2021-2022学年度初中数学北京地区中考模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．如图，ABC⊥，垂足为∆是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE AC=，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）E，延长BC到点Q，使CQ PAA．0.9 B C D．12．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC＋102°，∠D＝∠E ＋27°，则∠ACB的度数为（）A．39°B．40°C．41°D．42°3．如图所示，直线AB、CD相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为2，－4，6，－8，10，－12，…．那么标记为“－2020”的点在（）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上4．在某学校庆祝建党“100周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律,第n 个“100”字样的棋子个数是（ ）A ．11nB ．10n +C ．56n +D ．65n +5．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ，则下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB ·CF ；③CF ＝13CD ；④△ABE ∽△AEF ．正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A ，B ，连接AB ，再作出AB 的垂直平分线，交AB 于C 点，交弧AB 于D 点，测出AB ，CD 的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB ＝40cm ，CD ＝10cm ，则轮子的半径为（ ）A ．50cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm7．如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且22BE AE DF CF ==，，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则EHFGABCDS S 四边形菱形的值为（ ）A ．12B ．16C ．13D ．198．已知方程组23x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为2x y =⎧⎨=⎩，则、对应的值分别为（ ）A ．1，2B ．1，5C ．5，1D ．2，49．函数y 211=+2x的图象如图所示，若点P 1（x 1，y 1），P （x 2，y 2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）A ．x 1≠0，x 2≠0B ．y 112＞，y 212＞C ．若y 1＝y 2，则|x 1|＝|x 2|D ．若y 1＜y 2，则x 1＜x 210．已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣4，当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，BD 平分∠ABC ，如果点M ，N 分别为BD ，BC 上的动点，那么CM +MN 的最小值是 ___．12．如图三角形ABC 的顶点坐标如下：点A （2，2），B （1，1），C （5，1），若三角形DBC 与三角形ABC 全等，写出符合条件的点D 的坐标：___．13．如果n x y =，那么我们规定(),x y n =．例如：因为239=，所以()3,92=．根据上述规定，()2,8=_______，若(),16m p =，(),5m q =，(),m t r =，且满足p q r +=，则t =______．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ADE ，连接BD ，若AC ＝3，DE ＝1，则线段BD 的长为 ___．15．方程x 2＝x 的解为 ___．三、解答题16．在菱形ABCD 中，∠ADC =120°，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，∠DEC =50°，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50°并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：EG=BC ；17．若m 是方程210x x -＋＝的一个根，求代数式3222021m m ＋＋的值．18．如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？请你以点D 为原点、AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题．19．如图，在△ABC 中，,AB AC BAC α∠=＝，点D 在BC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ． （1）按要求作出图形；（2）若α＝90°，用等式表示线段DC DB DE ,,大小关系，并证明；（3）若α＝120°，AB ＝M 为BC 的中点，求ME 的最小值．20．某水果店出售一种进价为每千克10元的热带水果，原售价为每千克20元． （1）连续两次降价后，每千克售价16.2元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．（2）这种水果每月的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在着一次函数关系：y ＝－10x ＋200，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？ 21．