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##################【公共基础课-答案】####################新视野大学英语读写教程答案（全）【khdaw】/viewthread.php?tid=108&fromuid=372026概率论与数理统计教程 (茆诗松著) 高等教育出版社课后答案/viewthread.php?tid=234&fromuid=372026高等数学（第五版）含上下册高等教育出版社课后答案/viewthread.php?tid=29&fromuid=372026新视野英语听力原文及答案课后答案【khdaw】/viewthread.php?tid=586&fromuid=372026线性代数 (同济大学应用数学系著) 高等教育出版社课后答案/viewthread.php?tid=31&fromuid=37202621世纪大学英语第3册（1-4）答案【khdaw】/viewthread.php?tid=285&fromuid=372026概率与数理统计第二,三版 (浙江大学盛骤谢式千潘承毅著) 高等教育出版社课后答案/viewthread.php?tid=32&fromuid=372026复变函数全解及导学[西安交大第四版]【khdaw】/viewthread.php?tid=142&fromuid=372026大学英语精读第三版2册课后习题答案/viewthread.php?tid=411&fromuid=372026线性代数(第二版)习题答案/viewthread.php?tid=97&fromuid=37202621世纪(第三册)课后答案及课文翻译（5-8）【khdaw】/viewthread.php?tid=365&fromuid=372026大学英语精读第2册课文翻译(上外)【khdaw】/viewthread.php?tid=598&fromuid=372026新视野英语视听说教程1-4答案【khdaw】/viewthread.php?tid=2639&fromuid=372026物理学教程（马文蔚）答案/viewthread.php?tid=1188&fromuid=372026毛邓三课后思考题答案(高教版)高等教育出版社【khdaw】/viewthread.php?tid=1263 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S.Tanenbaum）版答案（中文版）/viewthread.php?tid=201&fromuid=372026耿国华数据结构课后答案/viewthread.php?tid=103&fromuid=372026计算机操作系统 (汤子赢著) 西安电子科技大学课后答案/viewthread.php?tid=1083&fromuid=372026《编译原理》课后习题答案/viewthread.php?tid=175&fromuid=372026《常微分方程》王高雄高等教育出版社课后答案/viewthread.php?tid=567&fromuid=372026##################【物理/光学/声学/热学/力学类--答案】#################### 理论力学第六版 (哈尔滨工业大学理论力学教研室著) 高等教育出版社课后答案/viewthread.php?tid=932&fromuid=372026理论力学第六版 (哈尔滨工业大学理论力学教研室编著) 高等教育出版社【khdaw】/viewthread.php?tid=461&fromuid=372026《热力学统计物理》汪志诚（第三版）高教出版社 (手抄版)习题答案【khdaw】/viewthread.php?tid=84&fromuid=372026原子物理学褚圣麟版课后答案【khdaw】/viewthread.php?tid=368&fromuid=372026《物理学教程》 (马文蔚著) 高等教育出版社【khdaw】/viewthread.php?tid=2782&fromuid=372026《光学》姚启钧第三版高等教育出版社课后答案【khdaw】/viewthread.php?tid=178&fromuid=372026大学物理实验报告与部分范例陈金太厦门大学【khdaw】/viewthread.php?tid=2350&fromuid=372026梁昆淼数学物理方法第三版的课后答案/viewthread.php?tid=2600&fromuid=372026《理论力学教程》周衍柏高等教育出版社完整版课后答案【khdawlxywyl】/viewthread.php?tid=676&fromuid=372026固体物理 (黄昆版) 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(华东师范大学出版社)习题答案【khdaw】/viewthread.php?tid=89&fromuid=372026《大学日语》汉译日标准答案【khdaw】/viewthread.php?tid=2954&fromuid=372026俄语模拟真题下载【khdaw】/viewthread.php?tid=859&fromuid=372026。

