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第一章函数与极限
教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之
间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方
法。
8 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有
界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：
1、复合函数及分段函数的概念；
2、基本初等函数的性质及其图形；
3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；
4、两个重要极限；
5、无穷小及无穷小的比较；
6、函数连续性及初等函数的连续性；
7、区间上连续函数的性质。
教学难点：
1、分段函数的建立与性质；
2、左极限与右极限概念及应用；
3、极限存在的两个准则的应用；
4、间断点及其分类；
5、闭区间上连续函数性质的应用。
§. 1 映射与函数
一、集合
1. 集合概念
集合（简称集）：集合是指具有某种特定性质的事物的总体•用A, B, C…•等表示•
元素：组成集合的事物称为集合的元素• a是集合M的元素表示为 a M.
集合的表示：
列举法：把集合的全体元素一一列举出来•
例如A={a, b, c, d, e, f, g}.
描述法：若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成，则M可表示为
A a i, a2, - - , a n},
M={x | x具有性质P }.
2 2
例如M{x, y）| x, y 为实数，x y =1}.
几个数集：
N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集.
N 茨，1,2, , n, }. N 41,2, , n, }.
R表示所有实数构成的集合，称为实数集.
Z表示所有整数构成的集合，称为整数集.
Z =4 , -n, , -2, -1, 0, 1,2,…，n, }.
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集.
Q ={巴8 Z,q N且p与q互质} q
子集：若x A,则必有B,则称A是B的子集，记为A B（读作A包含于B）或B_：A .
如果集合A与集合B互为子集，A B且B A,则称集合A与集合B相等，记作A二B.
若A B且A=B,则称A是B的真子集，记作A = B .例如， N .-Z.-Q..R.
不含任何元素的集合称为空集，记作.一.规定空集是任何集合的子集.
2. 集合的运算
设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集（简称并），记作A_.B,即
A B x|x A 或x B}.
设A、B是两个集合，由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（简称交），记作A 7,即
A '
B ={ x|x A 且x =B}.
设A、B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集（简称差），记作A B,即
A B珂x|x A 且x'B}.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行，所研究的其他集合A都是I的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集，记作A C.
集合运算的法则：
设A、B、C为任意三个集合，则
（1）交换律A-B二B_A, A，B=B「A;
（2）结合律（A_.B）_.C=A_.（B_.C）, （A「B）「CS「（B「C）;
（3）分配律（A_.B）「C=（A「C） _.（B「C）, （A「B）_.C=（A_.C）「（B_.C）;
⑷对偶律（A_.B）C5A C ' B C, （A「B）C=A C _ B C
（A_.B）C=A C ' B C 的证明：
C 1 1!_r C 口k|->C C C 产l r、r C C C
x (A_.B) x —A 一B二x - A 且x - B=x A 且x B x A' B ,所以(A一B)=A ' B .
直积(笛卡儿乘积):
设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x, y),把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为A B,即
A B={( x, y)|x A 且y B}.
2 例如，R
R二{(x, y)| x R且y R }即为xOy面上全体点的集合，R R常记作R .
3. 区间和邻域
有限区间：
设a (a, b)={x|a 类似地有 [a, b] ={x | a沖也}称为闭区间， [a, b) = {x | a_x 无限区间： [a,范)={x | a致}, ( q, b] = {x | x < b } , ( q,他)={x | | x | < 范}. 区间在数轴上的表示： 邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a). 设：是一正数，则称开区间(a「，a二)为点a的：邻域，记作U(a,、J,即 U(a,、) ={x | a -:< x < a :} {x || x-a|< }. 其中点a称为邻域的中心，：称为邻域的半径. 去心邻域U (a,): U (a, )={x |0<| x -a |<、} 二、映射 1.映射的概念 定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X-Y , 其中y称为元素x(在映射f下)的像，并记作f(x),即 y#(x),
