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第一章 函数的极限与函数的连续性
一、学习目的与要求
1、了解函数极限的ε—δ定义，会用它证明一些简单函数的极限。
2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。
3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。
4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。
5、了解在闭区间上连续函数的性质。
二、学习重点
函数极限的概念及计算
三、内容提要
1、数列极限与函数极限
设v u ,表示数列变量n x 或函数变量，在同一个极限过程中,lim ,lim B v A u ==该极限过程可以是数列极限或函数极限中的任一种,A 、B 、a 、β是常数，则极限有以下性质。
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注 X 的形式与极限过程相关，当u 、v 是数列时，n n X |{=≥}N ，N 是某个自然数；
当u 、v 是函数变量，极限过程是-
→0x x 时，),(00x x X δ-=，极限过程是
),(,00δx U X x x
=→时，其余类推。
（III ）基本极限公式
e n n
n n n =+=∞→∞→)1
1(lim ,01lim
， )0(1lim lim ,
0)1(lim >===-+∞
→∞
→∞
→a a n n n n n n n n
n n n n n n )1(lim ,2
1
)(lim 2-=
-+∞
→∞
→不存在
,)1
1(lim ,
)1(lim 10
e x
e x x x x
x =+=+∞→→ ,11lim ,1sin lim 00=-=→→x
e x
x
x x x ,01
sin
lim ,
1)
1ln(lim
0==+→→x
x x
x x x x x e 1
lim →不存在， x
x x |
|lim
0→不存在。 （IV ）极限之间的联系
（1）)(lim )(lim )(lim 0
x f A x f A x f x x x x x x -+→→→==⇔=
（2）.)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞
→+∞
→∞
→
（3）⇔=→A x f x x )(lim 0
对任意趋于0x 的数列n x ，有A x f n n =∞
→)(lim
2．无穷小量与无穷大量 （I ）概念
无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量
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无穷大量 在指定极限过程中趋于无穷大的变量
)(v o u = 表示u 是较v 高阶的无穷小量，即0/lim =v u
)(v O u = 表示u 与v 是同阶的无穷小量，即a a v u ,/lim =是非零常数。 v u ~ 表示u 与v 是等价无穷小量，即1/lim =v u
无穷小的主部 设r a ,为常数，,0,0>≠r a 若)0)(()(→+=x x o ax x u r
r
，则说)(x u ax r 是 的主部，x 称作基本无穷小，r 称作u 关于x 的阶数。 （II ）运算性质
设u 、v 是无穷小量，B 为有界变量，ω为无穷大量，且在同一极限过程下考虑运算，
有（1）ω
1
,
,,v u uB v u ⋅±均是无穷小量。
（2）)0(1,,≠++u u
B u ωω均是无穷大量。
（III ）等价无穷小替换原理
设v u ~，则v
u
v u ω
ω
ωωlim
lim
,lim lim ==。
（IV ）常用等价替换公式
在寻求无穷小量u 的等价基本无穷小时，可依据以下公式与结果（其中u 、v 可以是函数变量如)(),1(ln sin +∞→→-x e x x x ，也可以是数列，如n
n
x n n x n n +=-+=1ln ,1等等）；
积与商 若u ~v ，则v u v u /~/,~ωωωω
和⎪⎩
⎪
⎨⎧''-≠→''
'+'=+ωωωωωω~,~,1,)(,~u u l u u u o u u 若若 常用公式 设0→u ，则
u e u u u u u u ~1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin -+
,21~cos 12u u -),(~1)1(是常数a au u a -+36
1
~sin ),0(ln ~1u u u a a u a u ->-
3．函数的连续性
（I ）概念
)(x f 在一点0x 连续 函数)(x f 在0x 的某个领域,),(00上有定义δδ+-x x )()(lim 00
x f x f x x =→且。
)(x f 在一点0x 左（右）连续 函数)(x f 在0x 的某个左（右）邻域
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)),)((,(0000δδ+-x x x x 上有定义，且)).()(lim )(()(lim 000
x f x f x f x f x x x x ==+-→→
)(x f 在),(b a 连续 函数),()(b a x f 在内的每个点连续。
)(x f 在],[b a 上连续 函数)(x f 在),(b a 连续，且在左端点a 右连续，右端点b 左连续。
间断点 当)()(lim 00
x f x f x x =→不成立时，称)(x f 于0x x =处间断，间断点0x 可分为以下
几种类型：
（II ）主要性质
（1）若)(),(x g x f 均在点0x 连续，则),()(x g x f ±),()(x g x f ⋅)0)((),(/)(0≠x g x g x f 也在
点0x 连续；若))((t f ϕ有定义，0)(t t t =在ϕ连续，)(x f 在)(00t x ϕ=连续，则))((t f ϕ在
0t t =连续。
（2）局部保号性 若)(x f 在0x 连续,00)(x a x f 则在>的某邻域a x f x U >)(),(0上δ
（3）若)(x f y =的反函数为)(1
y f
x -=，且)(x f 在0x 连续，则)()(001
x f y y f
=-在 连
续。
（4）基本初等函数在其定义域内连续，初等函数在其定义区间内连续。 （III ）闭区间上连续函数的性质
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则有
（1）)(x f 在],[b a 上有界并取得最大值与最小值（最值定理）。
（2）若,0)()(
（3）若实数A 在)(),(b f a f 之间，则存在A f b a =∈)(),(ξξ使（介值定值）。 （4）],[)(b a x f 在上一致连续，即任给δδε<-∈<>||],[,,0,0y x b a y x 满足当存在
时便有ε<-|)()(|y f x f 。
四、思考题
1、在函数极限A x f x x =→)(lim 0
的定义中，回答下列问题:
（1）为什么ε要任意给定？