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=)1. 曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)-处的法线方程为122146x y z --+==-.2. 函数2ln(2)z x y =+在点(1,2)处沿方向(1,2)l =-的方向导数为25.3. 设(,,)f x y z 为连续函数,则三次积分2222120(,,)x y x y dx f x y z dz --+⎰⎰的柱面坐标积分形式为221220(cos ,sin ,)d d f z dzπρρθρρρθρθ-⎰⎰⎰.4. 设函数()f x 具有一阶连续函数,且(0)1f =,若曲线积分222()(())Lxy y dx yf x y dy +++⎰在整个平面上与路径无关, 则2()21f x x x =++.5. 曲面积分(4)32xz dS π∑+=⎰⎰, 其中222:4,0x y z z ∑++=≥6. 设函数222ln()u x y z =++, 则(1,1,1)2div(gradu)3=.7. 若幂级数0nn n a x ∞=∑在点2x =处收敛, 在点2x =-处发散, 则幂级数1(1)n nn a x n∞=-∑的收敛 区间为(1,3)-8. 设()f x 是以2π为周期的周期函数,它在(,]ππ-上的表达式为2,0()210x x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则()f x 的傅里叶级数在点5x π=处收敛到12π-二. 解答题(68')9. (8')证明函数326,(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续.[30,01lim (,)0,lim (,)2x y x y f x y f x y =→=→==] 10. (10')计算二重积分sin Dydxdy y ⎰⎰, 其中D 是由直线y x =与y =. [210sin 1sin1y y yI dy dx y ==-⎰⎰] 11. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++-⎰⎰⎰, 其中Ω是由平面1x y z ++=与三坐标平面所围成的闭区域.[120555(1)224I zdV z z dz Ω==-=⎰⎰⎰⎰] 12. (10')计算曲线积分22Lxdy ydxx y -+⎰, 其中L 为椭圆22142x y +=(按顺时针方向绕行). [222222222221122()x y x y Q P y x xdy ydx I dxdy x y x y x y π+=+≤∂∂--==⇒===∂∂++⎰⎰⎰] 13. (10')计算曲面积分222()()x y z dydz x y z dxdy ∑++++⎰⎰, 其中 ∑ 为曲面: 22(04)z x y z =+≤≤, 取上侧. [22224(4)4(4)(3)64,728z x y z x y I x z dV I πππΩ=+≤=+≤+=-+=-=-⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰下侧下侧]14. (10')将函数21()32f x x x =++展开成(1)x -的幂级数, 并指出展开式成立的范围.[1101111()(1)()(1)(13)1224n n n n n f x x x x x ∞++==-=----<<++∑] 15. (8')求幂级数201(2)!!n n n x n ∞=+∑的收敛域及和函数, 并由此求级数201!n n n ∞=+∑的和. [22101111(,),()()()(24),(2)3(1)!2!24xn n n n n x x S x x x e S e n n ∞∞==-+Ω=-∞+∞=+=++=-∑∑]同济大学2010-2011学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 直线11211x y z -+==--与平面220x y z ++-=的夹角为6π.2. 向量函数222(,,)F x y y z z x =在点(1,2,1)-处的散度为2-.3. 质点在变力(,,)F yz xz z =-的作用下, 沿螺旋线:2cos ,2sin ,x t y t z t Γ===, 从点(2,0,0)M 运动到点(2,0,)N π-, 则变力F 所作的功为252π.4.闭区域22{}D x y =+≤, 则积分2275()2Dx y d σπ+=⎰⎰.5. 若级数0(1)n n n a x ∞=+∑在点32x =处条件收敛, 则该级数的收敛半径52.6. 函数2sin x 的麦克劳林展开式为12121(1)2(2)!n n nn x n --∞=-∑.7. 若1()sin nn S x bnx ∞==∑是函数()((0,))f x x x ππ=-∈的正弦展开式, 则()22S ππ-=-8. 设Ω是由22z x y =+与平面1Z =所围的有界闭区域,1Ω是Ω位于0,0x y ≥≥的部分, 则下列等式中正确的是C1:4A xdV xdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4B ydV ydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;1:4C zdV zdV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; 1:4D xydV xydV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.二. 解答题(68')9. (8')求曲线222222102x y z x y z ⎧++=⎨-+=-⎩在点(1,2,1)处的切线与法平面方程. [121,812208112x y z x y z ---==+-+=-] 10. (10')计算曲面积分2(2)x y dS ∑+-⎰⎰, 其中∑是球面2224x y z ++=被曲面.z =截下的较小部分的曲面.[2222222((1603x y I x y d ππθρ+≤=++==-⎰⎰⎰] 11. (10')将函数22()ln(1)xt f x x x e dt -=++⎰展开成x 的幂级数,并指出展开式成立的范围.[21111()(1)(),[1,1]!(21)n n n f x x x x n n n∞+==+--∈-+∑]12. (10')计算曲面积分2xzdydz ydzdx yzdxdy ∑++⎰⎰, 其中∑为曲面2221(0,0)x y z x z ++=≥≥取前侧.[2222219()(24xyD y I x yz dxdy x dxdy z π∑=++==⎰⎰⎰⎰]13. (10')计算三重积分(42)x y z dV Ω++⎰⎰⎰, 其中 Ω 是由曲面2221x y z +-=与平面 1,2z z ==所围成的有限闭区域. [222211214x y z I zdzdxdy π+≤+==⎰⎰⎰] 14. (10')()f x 是周期为4π的偶函数, 在[0,2]π上()2f x x π=-. 求该函数的傅里叶展开式, 并由此求级数的和211n n ∞=∑. [222118211()cos ,(,)(21)26n k f x x x k nπππ∞∞=-=+∈-∞+∞⇒=-∑∑] 15. (10')设()f x 为区间[,]a b 上的连续函数,且()0f x >,证明21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰[2()1()()()()()2()()b bb b b b aaa a a a f x f x f y dxdy dxdy dxdyb a f y f y f x ==+≥=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰]同济大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 极限22(,)(1,1)sin()lim 2x y x y x y→--=+.2. 若函数 (,)f x y 具有连续的偏导数, 且 (1,2)2,(1,2)1x y f f ==-, 则极限21(,1)(1,2)l i m31t f t t f t →+-=-.3. 由32210z x xyz ee --+-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的偏导数(1,1,1)11z x e∂=∂- 4. xoy 平面上曲线L 的方程为(,)0F x y =, 若将该曲线关于直线0y x +=对称得到曲线 'L , 则'L 的方程为(,)0F y x --=.5. 函数(,)f x y 在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? [ B ] :A 充分条件; :B 必要条件; :C 充分必要条件; :D 无关条件.6. 若常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列各项判断中正确的判断是: [ D ]21:nn A u∞=∑一定收敛; 1:nn u B n ∞=∑一定收敛; 1:n n C nu ∞=∑一定发散; :D 对于常数p , 如果1n n u ∞=∑收敛就可判断1np n u n∞=∑收敛, 必有1p >. 