简谐运动的证明与周期计算
徐汇区教师进修学院 张培荣
当物体所受回复力符合f ＝－kx 时，物体的运动就是简谐运动，简谐运动的周期为T ＝2πm /k ，当物体运动的时间是周期的整数倍，或是由最大位移运动到平衡位置，就可以直接利用周期公式进行计算，如果不是这种情况，那就要利用单位圆来计算了，关于单位圆，我们另外写文章给大家介绍，这里就计算两个前一类的问题。
例1：一长列火车因惯性驶向倾角为α的小山坡，当列车速度减到零时，列车一部分在山坡上，还有一部分仍在水平地面上，试求列车从开始上山到速度减到零所经历的时间，已知列车总长为L ，摩擦不计。
分析与解：在上山的过程中，设某时刻列车质量为M ，在山上的长度为x ，则列车所受
的阻力为Mx L g sin α，考虑到与运动方向相反，所以可以写成f ＝－Mx L
g sin α，它符合f ＝－kx ，其中k ＝M L
g sin α，那么列车的这段运动可以看成是简谐运动的一部分，刚好从最大速度位置运动到最大位移处，时间为四分之一周期，则
t ＝T 4 ＝π2 M k ＝π2 ML Mg sin α ＝π2 L g sin α
。 例2：如果沿地球的直径挖一条隧道，求物体从此隧道一端释放到达另一端所需时间。设地球是一个密度均匀的球体，其半径为R ，地面的重力加速度为g ，不考虑阻力。 分析与解：在运动过程中，设某时刻物体离地球球心为x ，地球质量为M ，我们可以把地球分成一个半径为x 的球体和一个内半径为x 、外半径为R 的球壳，球壳对壳内物体的万有引力为零，球体对球外物体的万有引力可以把球体看成质点，其质量集中于球心，此球的
质量为：Mx 3R 3 则此时物体所受地球的万有引力指向地心，大小为F ＝G Mx 3
R 3 m x 2 ＝G Mmx R
3 ，考虑到力的方向与位移方向相反，所以F ＝－G Mmx R 3 ，它符合f ＝－kx ，其中k ＝GMm R
3 ，那么物体的运动是简谐运动，所求时间就是半个周期，则 t ＝T 2 ＝πm k ＝πmR 3GMm ＝πR 3GM
。 由于G Mm R
2 ＝mg ，所以GM ＝R 2g ，可得：t ＝πR g 。 其实，在中学阶段，凡求变加速运动的时间，只有两种可能，一是椭圆运动，二是简谐运动，都是利用周期公式进行计算的，所以不要只看形式，而是要分析它的受力情况，当所受力与距离平方成反比时，物体常做椭圆运动，当物体受力与位移成正比时，常做简谐运动。