（1）有一列数1017263750,,,,,...,512213245---则这列数的第九个数为 ，第n 个数为 ．（2）规定：用{}m 表示大于m 的最小整数， 例{52}＝ 3，{5}＝6，{−1.3}＝−1等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如72⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝3，[4]＝4，[−1.5]＝−2，如果整数x 满足关系式{}[]2312x x +=，求x 的值并说明理由．22．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB AC =，P 、Q 分别是边AC ，AB 上的点，且AP PQ QC BC ===．求PCQ ∠的度数．23．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足． （1）当直线l 不与底边AB 相交时， ①求证：∠EAC ＝∠BCF ．②猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合），请你探究直线l ，EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）参考答案1．D 【分析】过点P 作PF ∥BC 交AC 于F ，则可证△APF 是等边三角形，得到PF =AP =CQ ，然后证明△PFD ≌△QCD 得到FD =CD ，由PE ⊥AC ，可得AE =EF ，再根据()11112222DE EF DF AF CF AF CF AC =+=+=+=求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P 作PF ∥BC 交AC 于F ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =60°， ∵PF ∥BC ，∴∠APF =∠B =60°，∠FPD =∠Q ， ∴△APF 是等边三角形， ∴PF =AP =CQ ， 在△PFD 和△QCD 中，==FPD QFDP CDQ PF QC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△PFD ≌△QCD （AAS ）， ∴FD =CD ， ∵PE ⊥AC ， ∴AE =EF ， ∴()111112222DE EF DF AF CF AF CF AC =+=+=+==， 故选D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形． 2．D 【分析】设ABC α∠=，根据180ACB ABC BAC ∠=︒-∠-∠为解题的思路，根据三角形的外角性质及角平分线性质，通过等量代换的思想分别求出,ABC BAC ∠∠即可． 【详解】解：设ABC α∠=，则102102BAC ABC α∠=∠+︒=+︒，18078CAG BAD BAC α∴∠=∠=︒-∠=︒-， 180180ABF ABC α∠=︒-∠=︒-，2102ACE ABC BAC α∠=∠+∠=+︒，BD ，AE 分别是△ABC 的外角∠ABF ，∠CAG 的角平分线， 119022ABD ABF α∴∠=∠=︒-，113922CAE CAG α∠=∠=︒-，180D BAD ABD ∴∠=︒-∠-∠,13180(78)(90)1222ααα=︒-︒--︒-=︒+，180E CAE ACE ∠=︒-∠-∠，1180(39)(2102)2αα=︒-︒--+︒，3392α=︒-，27D E ∠=∠+︒，3312392722αα∴︒+=︒-+︒，354α=︒，18α=︒， 18ABC ∴∠=︒，18102120BAC ∠=︒+︒=︒， 1801201842ACB ∠=︒-︒-︒=︒,故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．3．C【分析】根据图形的变化，每四条射线为一组，从OC开始，用2020除以4等于505，即可得出结论．【详解】解：解：观察图形的变化可知：奇数项：2、6、10、14…4n−2（n为正整数）；偶数项：−4、−8、−12、−16…−4n．∵−2020是偶数项，∴−4n＝−2020，∴n＝505．∵每四条射线为一组，OC为始边，∴505÷4＝126…1．∴标记为“−2020”的点在射线OC上．故选：C．【点睛】本题考查了规律型−图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．4．C【分析】根据图形可知:+⨯=++⨯⨯=,第①个“100”字中的棋子个数是34221(22)211+⨯=++⨯⨯=,第②个“100”字中的棋子个数是46222(23)216+⨯=++⨯⨯=,第③个“100”字中的棋子个数是58223(24)221+⨯=++⨯⨯=,第④个“100”字中的棋子个数是610224(25)226由此规律可得出答案．【详解】+⨯=++⨯⨯=,第①个“100”字中的棋子个数是34221(22)211+⨯=++⨯⨯=,第②个“100”字中的棋子个数是46222(23)216第③个“100”字中的棋子个数是58223(24)221+⨯=++⨯⨯= , 第④个“100”字中的棋子个数是610224(25)226+⨯=++⨯⨯= , ⋯⋯第n 个“100”字中的棋子个数是22(n 1)256n n +++⨯=+． 故选C ． 【点睛】本题考查了规律型:图形的变化类,是一道关于数字猜想的问题,解题的关键是通过总结与归纳,得到其中的规律． 5．B 【分析】首先利用根据正方形的性质与同角的余角相等证得：ABE ECF ∽△△，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得ABE AEF ∽△△，则可证得④正确． 