7. Ω是球体2222x y z R ++≤, 1Ω是球体Ω位于第一卦限内的部分(0,0.0)x y z ≥≥≥, 则积分23()x y z dv Ω++⎰⎰⎰等于 [ B ] 123:8()A x yz dv Ω++⎰⎰⎰; 12:8B y dv Ω⎰⎰⎰; 12:8()C x y dv Ω+⎰⎰⎰; 12:24D y dv Ω⎰⎰⎰.8. ∑是空间光滑的有向曲面片, Γ是与∑正向联系∑的有向边界曲线, 则由斯托克斯公式22(2)()()xz y dx xy z dy z x dz Γ+++++⎰等于 [ D ] :2A zdydz xdzdx dxdy ∑++⎰⎰; 22:(2)()()B xz y dydz xy z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰; :(21)C z x d S ∑++⎰⎰; :2(1)D zdydz y dxdy ∑-+-⎰⎰.二. 解答题(6'212⨯=)1. 求曲线 23322030x yz x y z ⎧--=⎨+--=⎩ 在(1,1,1)-点的切线方程. [111571x y z --+==-] 2. 计算Dxydxdy ⎰⎰, 其中D是由y =y =所围成的有界闭区域. [196I =] 三(8')求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值, 并说明是极大还是极小值.[min 11(0,)f ee=-] 四(8')已知()f x 是[0,]π上的连续函数, 若将()f x 分别展开成周期为2π的傅里叶余弦和正弦级数, 它们分别为余弦级数01cos 2n n a a nx ∞=+∑; 正弦级数1sin n n b nx ∞=∑. 试写出系数 n a 与n b 的计算公式, 并求函数()0(),10f x x F x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩周期为2π的傅里叶级数.[略] 五(10')3=上的点(,,)(0)x y z xyz ≠, 使得该点处的切平面与三个坐标平面所围四面体的体积最大. [体积V =max 111(1,,)498V ⇒=] 六(10')如果曲线积分22(1)(2())Lx y y dx xy x dy ϕ+++-⎰与路径无关, 其中()x ϕ是可导函数, 并且满足(0)1ϕ=, 求函数()x ϕ, 并计算积分22'(1)(2())L x y y dx xy x dy ϕ+++-⎰,其中'L 是沿曲线2x y xe =从(0,0)到(1,)e 的弧段.[31()13x x ϕ=-+2'213L e e ⇒=+-⎰]七(10')∑是由曲面1z =223()1z x y =+-所围立体的边界曲面, 它的法向指向曲面的外侧, 计算曲面积分32221()(2)()3x yz dydz xy y z dzdx x y z dxdy ∑+++++⎰⎰. [22112220312(22)5I x x yz y dv d d dz πρρθρρρπ+-Ω=+++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰]八(10')求幂级数3111()(1)3nn n x n ∞=+-∑的收敛域及其和函数. [333(1)[0,2);()ln[1(1)]3(1)x S x x x -Ω==----- 九(8')判别常数项级数111121n na∞+++=∑的收敛性(0)a >, 并对自己的判断给出证明.[111ln ln 1ln ln 2111ln 11ln 1:2a nn a nn n a n a a a n a e na++++<+++<+⇒>=<<=⇒>收敛]同济大学2012-2013学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'8⨯)1. 经过三点(1,1,3),(2,1,4),(3,0,1)A B C -的平面方程为543180x y z -+-=;点(2,0,1)到该平面的距离为2.2. yoz 平面上的直线2z y =-+绕着z在二次曲面中, 该曲面的类型是 圆锥面 .3. Ω是上半球体 22210x y z z ⎧++≤⎨≥⎩, ∑ 是 Ω 的边界曲面外侧, 1∑ 是上半球面2221,0x y z z ++=≥ 的上侧, 则利用高斯公式计算可得24()(2)(1)3x y d y d z y z d z d x x z d x d yπ∑-+++-+=⎰⎰;积分127()(2)(1)3x y dydz y z dzdx x z dxdy π∑-+++-+=⎰⎰.4. (1,2,2),(4,5,2)A B --是空间两点, L 是以,A B 为两端点的直线段, AB L 是以A 为起点 B 为终点的有向直线段,则1;14ABLL ds dz ==⎰⎰.5. D 是由曲线22y x =与3y x =-所围的有界闭区域, 则积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰等于 [ A ]()A 213322(,)xx dx f x y dy --⎰⎰; ()B 212332(,)x xdx f x y dy --⎰⎰;()C 9223(,)ydy f x y dx -⎰; ()D 9322(,)y dy f x y dx -⎰.6. 积分222211()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 222222,0()x y y I x y dxdy +≤≥=+⎰⎰, 224431()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰,223341()x y I x y dxdy +≤=+⎰⎰, 则有 [ D ]1234()A I I I I >>>; 1243()B I I I I >>>; 4321()C I I I I >>>; 2134()D I I I I >>>.7. xoy 平面上密度为(,)x y μ的薄片D 对z 轴上位于(0,0,2)-点单位质点的引力为 (,,)x y z F F F F =, G 是引力常数, 则 [ B ] 32222(,)()()z DG x y A F dxdy x y z μ=++⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y B F dxdy x y μ=++⎰⎰;32222(2(,)()[(2)]z D G z x y C F dxdy x y z μ⋅-=++-⎰⎰; 32222(,)()(4)z DG x y D F dxdy x y μ-=++⎰⎰. 8. ∑是抛物面222,0z x y z =--≥的上侧, 则由两类曲面积分的联系,(,,)(,,)(,,)P x y z d y d z Q x y z d z d x R x y z d x d y ∑++⎰⎰等于 [ C ]()(22)A P x Q y R d S ∑⋅+⋅+⎰⎰;()B ∑;()C ∑;()D ∑.二. (4'3⨯)1. 试求曲线21ln(1),t x t y t z e-==+=在参数1t =所对应点的切线与法平面方程.[1ln 21,426ln 20412x y z x y z ---==++--=] 2. 试求由方程3222xz z xy +-=所确定的函数(,)z z x y =在(1,1,1)点的全微分(1,1,1)dz . [(1,1,1)1255dz dx dy =-+] 3. 占有上半圆224,0x y y +≤≥的薄片面密度为2(,)()1x y x y μ=++, 试计算该薄片的质量. [2[()1]6DM x y dxdy π=++=⎰⎰]4. 将函数21()6x f x x x -=--展开成1x +形式的幂级数.[0311131()[(1)](1),11151110510414n n nn f x x x x x ∞==⋅-⋅=--++<+++⋅-∑] 5. 将函数0,02()22x f x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩展开成周期为2π的余弦级数.[141sin cos 2n n nx n ππ∞=-+∑]三. (8')求幂级数202(1)(1)n nn n x ∞=+-∑的收敛区间与和函数.[2211()2[12(1)]x s x x -<=--] 四. (10')Ω是由曲面z =以及2z =所围成的立体, 其体密度为22x y μ=+.(1)计算Ω关于z 轴的转动惯量;(2)试写出Ω关于平行于z 轴的直线0;1x x y ==转动惯量的计算公式(无需计算) [22222220128();()[()(1)]21z l I x y dv I x y x x y dv πΩΩ=+==+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰] 五. (10')任意取定球面22228x y z ++=上一点并且任意给定一个方向, 都可以求出函数 2(23)u x y z =++在给定点沿给定方向的方向导数, 试求出所有这些方向导数中的最大 与最小值.