算法设计与分析课后答案5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每⼀对正整数m,n都成⽴.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d⼀定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意⼀对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d⼀定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也⼀定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限⾮空集，其中也包括了最⼤公约数。
故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第⼀个数⼩于第⼆个数的⼀对数字,欧⼏⾥得算法将会如何处理?该算法在处理这种输⼊的过程中,上述情况最多会发⽣⼏次?Hint:对于任何形如0<=m并且这种交换处理只发⽣⼀次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输⼊, Euclid算法最少要做⼏次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输⼊, Euclid算法最多要做⼏次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—⼭⽺C—⽩菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个⼈, f—⼿电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求⽅程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平⽅根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求⽅程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输⼊:实系数a,b,c//输出:实根或者⽆解信息D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将⼗进制整数表达为⼆进制整数的标准算法a.⽤⽂字描述b.⽤伪代码描述解答：a.将⼗进制整数转换为⼆进制整数的算法输⼊：⼀个正整数n输出：正整数n相应的⼆进制数第⼀步：⽤n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第⼆步：如果n=0，则到第三步，否则重复第⼀步第三步：将Ki按照i从⾼到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将⼗进制整数n转换为⼆进制整数的算法//输⼊：正整数n//输出：该正整数相应的⼆进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下⾯这个算法,它求的是数组中⼤⼩相差最⼩的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输⼊:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样⼀个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每⼀个元素,计算⽐它⼩的元素个数,然后利⽤这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应⽤该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所⽰:b.该算法不稳定.⽐如对列表‖2,2*‖排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[]4.(古⽼的七桥问题)习题1.41.请分别描述⼀下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (―lazy deletion ‖)第2章习题2.17.对下列断⾔进⾏证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断⾔是正确的。
习题11.图论诞生于七桥问题。
出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler ，1707—1783）提出并解决了该问题。
七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。
请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。
七桥问题属于一笔画问题。
输入：一个起点 输出：相同的点 1， 一次步行2， 经过七座桥，且每次只经历过一次 3， 回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。
另一类是只有二个奇点的图形。
2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。
请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法 1.r=m-n2.循环直到r=0 2.1 m=n 2.2 n=r 2.3 r=m-n 3 输出m3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。
要求分别给出伪代码和C ++描述。
//采用分治法//对数组先进行快速排序 //在依次比较相邻的差 #include <iostream> using namespace std;int partions(int b[],int low,int high) {图1.7 七桥问题int prvotkey=b[low];b[0]=b[low];while (low<high){while (low<high&&b[high]>=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while (low<high&&b[low]<=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];return low;}void qsort(int l[],int low,int high){int prvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴 qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序由low 到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序由 prvotloc+1到 high}}void quicksort(int l[],int n){qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴，从第一个排到第n个}int main(){int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};int value=0;//将最小差的值赋值给valuefor (int b=1;b<11;b++)cout<<a[b]<<' ';cout<<endl;quicksort(a,11);for(int i=0;i!=9;++i){if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) )value=a[i+1]-a[i];elsevalue=a[i+2]-a[i+1];}cout<<value<<endl;return 0;}4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。
《计算机算法设计与分析》习题及答案一．选择题1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。
A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。
A、找出最优解的性质B、构造最优解C、算出最优解D、定义最优解3、最大效益优先是（A ）的一搜索方式。
A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法4. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。
A、子集树B、排列树C、深度优先生成树D、广度优先生成树5．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（B ）。
A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法6、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。
A 运行速度快B 占用空间少C 时间复杂度低D 代码短7、以下不可以使用分治法求解的是（ D ）。
A 棋盘覆盖问题B 选择问题C 归并排序D 0/1背包问题8. 实现循环赛日程表利用的算法是（A ）。
A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法9．下面不是分支界限法搜索方式的是（D ）。
A、广度优先B、最小耗费优先C、最大效益优先D、深度优先10．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（D ）。
A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法11.备忘录方法是那种算法的变形。
（ B ）A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法12．哈夫曼编码的贪心算法所需的计算时间为（B ）。
A、O（n2n）B、O（nlogn）C、O（2n）D、O（n）13．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（B ）。
A、最小堆B、最大堆C、栈D、数组14．最长公共子序列算法利用的算法是（B）。
A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法15．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（A ）。
A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法16.下面是贪心算法的基本要素的是（C ）。
A、重叠子问题B、构造最优解C、贪心选择性质D、定义最优解17.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ D ）A.满足显约束的值的个数B. 计算约束函数的时间C.计算限界函数的时间D. 确定解空间的时间18.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（B ）A．递归函数 B.剪枝函数 C。
《计算机算法设计与分析》习题及答案一．选择题1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。
A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。
A、找出最优解的性质B、构造最优解C、算出最优解D、定义最优解3、最大效益优先是（ A ）的一搜索方式。
A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法4. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。
A、子集树B、排列树C、深度优先生成树D、广度优先生成树5．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。
A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法6、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。
A 运行速度快B 占用空间少C 时间复杂度低D 代码短7、以下不可以使用分治法求解的是（ D ）。
A 棋盘覆盖问题B 选择问题C 归并排序D 0/1背包问题8. 实现循环赛日程表利用的算法是（ A ）。
A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法9．下面不是分支界限法搜索方式的是（ D ）。
A、广度优先B、最小耗费优先C、最大效益优先D、深度优先10．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（ D ）。
A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法11.备忘录方法是那种算法的变形。
（ B ）A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法12．哈夫曼编码的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。
A、O（n2n）B、O（nlogn）C、O（2n）D、O（n）13．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（ B ）。
A、最小堆B、最大堆C、栈D、数组14．最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。
A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法15．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（ A ）。
A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法16.下面是贪心算法的基本要素的是（ C ）。
A、重叠子问题B、构造最优解C、贪心选择性质D、定义最优解17.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ D ）A.满足显约束的值的个数B. 计算约束函数的时间C.计算限界函数的时间D. 确定解空间的时间18.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（ B ）A．递归函数 B.剪枝函数 C。