【详解】∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠B ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠AEB ＋∠FEC ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CEF ， ∴ABE ECF ∽△△， ∴AB BE CE CF =，即AB CECE CF=， ∴2CE AB CF =，故②正确； ∵E 是BC 的中点， ∴12BE CE AB ==， ∴1tan 2BE BAE AB ∠==， ∴30BAE ∠≠︒，故①错误；∴22111244AB CE CF AB CD AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭====，故③错误； 设CF ＝a ，则BE ＝CE ＝2a ，AB ＝CD ＝AD ＝4a ，DF ＝3a ，∴AE =，EF =，AF ＝5a ，∴AE AF =BE EF = ∴AE BE AF EF=， ∴ABE AEF ∽△△，故④正确．∴②与④正确．∴正确结论的个数有2个．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．6．C【分析】由垂径定理可得出BC 的长，连接OB ，在Rt OBC △中，可用半径OB 表示出OC 的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可．【详解】解：如图，设圆心为点O ，连接OB ，∵⊥OD AB ，AB ＝40cm ， ∴120cm 2BC AB ==，90OCB ∠=︒， ∵CD ＝10cm ，∴10OC OD CD OB =-=-，∵在Rt OBC △中，222OC BC OB +=，∴222(10)20OB OB -+=，解得：25OB =cm ，∴轮子的半径为25cm ．故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．D【分析】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【详解】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ， ∴12AE BE =，12CF DF =， ∵G 、H 分别是AC 的三等分点， ∴12AG GC =，12CH AH =， ∴AE AG BE GC=， ∴EG ∥BC ， ∴13EG AE BC AB ==， 同理可得HF ∥AD ，13HF AD =， ∴四边形EHGF 为平行四边形，由题意，AEG HEG SS =， ∵13EG AE BC AB ==， ∴19AEG HEG ABC S S S ==，根据平行四边形和菱形的性质可得：2129EHFGHEG ABC ABCD S S S S ==四边形菱形， 故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及平行线分线段成比例定理等，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．8．C【分析】把x =2代入方程组的第二个方程即可求得y 即的值，再将x 和y 的值代入第一个方程即可求得． 【详解】解：将x =2代入3x y +=得y =1，所以=1再将21x y =⎧⎨=⎩代入2x y +=， 得=5，故选：C ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．9．D【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．【详解】解：由图象可知，x ≠0，∴10x ≠，20x ≠，故选项A 正确；∵x ≠0，∴x 2＞0，∴21x ＞0，∴211122y x =+>， 112y ∴>，212y >，故选项B 正确； 函数的图象关于y 轴对称，∴若12y y =，则12||||x x =，故选项C 正确；根据函数的增减性可得：当0x <时，若12y y <，则12x x <；当0x >时，若12y y <，则12x x >，故选项D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．10．C【分析】根据题意，可知二次函数的顶点坐标为(1,4)-，分类讨论即可，0a <时，开口朝下，最大值为4-，不符合题意，则0a >，进而根据当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，将4x =代入解析式即可求得a 的值．【详解】依题意，可知二次函数的顶点坐标为(1,4)-，当0a <时，开口朝下，最大值为4-，不符合题意，当0a >时，对称轴为1x =，当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，当11x -≤≤时，y 随x 的增大而减小,由二次函数的对称性可知当1x =-时，y 的值和3x =时的值相等，当14x ≤≤时，y 随x 的增大而增大,4x ∴=时，()24145a --=，解得1a =, 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式2()y a x h k =-+的图象与性质是解题的关键． 11．4.8【分析】先作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 交BC 于点N ，再根据角平分线的性质得出ME MN =，从而得出CM MN CE +=，再求出CE 的长即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 交BC 于点N∵BD 平分ABC ∠，CE ⊥AB ，MN ⊥BC∴ME MN =∴CM MN CM ME CE +=+=∵90ACB ∠︒＝，6AC ＝，8BC ＝，10AB ＝ ∴1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅ ∴11681022CE ⨯⨯=⨯⨯ ∴ 4.8CE =∴ 4.8CM MN +=【点睛】本题主要考查了最短路径问题，以及角平分线的性质，解决此题的关键是找到CM MN +最小时动点M ，N 的位置．12．（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．【分析】依据以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，可知两个三角形有公共边BC ，运用对称性即可得出所有符合条件的点D 坐标．