[222223,(23)(28)gradu y z L x y z x y z λ=++=+++++-max min (P gradu gradu ⇒=±±==-六. (10')已知222222ax by x ydx dy x y x y +++++是某个二元函数的全微分. (1)试求出常数,a b ;(2)计算积分222222Lax by x y dx dy x y x y+++++⎰, 其中L 是逆时针方向的曲线221x y +=.[2221(1)2,1;(2)(2)()Lx y a b x y dx x y dy +===-=-++=⎰⎰]七. (8'){}n u 是斐波那契数列: 1,1,2,3,5,8,13,21,, 即12111,1,n n n u u u u u +-===+,2,3,n =, 试分析级数11n nu α∞=∑的收敛性, 其中α是实常数. [11113312,2(),()2223n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u -++><⇒>+=>< 0α⇒≤时,级数显然发散;0α>时,级数收敛]同济大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 以空间三点(2,3,1),(1,2,3),(0,1,2)A B C ----为顶点的三角形面积2A =.2. 两平面20x y z --=与223x y z ++=的夹角余弦cos 6θ=.3. 曲面2:ln(21)z x y ∑=-+在(2,2,0)的法线方程为22421x y z--==--.4. D 是以(1,1),(1,1)-以及(1,1)--为顶点的三角形闭区域, 则积分3(2)4Dxy dxdy -=-⎰⎰5. 函数(,)f x y 具有连续的偏导数, 已知//(,)0,(,)0x y f x y f x y <>, 如果(1,1)a f =,(1,1)b f =- (1,1)c f =--,(1,1)d f =-四个数中最大的数是M , 最小的数是m , 则有 【D 】 (),A M a m d ==; (),B M c m a ==; (),C M d m b ==; (),D M b m d ==.6. 将110(,)xdx f x y dy ⎰⎰化成极坐标的二次积分式时, 下列正确的是 【C 】2c o s2()(cos ,sin )A d f d πθθρθρθρρ⎰⎰c o s20()(cos ,sin )B d f d πθθρθρθρρ⎰⎰;2s i n204()(c o s ,s i n )C d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰; sin 204()(cos ,sin )D d f d πθπθρθρθρρ⎰⎰.7. Ω是由圆锥面z =与半球面z =所围的空间立体, 则将积分22(,)I f xy z dxdydz Ω=+⎰⎰⎰化成柱面坐标计算时, 下面正确的三次积分式是 【C 】22200()(,)A d d f z dz πρθρρρ⎰⎰; 2220()(,)B d d f z dz πρθρρρ⎰⎰;22()(,)C d f z dz πρθρρρ⎰; 220()(,)D d f z dz πρθρρρ⎰.8. 已知0(1,2,3,)n u n ≤=, 则1n n u ∞=∑发散的充分必要条件是 【A 】1()l i m nk n k A u →∞==-∞∑; ()lim n n B u →∞=-∞; ()C {}n u 是无界数列; 1()limnkn k D u→∞==+∞∑.二. 计算下列各题(6'530'⨯=)1. 在经过点(1,0,2)-的平面与球面222(1)(1)12x y z +-++=相交的所有圆弧中, 求出圆 弧长度的最小值. [6π] 2. 求函数2ln (1)yz x =+的全微分(1,)e dz . [122ln 2dx e dy -+]3. 计算22()Dx y x dxdy +-⎰⎰, 其中D 是由224,x y y x +≤≥确定的扇形区域. [2π] 4. L 为平面内光滑的简单闭曲线, 并取正向, 求曲线积分2323(s i n )()y Ly y x d x e x d y -++-⎰的最大值. [2222331(133)6x y I x y dxdy π+≤≤--=⎰⎰]5. 判断级数111(cos )nn e n ∞=-∑的收敛性, 并给出判断理由. [1n u n发散] 三. (10')求由方程221z xz x y e --+=所确定函数(,)z z x y =的偏导数(1,1,1)(1,1,1),z zx y ∂∂∂∂以及 二阶偏导22(1,1,1)zy∂∂. [22(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)111,,39z z zx y y ∂∂∂===-∂∂∂]四. (10')Γ是曲面2z xy =与柱面1x y +=的交线, 从z 轴正向看向z 轴的负向, 曲线Γ 是顺时针方向的, 计算曲线积分23(2)(3)(23)x yz dx xy x z dy x y dz Γ-++++++⎰.[22(33)31xyD I xy dxdy x dxdy ∑=+=-=-⎰⎰⎰⎰]五. (10')求幂级数021n nn x n ∞=+∑的收敛域, 以及该幂级数在收敛域内的和函数. [111()ln(12),[,0)(0);(0)1222S x x x S x =--∈-=] 六. (8')计算222(2)(2)zxy dydz x e dzdx x z y dxdy ∑++++⎰⎰, 其中∑是曲面z =位于02z ≤≤的部分, 曲面法向与z 轴正向的夹角为钝角. [645π-] 七. (8')()[0,]f x C π∈, 已知()f x dx ππ=⎰, 求常数12,,,n c c c , 使得积分21[()c o s ]nk k f x c k x d x π=-∑⎰取得最小值, 并说明1lim cos ()nk n k c kx F x →∞==∑在[,]ππ-上的函数表达式. [0()102()cos ,(),()10k f x x c f x kxdx F x f x x ππππ-≤≤⎧==⎨---≤<⎩⎰]同济大学2014-2015学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知三向量:(2,1,1),(1,3,1),(1,,2)a b c y =-==-共面, 则常数2y =.2. 设(,)sin(23)f x y x y =+, 则极限0(2,)(,)lim 4cos(23)x f x x y f x y x y x∆→-∆-=-+∆.3. 已知可微函数(,)f x y 的偏导数(1,1)(1,1)1,2f fx y --∂∂==∂∂, 则函数(,)g x y =2(32,3)f x y x y --+在(,)(1,2)x y =点对变量y 的偏导数(1,2)6gy∂=∂.4. 已知连续函数22(,)(,)Lf x y x y f x y ds =+-⎰, 其中L 是上半圆周222,0x y r y +=≥,则322(,)1r f x y x y rππ=+-+.5. 设D 是由22222,4x y x x y +≥+≤所确定的平面闭域, L 是D 的正向边界, 则积分222(2)(2)6x Ly e xy dx x xy x dy π++++=⎰.6. 设D 是平面闭域: 22,x y y y x +≤≥. 则将二重积分22()DI f x y dxdy =+⎰⎰化为极坐标下的二次积分时, I 等于 【A 】s i n2204()2()A d f d πθπθρρρ⎰⎰; 32sin 244()()B d f d πθπθρρ⎰⎰;12()()C d f d πθρρρ⎰⎰; 3sin 244()2()D d f d πθπθρρρ⎰⎰.7. 已知常数项级数1nn u∞=∑收敛, 则下列收敛的级数是 【C 】21()nn A u ∞=∑; 11()n n n B u u ∞+=∑; 11()2n n n u u C ∞+=+∑; 1()(1)nn n D u ∞=-∑.8. 设1nn n a x∞=∑的收敛半径为0,1R ≠, 则231()nn n n a xx ∞=+∑的收敛半径为 【D 】(A(B ; ()C ;()D .二. 计算下列各题(6'424'⨯=)1. 求曲面2arctan 1xz y -=在(1,0,1)点的切平面与法线方程. [(1,1,2)n =-]2. 22(,)(1)yf x y x =+,当ρ=充分小时, 求(1,1)f x y +∆+∆的一阶近似值 a b x c y +∆+∆, 即(1,1)()f x y a b x c y +∆+∆-+∆+∆是ρ的高阶无穷小()o ρ. [488ln 2x y +∆+∆] 3. 计算曲面:12z xy ∑=-位于222,0x y y +≤≥部分的面积. [136π] 4. 设()f x 是(,)-∞+∞上的连续函数, 记002()a f x dx ππ=⎰, 02()cos n a f x nxdx ππ=⎰,2()s i n n b f x n x d xππ=⎰. 