高二上学期期中考试数学模拟试卷(理)(含答案)

2024-2025学年江苏省张家港市第一学期高二期中调研测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M ，N 分别为OA ，BC 中点，则MN 等于( )A. 12a−12b +12c B. −1a +12b +1c C. 12a +12b−12cD. 12a−12b−12c2.若直线l 沿x 轴向左平移4个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则直线l 的斜率是( )A. 12B. −12C. 2D. −23.已知动点M 与两定点O(0,0)，A(0,3)的距离之比为12，则动点M 的轨迹方程为( )A. x 2+y 2+2y−3=0 B. x 2+y 2+2x−3=0C. x 2+y 2−8x +12=0D. x 2+y 2−8y +12=04.经过点P(0,−1)作直线l ，若直线l 与连接A(−3,2)，B(2,1)两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A. [0,π)B. [0,π4]∪[3π4,π)C. [π4,3π4]D. [π4,π2)∪(π2,3π4]5.若两直线l 1:x +2ay +2=0，l 2:(3a−1)x−ay−1=0平行，则实数a 的取值集合是A. {0 , 16}B. {0}C. {16 }D. {12,1}6.已知圆C 的圆心在直线x−y−5=0上，并且圆C 经过圆x 2+y 2+6x−4=0与圆x 2+y 2+6y−28=0的交点，则圆C 的圆心是( )A. (12,−92)B. (92,−12)C. (4,−1)D. (1,−4)7.过点P(2,0)有一条直线l ，它夹在两条直线l 1:2x−y−2=0与l 2:x +y +3=0之间的线段恰好被点P 平分，则三条直线围成的三角形面积为( )A. 103B. 203C. 403D. 5038.已知矩形ABCD ，AB =3，AD =3，M 为边DC 上一点且DM =1，AM 与BD 交于点Q ，将△ADM 沿着AM 折起，使得点D 折到点P 的位置，则sin ∠PBQ 的最大值是( )A. 13B.33 C. 23D.1010二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024-2025学年重庆市高二上学期期中考试数学质量检测试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 圆与的位置关系为（ ）()221:11C x y +-=222:4C x y +=A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切2. 若直线与直线平行，则（ ）1:360l ax y ++=()2:220l x a y ++-=a =A. B. C. 1D. 3-32-1-3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译密码的概率分别是 ，，则密码被2335成功破译的概率为（）A. B. C. D. 2153571513154. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）()()5,1,3,9,8,5a b ==b aA. B. C. D. 6835a 179a 2312a 137a 5. 若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（）{},,a b c→→→A .B. ,,a c a b b c→→→→→→---,,a c b a c b→→→→→→++-C. D. ,,2b a b a c c b →→→→→→→+-++,,a b b c a c→→→→→→+++6. 空间内有三点，则点到直线的距离为（）()()()1,2,3,2,1,1,1,2,2P E F -P EF A .C.D.7. 某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟200m 的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，50m A 30o B 则这名人员被持续监测的时长约为（ ）A. 2分钟B. 3分钟C. 4分钟D. 5分钟8. 如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，ABCD ACD ⊥,ABC ABC △是等腰直角三角形，是的中点，，若ACD 90,ADC E ∠=AC 1,3CF CB DG DB λ==平面，则（ ）//AG DEF λ=A .B. C. D. 12131423二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，A B 为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（ ）C A .与不互斥B.A B ()()()1P A P B P C ++=C.D. 与相互独立()14P B C =I A B 10. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ）()()()1113330,2,,0,1,,2,1,,0,2,0,0,0,0,4,0,0222A B C A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A.为质数114B C AC ⋅ B. 为直角三角形ABC VC. 与1B C ABD. 几何体的体积为111ABC A B C -7211. 已知圆与直线，点在圆上，点在22:4210C x y x y +-++=:430l x y m -+=P C Q 直线上，则下列说法正确的是（ ）l A. 若，则直线与圆相切9m =l C B. 若圆上存在两点关于直线对称，则C l 11m =-C. 若，则14m =min ||3PQ =D. 若，从点向圆14m =Q C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若，互斥，则()()0.2,0.7P A P B ==A B ________，________.()P A B = ()P AB =13. 若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______.(1,3)22250x y ax ay a +--+=a 14. 若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为()222:(2)0C x y r r +-=>()2,2P -C，且，则__________．,A B AB =r =四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知直线，圆.:(1)210l mx m y m ++-+=22:4410C x y x y +-+-=（1）证明：直线与圆相交.l C （2）记直线与圆的交点为，求的最小值.l C ,A B |AB |16. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h ），并根据统计数据分为，，，，，六个小组[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5[)2.5,3[)3,3.5[]3.5,4（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示.