【详解】解：如图所示，当△BCD 与△BCA 关于BC 对称时，点D 坐标为（2，0），当△BCA 与△CBD 关于BC 的中点对称时，点D 坐标为（ 4，0），△BCA 与△CBD 关于BC 的中垂线对称时，点D 坐标为（4，1），当D 与A 重合时，点D 坐标为（2，2），故答案为：（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换构建全等三角形，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．．13．3 80【分析】由328=，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得p q r m ,m ,m t ===165，根据同底数幂的运算及已知p +q =r ，即可求得t 的值．【详解】∵328=∴(2，8)=3故答案为：3；由规定得：p q r m ,m ,m t ===165∴p+q m =⨯=16580∵p +q =r∴r m =80∴t =80故答案为：80【点睛】本题考查了同底数幂的运算，关键理解题意，能熟练进行同底数幂的运算．14．【分析】由旋转的性质可得90DAB ︒∠=、E ABC A ∆≅∆D ，再根据全等三角形的性质、勾股定理可求得AD AB ==Rt ABD ∆即可得解．【详解】解：∵将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ADE ∆∴90DAB ︒∠=，E ABC A ∆≅∆ D∴BC DE =，AC AE =，AB AD =， 90C E ︒∠=∠=∵3AC =，1DE =∴1BC DE ==∴在R ABC ∆中，AB∴AD AB ==∴在Rt ABD ∆中，BD =故答案是：【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．0x =或【分析】利用因式分解法解方程即可；【详解】2x x =，20x x -=，()10x x -=，0x =或1x =；故答案是：0x =或1x =．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．16．（1）补全图形见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）连接BE ，根据已知条件和图形可以证明△GEB ≌△CBE ，得到答案；【详解】解：（1）补全图形，如图1所示：（2）证明：连接BE ，如图2：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠ADC =120°，∴∠DCB =60°．∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA =12∠DCB =30°，又∠DEC =50°，∠EDC =100°，由菱形的对称性可知，∠EBC =100°，∠BEC =50°，则∠GEB =100°，∴∠GEB =∠CBE ．∵∠FBC =50°，∴∠GBE =50°，∴∠EBG =∠BEC ．在△GEB 与△CBE 中， GEB CBE BE EBEBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．∴EG=BC ．【点睛】本题考查的是菱形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键，解答时，要正确运用菱形对角线平分一组对角，灵活运用三角形全等的知识和等腰三角形的知识进行解答． 17．2022【分析】根据m 是方程210x x -＋＝的一个根，可得21m m +=，然后将3222021m m ＋＋变形代入计算即可．【详解】解：根据题意，得210m m +-=，则21m m +=，即()11m m +=，则()322220212021m m m m m m ++=+++()12021120212022m m =++=+=．【点睛】本题考查一元二次方程的根，根据题意适当变形是解本题的关键． 18．水面下降1米，此时水面宽度为.【分析】如图，以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，再根据坐标系得到2,0,2,0,0,2,A B C 且C 为抛物线的顶点，再利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解当1y =-时，自变量的值，从而可得答案.【详解】解：如图，以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，结合题意可得：4,2,AB CD2,0,2,0,0,2,A B C 且C 为抛物线的顶点，设抛物线为：2+2,y ax42,a1,2a ∴=- 所以抛物线的解析式为：21+2,2y x 当水面高度下降1米时，即1,y =-2121,2x26,x解得：12x x =626，答：水面下降1米，此时水面宽度为.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的按照要求建立平面直角坐标系，并求解二次函数的解析式是解本题的关键.19．（1）见解析；（2）222DC DB DE +=，见解析；（3【分析】（1）按要求画出图形即可；（2）通过旋转的性质证明出AEB ADC ∆≅∆从而推出45EBA C ∠=∠=︒,EB DC =，由勾股定理可知222EB DB DE +=，所以可知222DC DB DE +=；（3）通过旋转的性质证明出AEB ADC ∆≅∆推出30EBA C ∠=∠=︒,60EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒可知点E 在射线BE 上运动，60EBC ∠=︒当M 为BC 中点，BM =3，由垂线段最短可知MH BE ⊥,MH =即ME 【详解】.