五年级奥数知识讲解质数
与合数
The latest revision on November 22, 2020
★小学五年级奥数专题讲解之“质数与合数”
自然数是同学们最熟悉的数.全体自然数可以按照约数的个数进行分类.
像2、3、5这样仅有1和它本身两个约数的自然数，称为质数（或素数）.
像4、6、8这样除了1和它本身以外，还有其它约数的自然数，称为合数.
1只有一个约数，就是它本身.1既不是质数也不是合数、称为单位1.
因此，全体自然数分成了三类：数1；全体质数；全体合数.
任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式，并且分法是唯一的，这个结论被称为算术基本定理.
问题1 24有多少个约数这些约数的和是多少
分析24＝23×3.
23的约数：1，2，22，23共4个.
3的约数：l，3共2个.
根据乘法原理，24的约数个数为：
（3＋1）×（1＋1）＝4×2＝8.
这8个约数为：l、2、4、8、3、6、12、24.它们的和为：
1＋2＋4＋8＋3＋6＋12＋24
＝（1＋2＋4＋8）＋3×（1＋2＋4＋8）
＝（1＋2＋4＋8）×（1＋3）
＝（1＋2＋22＋23）×（1＋3）
＝15×4＝60.
解 24＝23×3.
（3＋1）×（1＋1）＝8.
（1＋2＋22＋23）×（1＋3）＝15×4＝60.
答：24有8个约数，这些约数的和是60.
问题2有8个不同约数的自然数中，最小的一个是多少
分析8＝2×4＝2×2×2.因此，约数个数是8的自然数，有三种类型：P71、P1×P32、P1×P2×P3，其中P1、P2、P3是不同的质数.
解 8＝2×4＝2×2×2.
∵27＝128，3×23＝24，2×3×5＝30.
∴有8个约数的最小自然数为24.
问题3分别判断103、437是质数还是合数.
分析对于一个不很大的自然数N（N＞1，N为非完全平方数）.可用下面方法去判断它是质数还是合数：
先找出一个大于N的最小的完全平方数K2，再写出K以内的所有质数；若这些质数都不能整除N，则N是质数；若这些质数中有一个质数能整除N，则N为合数.（请同学们想想这其中的道理）解 103＜112.而11以内的质数2、3、5、7都不能整除103，故103是质数.
437＜212.而21以内的质数有：
2、3、5、7、11、13、17、19.
∵437÷19＝23，∴437是合数.
问题4将下面八个数分成两组，使这两组数各自的乘积相等.
14，33，35，30，75，39，143，169.
分析把八个数分成两组后，应使每组数的乘积所含的质因数一样.
解把已知的八个数分解质因数：
14＝2×7，33＝3×11.
35＝5×7，30＝2×3×5.
75＝3×52，39＝3×13，
143＝11×13，169＝132.
∵14×75＝35×30＝2×3×52×7，
39×143＝33×169＝3×11×132，
∴分成的两组为：
｛169，33，35，30｝与｛39，143，75，14｝
或｛169，33，75，14｝与｛39，143，35，30｝.
问题5一个数是5个2、3个3、2个5、1个7
的连乘积，这个数的两位数的约数中，最大的是几
分析设这个数为N，则 N＝25×33×52×7.两位数中的最大数为99，其它数依次为98，97，….那么可以从两位数中最大的数开始找.
解 N＝25×33×52×7.
99＝32×11，不是N的约数.
98＝2×72，不是N的约数.
97是质数，不是N的约数.
96＝25×3，是N的约数.
所以，所求最大的两位数的约数是96.
问题6有这样的质数，它分别加上10和14仍
为质数，你会求这个质数吗
分析从最小的质数开始找，可以很快地找到3是符合条件的质数，还有没有符合条件的别的质数呢没有.
解因为3＋10＝13，3＋14＝17，所以3是符合条件的质数.
因为2＋10＝12，2＋14＝16，所以2是不符合条件的质数.
我们将一切大于2的自然数按照被3除的余数分为3n、3n＋1、3n＋2（n≥1的整数）这三类.因为（3n＋1）＋14＝3×（n＋5）不是质数，（3n＋2）＋10＝3×（n＋4）不是质数，而3n仅当n＝1时才是质数.
所以，3是唯一符合条件的质数.
问题7在乘积
1000×999×998×…×3×2×1 ①
中，末尾连续有多少个零
分析不必真的算出这个乘积，而可以从分析末尾的零是怎样产生的入手.因为2×5＝10，所以末尾的零只能由乘积①中的质因数2与5相乘得到.因此，只需计算一下，把乘积①分解成质因数的连乘积以
后，有多少个质因数2，有多少个质因数5，其中哪一个的个数少，乘积①的末尾就有多少个连续的零.
解先计算①中的质因数5的个数.
在1，2，…，1000中有200个5的倍数，它们是：5，10，…，1000.在这200个数中，有40个能被25＝52整除，它们是25，50，…，1000.在这40个数中，有8个能被125＝53整除，它们是125，250，…，1000.在这8个数中，有1个能被625＝54整除，它是625.所以，①中的质因数5的个数等于200＋40＋8＋1＝249.
而①中的质因数2的个数，显然多于质因数5的个数.所以，乘积1000×999×998×…×3×2×1中，末尾连续有249个零.