[]1,4（1）求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；（2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内[)2.5,3[]3.5,4的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，A BCED -BCED DE BC ∥DE CE ⊥，.AD BD CD BC ===AC ==（1）判断直线与是否垂直，并说明理由；AB CD （2）求平面与平面的夹角的余弦值.ADE ACD 18.如图，在三棱台中，平面，，111ABC A B C -1AA ABC 120BAC ∠=︒，， D 是棱AC 的中点，E 为棱BC 上一动点.1111333AB AC A B A C ====12AA =（1）判断是否存在点 E ，使平面.1//AB 1C DE （2）是否存在点 E ，使平面平面? 若存在，求此时与平面所成1C DE ⊥11A ABB 1AB 1C DE 角的正弦值；若不存在，说明理由.19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，(0k k >1)k ≠，动点满足，设动点的轨迹为曲线．(1,0),(4,0)N M Q 2QMQN=Q C （1）求曲线的轨迹方程；C （2）若直线与曲线交于两点，求；10x y -+=C ,A B |AB |（3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线C x ,E F :1l x my =-C ,G H 与直线交于点，证明：点在定直线上．EG FH D D2024-2025学年重庆市高二上学期期中考试数学质量检测试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 圆与的位置关系为（ ）()221:11C x y +-=222:4C x y +=A .相交B. 相离C. 外切D. 内切【正确答案】D【分析】计算两圆圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径1C ()10,1C 11r =222:4C x y +=()20,0C ．22r =两圆圆心距为，所以圆与圆内切．12211C C r r ==-1C 2C 故选：D.2. 若直线与直线平行，则（ ）1:360l ax y ++=()2:220l x a y ++-=a =A. B. C. 1D. 3-32-1-【正确答案】C【分析】利用两直线平行的判定方法列出方程，求解后检验即得.【详解】因为，所以，解得或1l ∥2l ()()()22323310a a a a a a +-=+-=+-=3a =-.1a =当时，重合，不合题意；3a =-1212:3360,:20,,l x y l x y l l -++=--=当时，，符合题意.1a =12:360,:320l x y l x y ++=+-=故选：C.3. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译密码的概率分别是 ，，则密码被2335成功破译的概率为（）A. B. C. D. 215357151315【正确答案】D【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率公式计算得解.【详解】甲乙都没有破译密码的概率,1232113515P ⎛⎫⎛⎫=--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以根据对立事件概率公式可知，密码被成功破译的概率,1213111515P P =-=-=故选：D 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）()()5,1,3,9,8,5a b ==b aA.B. C. D.6835a 179a2312a137a【正确答案】A【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案.【详解】向量在向量上的投影向量为．b a4581568251935b a a a a a a⋅++⋅=⋅=++故选：A5. 若构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是（）{},,a b c→→→A. B. ,,a c a b b c→→→→→→---,,a c b a c b→→→→→→++-C. D. ,,2b a b a c c b →→→→→→→+-++,,a b b c a c→→→→→→+++【正确答案】D【分析】根据空间向量共面基本定理判断各选项向量是否共面即可得解.【详解】因为，所以共面，故A 错误；a c a b b c →→→→→→⎛⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,a c a b b c →→→→→→---因为，所以共面，故B 错误；a c b a c b →→→→→→⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭,,a c b a c b →→→→→→++-因为，所以共面，故C 错误；2b a c b b a c →→→→→→→⎛⎫⎛⎫+=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,2b a b a c c b →→→→→→→+-++因为不存在x ，y ，使得，所以不共面，故D a b x b c y a c →→→→→→⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,a b b c a c →→→→→→+++正确．故选：D 6. 空间内有三点，则点到直线的距离为（）()()()1,2,3,2,1,1,1,2,2P EF -P EFC.D.【正确答案】A【分析】根据空间向量的坐标表示求出，利用空间向量法求解点线距即可.,EF PE【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.()1,1,1EF =-EF )1,1,1u =-因为，()3,1,2PE =--所以点到直线.PEF ==故选：A7. 某手机信号检测设备的监测范围是半径为的圆形区域，一名人员持手机以每分钟200m 的速度从设备正东的处沿西偏北方向走向位于设备正北方向的处，50m A 30o B 则这名人员被持续监测的时长约为（ ）A. 2分钟B. 3分钟C. 4分钟D. 5分钟【正确答案】C【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出直线及圆的方程，利用点到直线的AB 距离公式及圆的弦长公式求解即得.【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东、正北方向分别为轴、轴的正方向建立平O x y 面直角坐标系，则直线，即，圆，:AB yx =-0x +-=22:40000O x y +=记从处开始被监测，到处监测结束，点到直线的距离为N M O AB，||OO '==则，所以被监测的时长为分钟.