求出三角级数的和函数01()(cos sin )2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 在(,]ππ-上的表达式. [2()0(),,(0)(0),()()00f x x S x S f S f x ππππ<<⎧===⎨-<<⎩] 三. (8')在平行六面体ABCDEFGH 中, 已知(1,1,2),(2,1,1),(1,2,0),(3,0,2)A B C H ---- 求(1),,D E G 点的坐标; (2)该平行六面体的体积. [(2,0,3),(6,1,3),(4,2,5);10V ----=] 四. (10')已知曲线积分22()()Lx ay dx x y dyx y ++++⎰在不包含x 轴负半轴的区域内与路径无关. (1)求常数a ;(2)计算上述积分,其中是上半平面从(1,0)到(0,1)的光滑曲线段331x y +=. [1;2a I π=-=]五. (10')计算曲面积分222()()(1)xy yz dydz x y z dzdx yz dxdy ∑++-++⎰⎰, 其中有向曲面 22:(1)z x y z ∑=+≤的法向与z 轴的夹角是钝角. [56π-]六. (10')求幂级数30(1)21n n n n x n ∞=-⋅+∑的收敛域与和函数.[331()ln(12),2S x x x x =+<七. (14')(1)如果直线l 与直线'l 的夹角为(0)2πθθ<<, 相距为0a >. 判别直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑的类型并给出判别的理由; (2)若直线l 的方程为:132212x y z ++-==, 直线'l 的方程为213431x y z ---==-, 试求由直线'l 绕直线l 旋转所得曲面∑以及相距 为2且垂直于直线l 的两平面所围立体体积的最小值. [(1)单叶双曲面;(2)''3,cos ll ll d θ==取222104:925(11),3x y z z V π∑+=+-≤≤=]同济大学2015-2016学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空题(4'832'⨯=) 1. 设cosy xu xe =, 则(1,)2(1)2du dx dyππ=+-.2. 设曲面10xy yz zx ++-=在点(1,2,3)M --处的法向量为n , 其与z 轴正方向的夹角为 锐角, 则函数23ln()z xy y e ++在点(1,2,3)M --处沿n方向的方向导数为5.3. 交换二次积分的次序1221022112(,)(,)(,)yx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy--+=⎰⎰⎰.4. 设空间立体Ω由平面0,1z z ==以及曲面22231x y z +-=所围成, 则三重积分3333()4x y z dv πΩ++=⎰⎰⎰.5.设曲线:(01)L y x ≤≤, 则曲线积分2()12Lx y ds π+=+⎰.6. 设在平面上, 曲线积分33()()4xx x xLa ee dy y e e dx π--+-+⎰与路径无关, 则常数 12a π=-.7.设无穷级数1(1)nn ∞=-∑, 则k 的最大取值范围是12a k =>.8. 设102()2,2x f x x x ππππ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩, 将()f x 展开为正弦级数1sin n n b nx ∞=∑, 若该级数的和函数为()s x , 则53()24s π-=-.二.(10')设(,)z z x y =是方程22222880x y z yz z +++-+=确定的隐函数, 且(0,2)1z -=, 求22(0,2)(0,2)z zx x --∂∂∂∂，. 【22(0,2)(0,2)415z zx x --∂∂=∂∂=0，】三.(10')在椭圆锥面1z =xoy 面所围成的空间闭区域中放置一个长方体, 它 的各个侧面均平行于坐标面, 求该长方体的最大体积.【222max 114,2(1),33327V xyz x y z x y z V =+=-⇒===⇒=】 四.(10')计算三重积分z Ω-⎰⎰⎰, 其中Ω是由0,1z z ==所围成的闭区域.【21211()()1243I d d z dz d d z dz πρπρπππθρρρθρρρ=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰】五.(10')求曲线积分222(1)(12)y y Ly e dx x y e dy +++⎰, 其中L 为从(0,0)O 沿曲线x =(1,1)A 的有向弧段. 【01(1)(1)014DI d e dy e πσ=--+-=+-⎰⎰⎰】六.(10')计算曲面积分2332()(2)()y x e dydz y yz dzdx z y dxdy ∑-+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面z =位于0z =与1z =之间的部分的下侧.【0222373()()1010I x y dv z y dxdy πππ∑+∑∑Ω∑=-=+--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰】 七.(10')求幂级数131nn n n ∞=⋅+∑的收敛半径与和函数.【213111,()ln(13),(,)313333x R s x x x x x ==++-∈--】八.(8')设级数1[ln ln(1)ln(3)]n n a n b n ∞=++++∑收敛, 求常数,a b .【310312(1)ln 0()3012n a a b a b u a b n a b n n b ⎧=-⎪++=⎧+⎪=++++⇒⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩】同济大学2016-2017学年第二学期高等数学B(下)期终试卷一. 填空选择题(3'824'⨯=)1. 已知直线L 过点(1,2,3)M -, 与z 轴相交, 且与直线1332:232x y z L ---==-垂直, 则直线L 的方程为123122x y z +--==--.2. 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)P -处的梯度为244(,,)999-.3. 设2sin (,)1xytf x y dt t=+⎰, 则22(0,2)4f x ∂=∂.4. 设(,)f x y 连续,化二次积分1201(,)xdx f x y dy -⎰⎰为极坐标形式的二次积分:22s i n 42c o s s i n4(c o s ,s i n )(c o s ,s i n )d f d d f d ππθθθπθρθρθρρθρθρθρρ++⎰⎰⎰⎰.5. 设空间立体Ω由平面0,0,0,1x y z x y z ===++=围成, 则三重积分1(253)6x y z d v Ω+-=⎰⎰⎰.6. 无穷级数11133ln32n n n ∞-==⨯∑.7. 设级数1nn a∞=∑收敛, 则下列必收敛的级数是 [ D ]11:(1)n n n a A n ∞-=-∑; 21:n n B a ∞=∑; 2211:()n n n C a a ∞-=-∑; 11:()n n n D a a ∞+=+∑.8. 若幂级数1nn n a x∞=∑在2x =-处条件收敛, 则21(1)nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 [ D ]:(2,2)A -;:(B ; :(1,3)C -;:(1D +.二.(8'216⨯=)9. 设函数3222222,0(,)00x yx y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩, 求(0,0)yx f . [1]10. 求曲面222x z y =+上平行于平面224x y z +-=的切平面方程. [223x y z +-=]三.(10')计算二次积分112201x xdx dy x y ++⎰⎰.[13(ln )222π+]四.(10')计算曲线积分224Lydx xdy x y-+⎰, 其中L 是正向圆周229x y +=. [π-]五.(10')求曲面22z x y =-夹在圆柱面222x y +=及226x y +=之间的曲面面积, 并求相 应的形心坐标(其中曲面的密度1ρ=). [49,(0,0,0)3A M π=]六.(10')计算曲面积分22232()()()y xy e dydz yz z dzdx zx xy dxdy -+-+-⎰⎰, 其中∑为曲面22(1)z x y z =+≤的下侧. [6π]七.(10')将函数22134x x x ++-展开成2x +的幂级数, 并指出相应的收敛范围. [2102111(1)7[](2),4034532n n n n n x x x x x ∞+=+-=-++-<<+-∑]八.(10')设函数()g x 是(,)-∞+∞上周期为1的连续函数, 且1()0g x dx =⎰, 函数()f x 在区间[0,1]上有连续的导数, 记1()()n a f x g nx dx =⎰, 证明: 级数21n n a ∞=∑收敛.[0()()xG x g t dt =⎰,110011()()()'()n a f x dG nx G nx f x dx n n ==-⎰⎰,22n M a n≤]。

