在学习中研究 在研究中学习
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２００６年第６期 中学数学教学 ３
在学习中研究在研究中学习
重庆市江津二中 况勋伟 （邮编：４０２２８４）
在教育部制定的《普通高中数学课程标准》课程设 置的基本理念中。对培养学生的数学探究能力有明确 的要求：高中数学课程倡导自主探索、动手实践、合作 交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程 成为在教师引导下的“再创造”过程．数学探究有助于 学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情。建立 严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养 学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提 出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识 和实践能力，发挥学生的想像力和创造性．根据这一理 念，在教学中，我时常给学生创设探究情境。激发学生 探究热情，鼓励学生的探索精神，并与学生一起共同探 讨，感受研究性学习的快乐． 在学习了全日制普通高级中学教材第一册（下）第 １０９页例５之后，在我的引导下，，学生对例５进行了研 究、探讨，得出了一些“成果”．在学生探究思维的启发 下，我把所得的结果从平面情形推广到空间情形．
１ 提出问题 教材例５ 向量 与穗不共线， ，＝ｔＡ－－￣（ｔ∈ Ｒ），用 、蔬表示 ．
老师： 倒 ５研学后可知．若ｊ点Ｏ、Ａ、Ｂ不共线，且 点Ｐ在直线ＡＢ上，则存在唯一一对实数 、Ａｚ，使 ＝
Ａ 十Ａ ，且Ａ，＋扎＝１（＊）．请同学们探究一下。此 命题反之成立吗？即：若三点Ｏ、Ａ、Ｂ不共线．． 一Ａ， ＋
Ａ （硒，且Ａ，＋Ａ。＝＝：１，则点Ｐ在直线ＡＢ上．
２ 探究问题 问题提出之后．同学们各抒已见，有说成立的，也 有说不成立的。思维异常活跃．几分钟探究后，有一位 学生举手发言了。“老师，反之是成立的”．我向他做了
个手势，示意到黑板上写出理由． 学生１． ‘．‘ ＝＾ ＋ 。葫，且 ＋ ＝１。
．・． ：（１一Ａ ） ＋Ａ 穗，从 一 一
Ａ。（碡一 ），
．・． Ａ 蕊。向齄 、 共线，又 ，盈有公
共点Ａ，故Ａ、Ｂ、Ｐ三点共线，从而点Ｐ在直线ＡＢ上． 老师： 非常不错．从学生１的证明以及例５，同学 们能得出什么结论吗？ 过了一会儿，学生２发言了． 学生２： 我发现这是个充要条件，即：若三点ｆＪ、 Ａ、Ｂ不共线。点Ｐ在直线ＡＢ上的充要条件是存在唯…
一对实数Ａ 、Ａ：。使 ＝： ＋Ａ。蔼．ｆ１ Ａ，＋Ａ？＝１．
老师： 正确．对直线ＡＢ上任一点Ｐ，一定存在唯
一一对实数Ａ 、Ａ 。满足向量等式（＊）．反之。对每一对 实数Ａ，、Ａ ，在直线ＡＢ上都有唯一点Ｐ与之对应．．所 以。把向量等式（＊）叫做直线ＡＢ的向量参数方程式．
３ 深入探究
我本以为此题讲到这地步应该告一段落，但学生３ 的问题激发了师生们的探究欲望．学生３；“老师，若三 点ｏ、Ａ、Ｂ不共线，点Ｐ在直线ＡＢ外，由平面向量基本 定理可得存在唯一一对实数Ａ 、Ａ：，使得 ＝Ａ ＋
Ａ （ ，但此时实数Ａ 、Ａ 之和是否仍等于１７如不为１． 那么取值范围又是什么呢？”（这里所说的四点（）、Ａ、Ｂ、 Ｐ在同一个平而内）．这个问题一下把我问住了，一时小 知如何回答．我只能说：“这个问题我事先没有考虑到， 我们一起来共同研究。看能否得出什么结果？”凭着多 年的教学经验和对数学的敏锐性，我对学生说：点Ｐ在 直线ＡＢ外．应该从两个方面思考，一方面是点尸、点。 在直线ＡＢ同侧，另一方面是点Ｐ、点（）在直线ＡＢ异 侧．于是同学们信心十足地探究了起来．经过了十分钟 左右的思考、讨论、研究之后，对解决刚才学生３提出的 问题，我已有十分的把握，学生们疑惑的脸上也逐渐露 出了自信的笑容．学生４发言了． 学生４： 我认为当点Ｐ、０在直线
