模型四 相似三角形模型
（一）金字塔模型
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形
（只要其形状不改变，不论大小怎样
改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例1】 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB 16，AD 10， BE 4，那么FC 的长 度是多
少？
【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题， 因为AB 平行于CD ，
任意四边形、梯形与相似模型
（二）沙漏模型
① AD AE AB AC DE AF BC AG
② S ^ ADE :
ABC
AF 2： AG 2。
n
【例2】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC , AB的长为15厘米，AC被分为60等份。如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB ），那么小玻璃管口径
DE是多大？
【解析】有一个金字塔模型，所以DE: AB DC : AC，DE :15 40:60，所以DE 10厘米。
【例
3
】
如图，DE平行BC，若AD:DB 2:3，那么S^ADE
A
D' 「
E
:S A ECB。
B亠 -------
C
【解析】根据金字塔
2 2
S A ADE : S A ABC 2 : 5
模型AD : AB
4:25 ,
AE:AC DE : BC2: (23) 2:5 ,
S\ ADE :
设S A ADE 4 份，
S A
ECB
4:15。
则S A ABC 25 份S
A BEC
25 5 3 15份，所以
【例4】如图，△ ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD DF FB，贝y ADE : §四边形DEGF : §四边形FGCB _____________________________________________________ 。
【解析】设ADE 1份，根据面积比等于相似比的平方，
所以S^ ADE : S A AFG AD2: AF2 1:4 , S^ ADE： §△ ABC AD2: AB2 1:9 ,因此
S
^ AFG 4份，S A ABC 9 份，
进而有S四边形DEGF 3份，s四边形FGCB 5份，所以S A ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB 1：
3： 5
所以BF:FC BE:CD 4:16 1:4，所以FC
【巩固】
【解析】
【巩固】如图，DE平行BC，且AD 2，AB 5，AE 4，求AC的长。
由金字塔模型得AD:AB AE:AC DE: BC 2:5，所以AC 4 2 5 10
如图，△ ABC中，DE , FG , MN , PQ，BC互相平行,AD DF FM MP PB，则S △ ADE : £边形DEGF : £边形FGNM : Q边形MNQP : S四边形PQCB
【解析】
【总结】数列。
【例5】
【解析】
2 2 . -
设ADE 1 份，S A ADE : S A AFG AD : AF 1:4，因此S^ AFG 4 份，进而有S四边形DEGF 3份，同理有S四边形FGNM 5份，Sg边形MNQP 7份，S四边形PQCB 9份. 所以有S A ADE : 四边形DEGF : S四边形FGNM : S四边形MNQP : S边形PQCB 1:3: 5:7:9
继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差
已知△ ABC中，DE平行BC，若AD:
DB 求S A ABC。
2:3 ,且S梯形DBCE 比S A ADE丿2 8.5
cm
根据金字塔模型AD:AB DE:BC 2: (2 3)
2:5
S A ADE : S A.ABC22 : 52 4 : 25 ,设S A ADE4份, 则S A ABC 25份，
S
梯形DBCE25
4 21份，S弟形DBCE比S A ADE大17份, ，恰好是8.
5 cm2, 所以
S
A ABC
12.5 cm2
【例6】如图：MN 平行BC , S A MPN ：S A BCP 4:9 , AM 4 cm ，求BM 的长度
AD: AB DE:BC 2:3 .
1 1
【例7】如图， ABC 中，AE - AB , AD -AC , ED 与BC 平行， EOD 的面积是1 4 4
平方厘米。那么 AED 的面积是 ___________ 平方厘米。
1 1
【解析】 因为AE - AB , AD -AC , ED 与BC 平行，
4 4
根据相似模型可知 ED: BC 1:4 , EO:OC 1:4 , S COD 4S EOD 4平方厘米, 则S CDE 4 1 5平方厘米，
1 5
又因为S AED : S CDE AD : DC 1:3，所以 S AED 5 —-（平方厘米）.
3 3
【例8】在图中的正方形中， A , B , C 分别是所在边的中点,
积的几倍?
M
'
N
C
B -
—
P 【解析】 在沙漏模型中， 因为 S A MPN :2 BCP
BM 6 AM : AB 4 2 cm MN :BC 2:3 ,因为
【巩固】
如图，已知
DE 平行 B C , BO: EO 4:9，所以MN : BC 2:3 ,在金字塔模型中有： AM 4 cm , AB 4 2 3
6 cm ，所以
3: 2，那么 AD : AB
________ 。 【解析】由沙漏模型得BO:EO BC:DE
3: 2，再由金字塔模型得
VCDO 的面积是VABO 面
A