复变函数与积分变换复习资料填空题：1. 设100)1(i z -=，则=z 。

2. 4)1(i -的值是 。

3. 22+=-z i z 所表示的曲线的直角坐标方程是 。

4. 12)3(i -的值是 。

5. 设i z i e -=，则=z Re 。

6. 在复平面上，函数)2()(222y xy i x y x z f -+--=在 上可导。

7. 当=a 时，xytg i y x a z f arg )ln()(22++=在区域0>x 内是解析函数。

8. 函数z z f arg )(=在 上不连续。

9. 设21)(z ez f =，C 为正向圆周1=z ，则积分=⎰C z dz e21。

10. 设⎰=-=23sin)(ζζζζπd zz f ，其中z 不在2=ζ上，则=-')(i f 。

11. 设函数)(1)(i z z z f -=，则)(z f 在孤立奇点i z =的（最大的）去心邻域 内可展开成罗朗级数。

12. 罗朗级数∑∞-∞=--n n nz )1(3的收敛域为 。

13. tgz z f =)(在0=z 处的泰勒展开式的收敛半径为 。

14. 设)1(1)(z z z f -=，则)(z f 在10<<z 内的罗朗展开式是 。

15. 设C 为正向圆周1=z ，则积分=⎰dz eC z 21。

16. 设函数)1(sin )(-=z z zz f ，则[]=0),(Re z f s 。

17. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++i z z ze s iz,)4)(1(Re 222 。