ＡＢ异侧时，Ａ ＋＾２＞１．理由如下： 证明 如图１连ＯＰ交ＡＢ于Ｐ ， 则必然存在唯一实数ｍ，使ｆ ＝０
Ⅲ西 （ ＞１）， 设 ＝ｆ蕊，则由例５得 一 图１
（１一ｆ） ＋ｆ穗．故碎一，＂ Ⅲ（１＿ｆ） ＋删
。此时令Ａ 一Ⅲ（１一ｆ），Ａ ＝删，则Ａｊ＋Ａ２＝， ＞１． 老师： 很好．点Ｐ、点Ｏ在直线ＡＢ同侧的情形怎 样解决？只见一位戴眼镜的女生，举起了右手． 、 学生５： 点Ｐ、点Ｏ在直线ＡＢ的同侧时，０＜Ａ ＋
２＜１．（图２）
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证明 设ＯＰ的延长线与直线 ＡＢ交于Ｐ 点，则必然存在唯一实数
，使 一 （ ＞１），并 ＝ ｔａ－－￣ｔ唯一）。由可 ＝ （
＞１）得 一￣ｏ－－－￣，￣ｏ－Ｆ＇一 ＋ ｍ ； ＋ｆ ＝ ＋ｆ（ 一 ）一（１～ｆ）ｏ－Ｔｒ＋ｔ商， 图２
．・． 一 一 萌＋ 商． ｍ 令Ａ，一Ｌ ， ２ ＿兰＿，由于ｍ＞１，故０＜Ａ１＋ ２
一一１＜１．
老师： 不错．请大家思考一下，她的证明中 ＞
１。此时向量 与 同向．但 与 不能反向吗？ 学生６： 可以．当 与 反向时。Ａ ＋Ａ ＜ Ｏ（图３）． 证明 设ＯＰ的反向延长线直线 ＡＢ相交于Ｐ ，则必然存在唯一实数
，使 一 ｐ－－＆ ＞１），则
～土 一— （葡＋石 ）． ｍ Ｐ
・ 一 ｍ ． 图３． ｉ一 囝５ 由上题那样，可设 ＝ｔａ－－￣：则 ＝（１一ｆ）
＋ｔ 。
． 一士 ； ＋ 商． １一ｍ ｌ— ｌ—
可令 １一 ， ２一 ．由于 ＞１．
故 ｌ＋ ２＝÷＜０．
老师： ｉ芷得漂亮！从前面几位同学的证明可知， Ａ ＋ 。可以大于、等于、小于１，也可以大于、小于０，能 否等于０呢？有同学思考过吗？ “我来”，“我来”，……，同学们个个争先恐后，把手 举得高高的．我也不知叫谁回答，正要发话时，只见一 高个子男生从座位上跃了起来。直奔讲台而来 学生７： 当点Ｐ、点Ｏ所在的直 线与直线ＡＢ平行时， ＋ ＝０（图４）
证明 设 ＝ｔ ，则 一 ｆ（ 一 ）一一ｆ蕊＋ｆ商，
令 ｌ；一ｔ，＾２＝ｔ，则Ａ１＋Ａ２—０． 老师： 很好．经过大家的积极探 图４ 讨，共同努力。我们较为完整地解决了学生３提出的问 题．同样地。学生４、５、６、７的结论反之成立吗？为什么？ ｌ学生们： 成立．用反证法可证明．
老师： 谁来证…。…？ 话还没说完，一个宏亮的声音便飞了出来，“我来 证明”，绰号“睡仙”的学生发言了．只见他精神抖擞。面 带笑容，用急切的目光看着我．我点头同意． 学生８： 先证；三点０、Ａ、Ｂ不共线，若存在唯一
一对实数Ａ 、Ａ ，使 一Ａ ＋Ａ２ ，且Ａ ＋ 。＞１， 则点Ｐ、点０在直线ＡＢ异侧．其他可类似证明．
、 证明 假设点Ｐ、点０在直线ＡＢ同侧，且ＯＰ的 延长线与直线ＡＢ相交，根据学生５的结论，则存在唯
一一对实数Ａ 、 ，使 ＝Ａ ＋Ａ 。且０＜ ＋ Ａ２＜１，这与已知Ａｌ＋Ａ２＞１矛盾；假设点Ｐ、点Ｏ在直 线ＡＢ同侧，且ＯＰ盼反向延长线与直线ＡＢ相交，根据 学生６的证明，则存在唯一一对实数Ａ．、 ，使 一
Ａｌ ＋Ａ２ ，且Ａｌ＋Ａ２＜ｏ，同样与已知 １＋ ２＞１ 矛盾；假设点Ｐ、点０所在的直线与直线ＡＢ平行。根据 学生７的证明，则存在唯一一对实数Ａ 、ｋ，使ｏＰ＝Ａ ｏ－７１十＾２磕，且 ｌ＋Ａ２—０，与已知Ａ ＋ ２＞１矛盾；假
设点Ｐ在直线ＡＢ上，则存在唯一一对实数Ａ ，使
