔ ８～１０ ｔｉｍｅｓ ｔｈｅ ｍｅａｎ ｇｒａｉｎ ｄｉａｍｅｔｅｒ．Ｈｉｌｌ（１９６２）， Ｍａｎｄｅｌ（１９６３），Ｒｕｄｎｉｃｋｉ＆Ｒｉｃｅ（１９７５）ａｎａｌｙｓｅｄ ｔｈｅ ｅｍｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｉｎｃｌｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ａｓ ａ ｂｉｆｕｒｃａ． ｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎ ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅｙ ｄｉｄｎ＇ｔ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｓｉｎｃｅ ｔｈｅｉｒ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｄｅｐｅｎｄｅｄ ｏｎｌｙ ｏｎ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｇｒａ— ｄｉｅｎｔ ｏｆ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ．Ｚｂｉｂ＆Ａｉｆａｎｔｉｓ（１９８９）ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ— ｂａｎｄ ｏｆ ｍｅｔａｌｓ．Ｔｈｅｉｒ ｔｈｅｏｒｙ ｗａｓ ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ ｅｘ— ｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｍｏｒｅ ａｂｕｎｄａｎｔ ｉｎ ｍｅｔａｌｌｕｒｇｙ，ｔｈａｎ ｉｎ ｓｏｉｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｔｈｅｙ ｉｎｔｅｎｄｅｄ ｔｏ ｅｘａｍｉｎｅ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｉｎ ｓｏｉｌ ｂｕｔ ｄｉｄ ｎｏｔ ｐｒｏｃｅｅｄ ｄｕｅ ｔｏ ｌａｃｋ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｄａｔａ．Ｂａｒｄｅｔ＆ Ｐｒｏｕｂｅｔ（１ ９ ９ １）ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔ ｓｈｅａｒ—・ｂａｎｄ ｉｎ ｇｒａｎｕｌａｒ ｍａｔｅｒｉａｌｓ ｂｙ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ ｓｉｍｕ・・ ｌａｔｉｎｇ ａｎ ｉｄｅａｌｉｚｅｄ ａｓｓｅｍｂｌｙ ｏｆ ｔｗｏ— ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐａｒｔｉ・・ ｃｌｅｓ．Ｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ，ｖｏｌｕｍｅｔｒｉｃ ｓｔｒａｉｎ，ｖｏｉｄ ｒａｔｉｏ， ｒｏｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ，ａｒｅ ｅｘａｍｉｎｅｄ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ．Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｔ ｒｅ— ｐｌａｃｅ ｌａｂ ｔｅｓｔ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ，ｉｔ ｃａｎ ｂｅ ｔａｋｅｎ ａｓ ａ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃ． ｔｕｒｅ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ．Ｃｕｎｄａｌｌ（１９８９），（１９９０），ａｎｄ （１９９１）ｍｏｄｅｌｅｄ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｂｙ ＦＬＡＣ．Ｏｎｅ ａｓｐｅｃｔ ｔｈａｔ ｉｓ ｎｏｔ ｔｒｅａｔｅｄ ｗｅｌｌ ｂｙ ＦＬＡＣ ｉｓ ｔｈｅ ｔｈｉｃｋ— ｎｅｓｓ ｏｆ ａ ｓｈｅａｒ ｂａｎｄ．Ｉｎ ｒｅａｌｉｔｙ，ｔｈｅ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ｏｆ ａ
维普资讯 http://www.cqvip.com ２ 岩土工程师 第３期 ｂａｎｄ ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｅｒｉ—
ａｌ，ｓｕｃｈ ａｓ ｇｒａｉｎ ｓｉｚｅ．Ｔｈｅｓｅ ｆｅａｔｕｒｅｓ ａｒｅ ｎｏｔ ｂｕｉｌｔ ｉｎ—
ｔｏ ＦＬＡＣ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｍｏｄｅｌｓ．Ａｌｔｈｏｕｇｈ ｔｈｅ ｏｖｅｒａＩＩ
ｐｈｙｓｉｃｓ ｏｆ ｂａｎｄ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｍｏｄｅｌｅｄ ｃｏｒｒｅｃｔｌｖ ｂｖ