18. 设C 为正向圆周1=z ，则积分=-⎰C zdz ze 2cos 1 。

19. 3+2i 关于圆周21=-z 的对称点是 。

20. 设z z z w Im Re -=，则='w 。

21. 映射iz iz w +-=在i z =处的旋转角为 。

22. 函数z e w =缩小了Z 平面上的 。

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高等代数与解析几何同济答案【篇一：大学所有课程课后答案】资料打开方法：按住 ctrl键，在你需要的资料上用鼠标左键单击资料搜索方法：ctrl+f 输入关键词查找你要的资料【数学】?o?o?o?o?o?oo ? o ? o ? o ? o ? o ? o ? o ??o?o? 习题答案 o?o?o ??o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o?o【计算机/网络/信息】 ?oo?o?o?o【经济/金融/营销/管理/电子商务】 ?o?o?o?oo ? o ? o ? o ? o ? o ? o ? o 【o?o?o?o?o?o?【篇二：各门课程课后答案】式]《会计学原理》同步练习题答案[word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [word格式]《成本会计》配套习题集参考答案[word格式]《实用成本会计》习题答案[word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年）[jpg格式]会计从业《基础会计》课后答案[word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先） [word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什）[word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 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高师理科学刊Journal of Science of Teachers' College and University 第41卷第1期2021年 1月Vol. 41 No.1Jan. 2021文章编号：1007-9831 (2020) 01-0056-03复变函数的反常积分苏新卫，翟羽(中国矿业大学(北京)理学院，北京100083)摘要：复变函数积分是复变函数论课程的重要内容之一，当积分路径是复平面上的光滑曲线，被 积函数在积分路径上连续时，复变函数积分存在且可以化为定积分.应用无界函数的反常实积分， 给出光滑曲线上复变函数反常积分的定义，并举例判断积分的收敛性.关键词：复积分；反常积分；定积分中图分类号：O172.2 : G642.0 文献标识码：A doi ： 10.3969/j.issn.1007-9831.2021.01.014Abnormal integral of complex variable functionsSU Xinwei, ZHAI Yu(School of Science , China University of Mining and Technology (Beijing), Beijing 100083, China )Abstract : The integral of complex variable functions is one of the important contents of the course of complex function theory. When the integral path is a smooth curve on the complex plane and the integrand is continuous on the integral path, the complex integral exists and can be converted into definite integral. By the abnormal real integral of unbounded function , the definitions of abnormal integral of complex variable functions on smooth curve are given. Some examples are presented to judge their convergences.Key words : complex integral ; abnormal integral ; definite integral复变函数积分作为复变函数论课程的重要内容之一，积分公式是多种多样的［1-6］.若积分路径是复平面 上光滑曲线，被积函数在积分路径上连续，则积分存在且可化为定积分计算.设C 是复平面上从点A 到点 B 且参数方程为z(t) = x(t) + iy(t)的光滑有向曲线，函数f ⑵=u(x , y ) + i v (x , y)在C 上连续，贝VJ c f (z )d z = J a f (z(t ))z '(t )d t = J a (u(x(t ), y(t)) + iv(x(t), y(t)))(x'(t ) + i y '(t ))d t其中：积分下限a 是起点A 对应的参数t 值；积分上限b 是终点B 对应的参数t 值.类似于实积分，学生初学复变函数积分过程中容易出现疑问：函数f (z )沿C 可积的必要条件为f (z )沿 C 有界，那么f (z )沿C 无界时是否可以定义一种广义积分.针对这种疑问，根据多年复变函数论课程教学 经验，受高等数学教材及有关文献中无界函数反常实积分的启发，给出当f (z )沿C 无界时反常积分的定义 ，并说明定义的合理性，然后应用定义举例判断积分［7-9］的收敛性，旨在拓宽学生解题思路，并为复变函数 论课程的教学提供一些参考.1反常复积分把无界函数的反常实积分推广到复变函数的情形.设C 是复平面上起点为A 终点为B 且参数方程为收稿日期：2020-07-14基金项目：中国矿业大学(北京)课程建设与教改项目(J190806, J190812)作者简介：苏新卫(1971-),女，山东宁津人，副教授，硕士，从事复变函数及微分方程研究.E-mail ： *************第1期苏新卫，等：复变函数的反常积分57z(t) = x(t) + iy(t), t & [a, b]的光滑有向曲线，不失一般性，不妨假设C 的正方向和参数t 增加的方向一致， 并记 f (z(t)) = U (t ) + iV (t ), t e [a , b ].定义1设函数f (z )在C 上除去点A 外连续，f (z )沿路径C 在点A 的邻域内无界，对于e> 0，如果 极限lim 「f (z(t ))z'(t )d t 存在，则称此极限值为函数f ⑵在C 上的广义积分，即f f (z)dz =e ® +0 J a + eJ C l ®+0 f f (z (t ))z(t )d t ，此时称积分 f c f (z )d z 收敛.若极限 1i n +o f ^+e f (z (t ))z ，(t )d t 不存在，则称积分 f ©f (z )d z 发散.定义2设函数f (z )在C 上除去点B 外连续，f (z )沿路径C 在点B 的邻域内无界，对于1> 0，如果 极限lim 广1 f (z (t ))z\t )d t 存在，则称此极限值为函数f (z )在C 上的广义积分，即f f (z )d z = e ® +0」a J C lim 「’f (z (t ))z(t )d t ，此时称积分f f (z )d z 收敛.若极限lim P ' f (z (t ))z '(t )d t 不存在，则称积分 1®+0J a J C e ® +0 J af C f (z )d z 发散•定义3设函数f (z )在C 上除去内部点M 外连续，点M 对应的参数t = c ，f (z )沿路径C 在点M 的邻域内无界，对于e > 0，如果极限lim 「"f (z (t ))z ' (t )d t 和lim 「f (z (t ))z'(t)dt 都存在，则定义f f (z)dz =1®+OJ a 1®+OJ c +1 J C lim 「’f (z (t ))z '(t )d t + lim 「f (z (t ))z '(t )d t 为函数f ⑵在曲线C 上的广义积分，此时称积分f f (z )d z 收1®+0 a 1®+0 c +1C 敛 否则，称积分f C f (z )d z 发散.注1定义1~2是合理的，不失一般性，只说明定义1的合理性.事实上，如果函数f (z )在C 上除去 点A 外连续，f ⑵沿路径C 在点A 的邻域内无界，则有U(t ), V (t )在(a , b ]上连续，在a 的右邻域内至少 有一个无界.注意到函数f (z )在C 上连续时，有f C f (z)dz = f J (z (t )) z (t )d t = f b (U (t ) + i V (t ))( x - (t ) + i y(t )) d t =f b (U (t ) x '(t ) - V (t ) y -(t ) )d t + i f b(U (t ) y -(t ) + V (t ) x '(t) )d t 且x'(t)及y'(t )在[a , b ]上连续有界，根据无界函数反常实积分的定义可知，如果极限lim f ^(U(t )x '(t )一 V (t )y '(t ))d t + i lim f ^(U (t )y'(t ) + V (t )x(t ))d t即 f 1m i 0f b +1 f (z(t ))z '(t )d t 存在，则可说明积分 f ：(U (t )x '(t )-V(t )y (t ))d t + i f b (U(t )y (t ) + V (t )x '(t )))d t 即 f C f (z )d z 收敛，故定义1是合理的.注2如果被积函数f (z )在C 上除去有限个点外连续，则当f (z )沿路径C 有界时，也可以应用定义 1~3中的方法计算积分.2应用举例例1计算积分f C 晋h ，C 是起点为z i = 0,终点为z 2 = i 的直线段.解 复变对数函数的主支ln (z ) = ln (|z |) + iarg z 是单值函数，其中： -n < arg z £ n .由于arg z 在原点和 负实轴上不连续，ln (z )在原点和负实轴上不连续，从而皿引在C 上的点z = 0不连续，并且四沿路径zzC 在z = 0的邻域内无界，因此按定义1计算积分f c罟d z . C 的参数方程为z (t ) = i t , t e [0, 1]，对于 1> 0，有f 1 =f 1( t %=2(ln (t ))[+1 鈔(t )i 1=-2(ln (1)『-i 評(1) ⑴58高 师 理 科 学 刊第 41 卷显然，当e ® 0时，式(1)极限不存在，所以积分J c 罟d z 发散.例2计算积分J c|d z ，C 是起点为勺=-1 - i ，终点为z 2 = 0的直线段.解 由于1在C 上的点z = 0处不连续且沿路径C 在z = 0的邻域内无界，因此用定义2计算该积分.Cz的参数方程为z (t ) = t + i t , t g [-1, 0]，对于e 〉0，有J 1 —1—(1 + i)d t = ln (t )| 1 = ln(-e ) 一 ln(-1) = ln (e ) + in 一 ln (1)- in = ln (e ) (2)当e ®0时，积分(2)极限不存在，所以积分Jc |d z 发散.例3计算积分J cln (z )d z ，C 是起点为z 1 =-i ，终点为z 2 = i 的直线段.解 注意到ln (z )在C 上的点z = 0处不连续且沿路径C 在z = 0的邻域内无界，因此用定义3计算积分 J C In (z )d z - C 的参数方程为 z (t ) = i t , t g [-1, 1]，对于 e > 0，有J :iln(i t )d t =i J ：]ln (t ) + i -2* = i t ln (t )|： -i(1 -e )-^-(1 -e )= -i e ln (e )-i(1 -e )-^-(1 -e ) (3)J ；iln (i t )d t =i J ；]ln(-t )-i -2^d t =i t ln (-t )| -i(1 -e ) + -2-(1 -e )= -i e ln (e )-i(1 -e ) + 2(1 -e )(4)求积分(3)〜(4)两端当e ® 0时的极限，再求和可得J cIn (z )d z = -2i .•xy 已知 f (z ) = ] x 2 + y 2z 丰0例4C 是从z 1 =-1+i 到原点，然后再从原点到z 2 = 1 + i 的折线段，计算0 z = 0积分 J Cln (z )d z -解 由于f (z )在C 上有不连续点z = 0，f (z )沿着C 在z = 0的邻域内有界，由注2可知，可按定义3 计算积分J © !n (z )d z - C 上从可=-1+i 到原点一段的参数方程为z (t ) = t - i t , t g [-1, 0]，从原点到z ? = 1 + i一段的参数方程为z (t ) = t +i t , t e [0, 1].对于e >- -t 2 1 1120，有J 二市d-i )d t —JDd-e )，J e k (1+i)d t =2(1+i)(1 -e )，所以积分 J cIn (z )d z 收敛，且 J c f (z )d z = i .3结语本文给出了复变函数反常积分的定义，是实函数的无界函数反常积分到复变函数的推广.在计算沿着 指定路径的复变函数积分时，首先应判断被积函数在积分路径上的有界性、连续性及解析性，从而正确地 选用不同的方法进行计算.在复变函数反常积分中，牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法仍然 成立，这里不再赘述.参考文献：[1]孙立伟，王晓华，张志旭.复变函数积分教学方法的探讨[J].高师理科学刊，2018, 38 (4)： 60-63, 77[2]薛宾.关于复变函数积分的计算方法探讨[J].数学学习与研究，2017 (22)： 3, 5[3]刘卉.复变函数中闭曲线积分的类型及求法归纳[J].课程教育研究，2018 (44)： 235[4]邓冠铁.复变函数论[M].北京：北京师范大学出版社，2013[5]李红，谢松法.复变函数与积分变换[M] 5版.北京：高等教育出版社，2018[6]钟玉泉.复变函数论[M]. 3版.北京：高等教育出版社，2004[7]同济大学数学系.高等数学(上册)[M] 6版.北京：高等教育出版社，2007[8]李凤彦，戚晓秋.一个瑕积分的三种解法及推广[J].大学数学，2015, 31(6)： 104-106[9] 龙爱芳.关于反常积分敛散性的一个判定方法[J].高等数学研究，2019 (6)： 52-53, 60。