一Ａｌ ＋如 ，且Ａｌ＋Ａ２；１，与．已知Ａ ＋ ２＞１矛 盾．故点Ｐ、点０在直线ＡＢ异侧的充要条件是存在唯
一一对实数＾ 、Ａ２，使 ＝Ａ ＋Ａ 商。且Ａ ＋Ａ ＞
１．同理可证学生５、６、７的结论反之成立． 老师： 很聪明，希望不要让“睡仙”埋没了你的聪 明才智．由“睡仙”的证明，我们可得出这样的结论： 已知三点０，Ａ、Ｂ不共线， ①点Ｐ在直线ＡＢ上 存在唯一一对实数＾ 、＾ ， 使ＯＰ ＾ ＋Ａ２ ，且 ｌ＋Ａ２＝１． ②点Ｐ、点０在直线ＡＢ异侧 存在唯一一对实数
、 。使 一 ， ＋ 亩。且Ａ。＋＾ ＞１．
③点Ｐ、点０在直线ＡＢ同侧，ＯＰ的延长线与直线 ＡＢ相交 存在唯一一对实数 、 ，使 ＝＝ ＋
２ ０百，且０＜Ａ ＋ ２＜１． ④点Ｐ、点０在直线ＡＢ同侧，且ＯＰ的反向延长线 与直线ＡＢ相交㈢存在唯 一对实数 、＾ ，使 ＝竺
ｌ ０ ＋＾２ ０舀，且 ｌ＋ ２＜０． ⑤点Ｐ、Ｏ所在的直线与直线ＡＢ平行错存在唯一
一对实数＾ 、 ，使 Ａ ＋ 。且 。＋Ａ 一０．
４ 教学后记 受学生的启发，我们可以把平面情形推广到空间 情形．（篇幅有限，证明从略） 已知空间四点０、Ａ、Ｂ、ｃ不共面．
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生长教学策略指导下的一堂数学课
—— 《有理数乘法》教学案例
浙江省杭州市采荷中学 高建成 （邮编：３１００１６）
案例背景： 南京师范大学数学与计算机科学学院教授、博士 生导师喻平，通过自己对数学教育的研究，从数学学习 心理层面提出生长教学策略，用以完善中学生的ＣＰＦＳ 结构（ＣＰＦＳ结构是由概念域、概念系、命题域、命题系 形成的数学认知结构）．即“根据数学知识独特的内部 生长机理和生长规律以及学生的认知特点和学生头脑
中数学认知结构的生长规律，把教材、学生、教学方法 手段诸方面综合安排成一个完整的教学过程，从数学 知识的生长点出发设计自然町信的模拟生Ｋ过程，让 学生主动参与数学的实验、研究、探索、 芟明、发现，促 进学生数学知识与认知结构的自然生长．”包括“生 长”、“变式”、“反思”、“结构”等主要环节． 《冉理数乘法》这节课是听完了本校一位青年教师 ｝ｒ报课后而没汁的．法汇报课只有知识． 没有办法；只 有结果，没有过程；课堂气氛沉闷．为此：本人按照生长
教学策略没引。了这堂课． 案例描述： １．从学生原有认知结构提出问题．找准牛长点． （多媒体呈现以下三个问题）： （１）有理数包括哪些数？小学学习四则运算是在有 理数的什么范围中进行的？ （２）有理数加减运算中，关键问题是什么？和小学 运算中最主要的不同点是什么？ （３）根据有理数加减运算中引出的新问题主要是负 数加减。运算的关键是确定符号问题，你能不能猜出在 有理数乘法中将引出的新内容以及关键问题是什么？ 教师：请同学用两分钟时问答题，然后前后四位交／ 流一下各人的答案和看法． 学生经过自己的联想与猜测，与他人讨论与交流． 很快得到答案，并且有一半的学生能猜出在有理数乘 法中将引出的新内容以及关键问题是负数问题，符号 的确定． 简析：有意义学习的条件是具备相应观念．因而， 要完善中学生ＣＰＦＳ结构，教师首先必须了解学生原有 的数学认知结构，找准新知识的固着点和生长点，引导 学生学习．有理数的加法便是有理数乘法的生长点，有 理数加减法的符号确定就为有理数乘法的符号确定提 供了很好的类比点． ２．师生共同研究，逐步生长有理数乘法法则，伸展 学生的认知结构． 教师：问题１ 水库的水位每小时上升３厘米，２小
①点Ｐ在平耐ＡＢＣ内㈢存在唯～组实数Ａｔ、 、
．使 一： Ｉ ＋ ＋ ，．且Ａ ＋ ＋ ：１． ②点Ｐ与点Ｄ在平面ＡＢＣ的异侧㈢则存在唯一 组实数 、 、 ，使得 ．ｏ－７；＋ ｉ殖＋ ，且
１＋ ｚ＋ ＞１． ⑧点Ｐ与点ｉ）在平面ＡＢＣ的同侧，且ＯＰ的延长