ＦＬＡＣ，ｂａｎｄ ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ ａｎｄ ｂａｎｄ ｓｐａｃｉｎｇ ａｒｅ ｇｒｉｄ—ｄｅ— ｐｅｎｄｅｎｔ． Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｉｆ ｔｈｅ ｓｔｒａｉｎ—ｓｏｆｔｅｎｉｎｇ ｍｏｄｅ１ ｉｓ ｕｓｅｄ ｗｉｔｈ ａ ｗｅａｋｅｎｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌ，ｔｈｅ ｌｏａｄ／ｄｉｓｐｌａｃｅ． ｍｅｎｔ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ＦＬＡＣ ｆｏｒ ａ ｓｉｍｕ１ａｔｅｄ ｔｅｓｔ ｉｓ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｇｒｉｄ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ．Ｔｈｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ ｉｓ ｎｏｔ ａ
ｍａｊｏｒ ｃｏｎｃｅｒｎ ｉｎ ＰＦＣ，ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｐｒｏｇｒａｍ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｍｏｄｅｌ ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｔ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅ ＩｅｖｅＩ．
Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｆｌｏｗ ｉｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ａｎｄ ｔｈｅ
ｂｉａｘｉａｌ ｔｅｓｔ ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｈｅａｒ—ｂａｎｄ ｉｎ ｓａｎｄ ａｒｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ，ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｅｓｏ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ａｎｄ ｍａｃｒｏ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｓａｎｄ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ．
２ Ｔｈｅｏｒｙ Ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ２．１ Ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ ＰＦＣ２Ｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｐａｒｔｉｃｌｅ—ｆｌｏｗ ｍｏｄｅｌ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ． （１）Ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ａｒｅ ｔｒｅａ ｔｅｄ ａｓ ｒｉｇｉｄ ｂｏｄｉｅｓ．
（２）Ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔｓ ｏｃｃｕｒ ｏｖｅｒ ａ ｖａｎｉｓｈｉｎｇｌｙ ｓｍａｌｌ
ａｒｅａ（ｉ．ｅ．，ａｔ ａ ｐｏｉｎｔ）． （３）Ｂｅｈａｖｉｏｒ ａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔｓ ｕｓｅｓ ａ ｓｏｆｔ—ｃｏｎｔａｃｔ ａｐｐｒｏａｃｈ ｗｈｅｒｅｉｎ ｔｈｅ ｒｉｇｉｄ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ａｒｅ ａｌｌｏｗｅｄ ｔｏ ｏ— ｖｅｒｌａｐ ｏｎｅ ａｎｏｔｈｅｒ ａｔ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｏｉｎｔｓ． （４）Ｔｈｅ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｖｅｒｌａｐ ｉｓ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｆｏｒｃｅ ｖｉａ ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｌａｗ，ａｎｄ ａｌｌ ｏｖｅｒｌａｐｓ ａｒｅ ｓｍａｌｌ ｉｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｏ ｐａｒｔｉｃｌｅ ｓｉｚｅｓ． （５）Ｂｏｎｄｓ ｃａｎ ｅｘｉｓｔ ａｔ ｃｏｎｔａｃｔｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ． （６）Ａ１ｌ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ａｒｅ ｃｉｒｃｕｌａｒ；ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅ ｃｌｕｍｐ ｌｏｇｉｃ ｓｕｐｐｏｒｔｓ ｔｈｅ ｃｒｅａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｕｐｅｒ—ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｏｆ ａｒｂｉ． ｔｒａｒｙ ｓｈａｐｅ．Ｅａｃｈ ｃｌｕｍｐ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｏｖｅｒｌａｐ．． ｐｉｎｇ ｐａｒｔｉｃｌｅｓ ｔｈａｔ ａｃｔ ａｓ ａ ｒｉｇｉｄ ｂｏｄｙ ｗｉｔｈ ａ ｄｅｆｏｒｍ． ａｂｌｅ ｂｏｕｎｄａｒｙ． ２．２ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ＰＦＣ Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｃｙｃｌｅ ｉｎ ＰＦＣ２Ｄ ｒｅｑｕｉｒｅｓ ｔｈｅ ｒｅ． ｐｅａｔｅｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌａｗ ｏｆ ｍｏｔｉｏｎ ｔｏ ｅａｃｈ ｐａｒｔｉ— ｃｌｅ，ａ ｆｏｒｃｅ—ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｌａｗ ｔｏ ｅａｃｈ ｃｏｎｔａｃｔ．ａｎｄ ａ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｕｐｄａｔｉｎｇ ｏｆ ｗａｌｌ ｐｏｓｉｔｉｏｎｓ．Ｃｏｎｔａｃｔｓ，ｗｈｉｃｈ ｍａｙ ｅｘｉｓｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｂａｉｌｓ ｏｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ａ ｂａｌｌ ａｎｄ ａ ｗａｌ１，ａｒｅ ｆｏｒｍｅｄ ａｎｄ ｂｒｏｋｅｎ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｒｓｅ ｏｆ ａ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｃｙｃｌｅ ｉｓ ｉｌｌｕｓ． ｔｒａｔｅｄ ｉｎ Ｆｉｇｕｒｅ １． 一Ｕｐｄａｔｅ ｐａｎｉｃｌｅ＋ｗａＩ ｐｏｓｉｔ ＯｎＳ一 ａｎｄ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｎｔａｃｔｓ １ Ｌａｗ ｏｆＭｏｔ Ｏｉｌ Ｆｏｒｃｅ—Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅ （ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｅａｃｈ ｐａｒｔｉｃｌｅ） （ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｅａｃｈ ｃ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｍｏｔｉｏｎ ｒｅｓｕｈａｎｌ ｔｂｉ’ｃｅ Ｊ—ｍｏｍｅｎｔ ｃｏｎｓｔｉｔｕｔｉｖｅ ｌａｗ Ｃｏｎｔａｃｔ ｆｏｒｃｅ Ｆｔｇｕｒｅ １ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｃｙｃｌｅ ｉｎ ＰＦＣ２Ｄ ２．２．１ Ｆｏｒｃｅ—Ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ Ｌａｗ Ｔｈｅ ｆｏｒｃｅ—ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｌａｗ ｒｅｌａｔｅｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｖｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｗｏ ｅｎｔｉｔｉｅｓ ａｔ ａ ｃｏｎｔａｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｆｏｒｃｅ ａｃｔｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｅｎｔｉｔｉｅｓ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｃｏｎｔａｃｔ ｉｎ ＰＦＣ ｍｏｄｅｌ ｔｈａｔ ｉｓ ｂａｌｌ—ｂａｌｌ ａｎｄ ｂａｌｌ—ｗａｌＩ ｃｏｎｔａｃｔｓ． Ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｆｏｒｃｅ ｖｅｃｔｏｒ Ｆ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｓｏｌｖｅｄ ｉｎｔｏ ｎｏｒｍａｌ ａｎｄ ｓｈｅａｒ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｒｅｓｐｅｃｔ ｔｏ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｐｌａｎｅ ａｓ Ｆｉ—Ｆ７＋Ｆ； （１） ｗｈｅｒｅ Ｆ ａｎｄ Ｆ ｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ａｎｄ ｓｈｅａｒ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ． Ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ｃｏｎｔａｃｔ ｆｏｒｃｅ ｖｅｃｔｏｒ ｉｓ ｃａｌｃｕＩａｔｅｄ ｂｖ Ｆ７一Ｋ Ｕ ｎ （２） ｗｈｅｒｅ Ｋ ｉｓ ｔｈｅ ｎｏｒｍａｌ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ． Ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ Ｋ”ｉｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｕｒｒｅｎｔ ｃｏｎｔａｃｔ— ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍｏｄｅ１． Ｔｈｅ ｓｈｅａｒ ｃｏｎｔａｃｔ ｆｏｒｃｅ ｉｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ａｎ ｉｎｃｒｅ— ｍｅｎｔａｌ ｆａｓｈｉｏｎ．Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔａｃｔ ｉｓ ｆｏｒｍｅｄ，ｔｈｅ ｔｏ— ｔａｌ ｓｈｅａｒ ｃｏｎｔａｃｔ ｆｏｒｃｅ ｉｓ ｉｎｉｔｉａｌｉｚｅｄ ｔｏ ｚｅｒｏ．Ｅａｃｈ ｓｕｂ—