复变函数中解析函数的理论分析及应用【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。

【关键词】解析函数；解析；复变函数0 前言复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。

而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用，解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。

1 解析函数的概念如果函数f（z）不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任意一点可导，则称f（z）在z0解析。

如果f（z）在区域D内的任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。

注：1）如果f（z）在区域D内解析，那么D内每一点都是它的内点，从而D是开区域。

2）如果说函数f（z）在闭圆盘z≤1上解析，指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。

3）f（z）在z0解析，则f（z）在z0可导；f（z）在z0可导，则f（z）在z0不一定解析。

但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。

4）一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。

2 函数解析的判定2.1 根据解析函数的定义判定要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。

例：因为f（z）=z2在整个复平面上处处可导，且f’（z）=2z则由解析的定义知f（z）在整个复平面上解析。

2.2 根据初等函数的解析性判定若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性进行判定1）指数函数ez在整个复平面上解析；2）对数函数Lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析；3）幂函数zα，α为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；α为负整数时，幂函数在除原点外的复平面上解析；α为既约分数、无理数、虚数时，在除去原点和负实轴的复平面上解析。

4）sinz，cosz在整个复平面上解析；tanz，cotz，secz，cscz在各自的定义域内解析5）shz，chz在整个复平面上解析。

《复变函数》课程教学大纲（Functions of One Complex Variable）一、课程编号：040419二、课程类型：限选课学时/学分：32/2适用专业：工科各类专业先修课程：高等数学三、课程性质与任务本课程是一门基础数学必修(或限选)课。

它是继工科高等数学课程之后的又一门数学基础课。

通过本课程的学习，学生不仅能学到复变函数的基本理论和方法，同时还可以巩固和复习工科高等数学的基础知识，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础，并从中培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力与数学运算能力。

四、教学主要内容及学时分配主要内容：1.复数与复变函数复数的各种表示方法及其运算，复变函数的概念，复变函数的极限、连续的概念。

2. 解析函数复变函数导数、复变函数解析的概念，复变函数解析的充要条件，初等解析函数（指数函数、三角函数、对数函数、幂函数）的定义及主要性质。

3.复变函数的积分复变函数积分的定义及其性质，复变函数积分的计算，柯西－古萨积分基本定理，柯西积分公式与高阶导数公式，解析函数具有无限次可导的性质。

调和函数的概念及其与解析函数的关系，共轭调和的概念。

4. 级数复数项级数收敛、发散与绝对收敛等概念，幂级数收敛圆的概念以及简单的幂级数收敛圆半径的求法，幂级数在收敛圆内的一些基本性质。

泰勒定理，几个初等函数如z e ,z sin 、)1ln(z +、n z )1(+的麦克劳林展开式。

罗朗级数的概念及其收敛域特征，函数在其孤立奇点附近展开为罗朗级数。

5. 留数孤立奇点的概念、分类及判别方法，留数的概念及计算留数的法则和留数定理，利用留数求一些特殊类型的实函数积分值。

6. 共形映射共形映射的概念。

五、教学基本要求1.掌握复数的代数运算，三种表示方式以及相互之间的转换。

了解区域和复变函数的概念，以及复变函数的极限和连续的概念，掌握它们的基本运算性质。

2.掌握解析函数的概念以及复变函数解析的充要条件，并熟练掌握几类初等函数的性质及相关运算。

文献综述复变函数解析的判定及其应用一、 前言部分为了使负数开平方有意义，16世纪中叶意大利数学家卡尔丹引进了虚数，再一次扩大了数系，使实数域扩大到复数域。

关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉（Euler ）作出的，他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上。

用符号“i ”作为虚数的单位，也是他首创的。

19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy ）、德国数学家黎曼（Riemann ）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）的巨大努力，形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概论统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。

20世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切。

致使经典的复变函数理论，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用。

并且，还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等。

另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。

复变函数研究的中心对象是所谓解析函数。

因此，复变函数论又称为解析函数论，简称函数论。

解析函数是在某一区域内处处可微的复变函数[1]。

除了用定义判定一个复变函数是否解析之外，经过中外数学家将近两百年的不懈努力，还研究出了复变函数在区域内解析的其他各种判别条件，包括充分条件，必要条件和充要条件。

此外，研究解析函数自然也少不了要研究其性质。

通过本课题的研究，旨在全面总结复变函数解析的判定，解析函数的性质以及解析函数在积分、微分、幂级数展开以及留数运算中的诸多应用。

本文基于复变函数的一般理论，参考国内外相关文献，就解析函数的历史背景、相关应用和研究相关问题的方法进行综述。

同济大学课程考核试卷（A 卷）2013 — 2014 学年第 一 学期命题教师签名：审核教师签名：课号：122144课名：复变函数与积分变换 考试考查：考查此卷选为：期中考试( )、期终考试( √)、重考( )试卷年级专业 学号 姓名 任课教师 ___ _ 题号一二三四五六七总分得分（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。

要求写出解题过程，否则不予计分）1. (10%)已知，求一切使得成立的自变量的值。

f (z )=z -4z ‒1f (z )=z 2. (1)(4%) 已知：，证明：为调和函数。

u (x,y )=e x cos y +e ‒x cosy u (x,y )(2)(6%) 求的共轭调和函数。

u (x,y )v(x,y)(3)(6%)记，若，求。

f (z )=u (x,y )+i v(x,y)f''(z )=f(z)v(0,0)(4)(4%) 对上述f(z)，求其沿曲线的积分，这里。

(cos t ,t 2+1)0≤t ≤13. (1) (8%)求在0点邻域上的Taylor 级数（至少写出前4个非零项）。

e ‒zz ‒1(2) (12%)求出在复平面上的一切孤立奇点，并指出其类型。

z e z ‒e ‒z4. (1) (10%)求积分∫|z |=4dz z sin z(2) (10%)求函数的Fourier 变换。

f (x )=e ‒|x +1|5. (10%) 求解微分方程初值问题x''(t)‒2x'(t)+x(t)=1, x(0)=0, x'(0)=‒1.6.(10%) 求将复平面的第一象限变为单位圆盘的共形映照。

7.若分式线性变换中，系数a,b,c,d均为整数，且，则称为模变换。

f(z)=a z+bcz+d ad‒bc=1f(z)(1) (5%)证明：若是模变换，则其逆变换也是模变换。

f(z)f‒1(z)(2) (5%)证明：若都是模变换，则也是模变换。