(1)如图，（2)222DC DB DE +=证明：∵90CAB DAE ∠=∠=︒，∴BAE CAD ∠=∠∵DA =EA ,CA =BA∴45C ABC ∠=∠=︒,AEB ADC ∆≅∆∴45EBA C ∠=∠=︒,EB DC =∴90EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒∴222EB DB DE +=∴222DC DB DE +=(3) ∵120CAB DAE ∠=∠=︒，AB =∴BAE CAD ∠=∠，6BC =∵DA =EA ,CA =AB∴30C ABC ∠=∠=︒,AEB ADC ∆≅∆∴30EBA C ∠=∠=︒,60EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒∴点E 在射线BE 上运动，60EBC ∠=︒∵M 为BC 中点，BM =3，做MH BE ⊥,MH =即当ME BE ⊥时，ME【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定及性质，垂线段最短等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．20．（1）10%；（2）15元【分析】（1）设每次下降的百分率为x ，根据题意列出一元二次方程即可求解；（2）设利润为W ，根据题意列出W 关于x 的函数关系式，再求出该函数的对称轴即可求解．【详解】解：（1）设每次下降的百分率为x ．根据题意得：()220116.2x -=解得：1 1.9x =（舍去），20.110%x ==答：每次下降的百分率为10%．（2）设利润为W ，则()()1010200W x x =--+2103002000x x =-+-()21015250x =--+∴当15x =元时，利润最大为250元．答：当销售单价为15元时，每月可获得最大利润．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，以及二次函数的实际运用，熟练运用方程的思维解决实际问题和二次函数的实际运用是解答本题的关键．21．（1）122117-；22(2)1(1)(2)4n n n ++-+-；（2）x =2，见解析 【分析】（1）观察数据发现分子是()221n ++，分母比分子小5，奇数的位置为负，偶数的位置为正，即可得出答案；（2）根据题意知{}[]1x x =+，化简{}[]2312x x +=，求得[x]=2，即可得出答案．【详解】解：（1）有一列数1017263750, , , , ,...512213245---， ∵分子是()221n ++，分母比分子小5，即()224n +-，奇数的位置为负，偶数的位置为正，∴这列数的第九个数为：()()22921122117924++-=-+-， 第n 个数为：22(2)1(1)(2)4nn n ++-+-， 故答案为：122117-；22(2)1(1)(2)4n n n ++-+- (2) 解：由题意知：{}[]1x x =+∵{}[]2312x x +=∴2（[x]+1）+3[x]=125[x]=10[x]=2又x 为整数，所以x =2．【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字的运算规律与符号排列的规律，利用规律解决问题． 22．3607PCQ ︒∠=【分析】设∠A =x ，则∠QPC =∠QCP =2x ，∠BQC =3x ，由QC =BC 得出∠QBC =3x ，∠QCB =x ，根据三角形内角和定理得出x 的角度，即可得出答案．【详解】解：设∠A =x ，则∠QPC =2x ，∵PQ =QC∴∠QCP =∠QPC =2x ，∴∠BQC =∠A +∠QCP =3x∵QC =BC∴∠QBC =∠BQC =3x ，∵AC =AB∴∠ACB =∠ABC =3x∴∠BCQ =x∵∠BQC +∠QBC +∠BCQ =180︒∴33180x x x ++=︒ ∴1807x ︒= ∴180360277PCQ ︒︒∠=⨯= 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质的理解和掌握，此题的关键是得出∠BQC =3x ．23．（1）①证明见解析，②EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【分析】（1）①根据∠AEC ＝∠BFC ＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC ＝∠FCB 即可；②根据AAS 证△EAC ≌△FCB ，推出CE ＝BF ，AE ＝CF 即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠ACB ＝90°，∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∠ECA +∠FCB ＝90°，∴∠EAC ＝∠FCB ，②EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△FCB （AAS ），∴CE ＝BF ，AE ＝CF ，∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ，即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时，如图①，∵∠ACB ＝90°，AE ⊥l 直线，同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角），又∵AC ＝BC ，BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°，∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，CE ＝BF ，∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF ，∴AE ＝BF +EF ；②当AD ＜BD 时，如图②，∵∠ACB ＝90°，BF ⊥l 直线，同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角），又∵AC ＝BC ，BE ⊥l 直线，即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，BF ＝CE ，∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ，∴BF ＝AE +EF ．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．。
