福建师范大学高等数学上试题及答案
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高等数学(上)试题及答案
一、 填空题(每小题3分,本题共15分)
1、.______)31(lim 2
0=+→x x x 。
2、当k 时,
⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e )(2x k x x x f x 在0=x 处连续. 3、设x x y ln +=,则______=dy
dx 4、曲线x e y x -=在点(0,1)处的切线方程是
5、若⎰+=C x dx x f 2sin )(,C 为常数,则=)(x f 。
二、 单项选择题(每小题3分,本题共15分) 1、若函数x x
x f =)(,则=→)(lim 0x f x ( )
A 、0
B 、1-
C 、1
D 、不存在
2、下列变量中,是无穷小量的为( ) A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(cosx →x D. )2(4
22→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的( )
. A .极大值点 B .极小值点 C .驻点 D .间断点
4、下列无穷积分收敛的是( )
A 、⎰+∞0sin xdx
B 、dx e x ⎰+∞-02
C 、dx x ⎰+∞01
D 、dx x
⎰+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M (1,1,1)、A (2,2,1)、B (2,1,2)。则AMB ∠=
A 、3π
B 、4π
C 、2
π D 、π 三、 计算题(每小题7分,本题共56分)
1、求极限 x
x x 2sin 24lim 0-+→ 。
2、求极限 )1
11(lim 0--→x x e x 3、求极限 2cos 102lim x dt
e x
t x ⎰-→
4、设)1ln(25x x e y +++=,求y '
5、设)(x y f =由已知⎩
⎨⎧=+=t y t x arctan )1ln(2,求22dx y d 6、求不定积分 dx x x ⎰+)32sin(12
7、求不定积分 x x e x d cos ⎰
8、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=011
011)(x x x e x f x , 求 ⎰-20d )1(x x f
四、 应用题(本题7分)
求曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
五、 证明题(本题7分)
若)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且0)1()0(==f f ,1)2
1(=f ,证明: 在(0,1)内至少有一点ξ,使
1)(='ξf 。
参考答案
一。填空题(每小题3分,本题共15分)
1、6e
2、k =1 .
3、x
x +1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二.单项选择题(每小题3分,本题共15分)
1、D
2、B
3、C
4、B
5、A
三.计算题(本题共56分,每小题7分)
1.解:x x x 2sin 24lim 0-+→8
1)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 7分 2.解 :2
1lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe e e e xe e e e x x e e x 7分 3、解: 2
cos 1
02
lim x dt e x t x ⎰-→e x xe x x 212sin lim 2cos 0-=-=-→ 7分 4、解: )11
1(1122x x
x y ++++='……………………… …...4分 211x += ……………………………………… …...7分
5、解:t
t t t dx dy 211211
2
2=++= (4分) 22
2232112()241d y t d dy dx t dt t dt dx dx t t -+===-+ (7分)
6、解:
C x
d x dx x x ++=++-=+⎰⎰)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 (7分) 7、 解: ⎰
⎰=x x e x x x e d cos d cos ⎰+=sinxdx e cos x x e x …………………… …….2分
⎰+=x de sin cos x x e x ..………………… ……….3分
dx cos sin cos x e x e x e x x x ⎰-+= ……… ……5分
C x x e x ++=)cos (sin ……………… ……… …7分
8、解:⎰⎰⎰⎰--+==-011
01120d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f … …2分 ⎰⎰
+++=-100
11d 1d x x e x x ……… ………3分
100
1)1ln(d )11(x x e e x x +++-=⎰-…… ……5分 2ln )1ln(10
1++-=-x e ……………… …6分
)1ln()1ln(11e e +=++=-………… ……7分
四. 应用题(本题7分)
解:曲线2x y =与2y x =的交点为(1,1), 1分 于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为 31
]3132[)(1021
0232=-=-=⎰x x dx x x A 4
分 A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为: ()πππ10
352)(1
0521042=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 7
分 五、证明题(本题7分)
证明: 设x x f x F -=)()(, ……………………….……… ……2分 显然)(x F 在]1,21
[上连续,在)1,21
(内可导,
且 021
)21
(>=F ,01)1(<-=F . 由零点定理知存在]1,21
[1∈x ,使0)(1=x F . …….…
…………4分 由0)0(=F ,在],0[1x 上应用罗尔定理知,至少存在一点
)1,0(),0(1⊂∈x ξ,使01)()(=-'='ξξf F ,即1)(='ξf …
…7分