||200MN ==200450=故选：C8. 如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，ABCD ACD ⊥,ABC ABC △是等腰直角三角形，是的中点，，若ACD 90,ADC E ∠=AC 1,3CF CB DG DB λ== 平面，则（ ）//AG DEF λ=A. B. C. D. 12131423【正确答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用它们数量积为0求解AGDEF 即可.【详解】连接，由为等边三角形，则，BE ABC V BE AC ⊥又平面平面，是交线，平面，ACD ⊥ABC AC BE ⊂ABC 所以平面，又平面，所以,BE ⊥ACD DE ⊂ACD BE DE ⊥因为为等腰三角形，是的中点，所以，ACD E AC DEAC ⊥以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，E ,,EA EB ED,,xy z 建立如图所示的空间直角坐标系，则．(0,0,0),(3,0,0),(3,0,0),(0,0,3)E A B C D -，()()()0,0,3,3,0,0,,ED EC CB ==-=()13EF EC CB =+=-，()()3,0,3,3AD DB =-=-．(),33AG AD DG AD DB λλ=+=+=--设平面的一个法向量为，则DEF (),,n x y z =r30,20,n ED z n EF x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取．x =2,0)n = 因为平面，所以，解得．//AGDEF 20n AG ⋅=-⨯=12λ=故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，A B 为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（ ）C A. 与不互斥B.A B ()()()1P A P B P C ++=C.D. 与相互独立()14P B C =I A B 【正确答案】ACD【分析】由互斥事件，独立事件，以及各个事件的概率关系逐一判断即可；【详解】对于A ，和可以同时发生，故A 正确；A B 对于B ，因为，()()()111,,222P A P B P C ===所以，故B 错误；()()()1P A P B P C ++≠对于C ，，故C 正确；()111224P B C ⋂=⨯=对于D ，因为，所以，故D 正确；()14P AB =()()()P A P B P AB =故选：ACD.10. 在空间直角坐标系中，已知，则（ ）()()()1113330,2,,0,1,,2,1,,0,2,0,0,0,0,4,0,0222A B C A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A.为质数114B C AC ⋅ B. 为直角三角形ABC V C. 与1B C AB D. 几何体的体积为111ABC A B C -72【正确答案】BCD【分析】对于ABC ：根据空间向量的坐标运算分析求解即可；对于D ：分析可知几何体为三棱台，且与该三棱台的底面垂直，结合台体的体积公式运算求解.111ABC A B C -1AA 【详解】对于选项A ：因为，11332,1,,4,2,22B C AC ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以不是质数，A 错误；119448215,154B C AC ⎛⎫⋅=⨯--= ⎪⎝⎭ 对于选项B ：因为，则，()()0,1,0,2,0,0BA BC ==0BA BC ⋅=所以为直角三角形，B 正确；,BA BC ABC ⊥ 对于选项C ：因为，1cos ,B C AB == 所以与，C 正确；1BC AB =对于选项D ：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台，111ABC A B C -且与该三棱台的底面垂直，1AA ，1111111113,,2,4,1,2,2AB BC A B B C A B B C AB BC AA ⊥⊥=====所以几何体的体积为，111ABC A B C -13117241232222⎛⨯⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎝D 正确.故选：BCD.11. 已知圆与直线，点在圆上，点在22:4210C x y x y +-++=:430l x y m -+=P C Q 直线上，则下列说法正确的是（ ）l A. 若，则直线与圆相切9m =l C B. 若圆上存在两点关于直线对称，则C l 11m =-C. 若，则14m =min ||3PQ =D. 若，从点向圆14m =Q C 【正确答案】BC【分析】利用圆心到直线的距离与半径的关系可判断A 错误；由圆上存在两点关于直线C 对称可得直线过圆心，圆心坐标代入直线方程可得选项B 正确；由题意可知的最小l l ||PQ 值为圆心到直线的距离减去半径，选项C 正确；由切线得垂直，根据勾股定理表示切线长，可知当最小时，切线长最小，结合点到直线的距离求解可知选项D 错误.||CQ 【详解】A.由题意得，圆的标准方程为，圆心为，半径C 22(2)(1)4x y -++=()2,1C -.2r =∴圆心到直线的距离，C l42d >∴直线与圆相离，故A 不正确.l C B.若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆的圆心，C l l C ∴，解得，故B 正确.()42310m ⨯-⨯-+=11m =-C.若，则圆心到直线的距离，14m =Cl 5d ∴，故C 正确.min ||523PQ =-=D.若，从点向圆引切线，设一个切点为，连接，则，如图14m =Q C M CM CMMQ ⊥所示，，||MQ ==当时，取得最小值，此时取得最小值，即CQ l ⊥CQ 5MQ min ||MQ ==故D 不正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，若，互斥，则()()0.2,0.7P A P B ==A B ________，________.()P A B = ()P AB =【正确答案】①. ②. 0.90【分析】根据互斥事件概率计算公式来求得正确答案.【详解】依题意，，互斥，A B 所以.()()0.20.70.9,0P A B P AB ⋃=+==故；0.9013. 若点在圆的外部，则正实数的取值范围是______.(1,3)22250x y ax ay a +--+=a 【正确答案】()4,5【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解.【详解】由题意可得，解得，()()22221365024500a a a a a a a ⎧+--+>⎪⎪-+--⨯>⎨⎪>⎪⎩45a <<故正实数的取值范围是.a ()4,5故答案为.()4,514. 若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为()222:(2)0C x y r r +-=>()2,2P -C ，且，则__________．,A B AB =r =【正确答案】2或4【分析】根据圆的切线性质可求出相关线段的长，利用，1122PBC S PC BD BC BP =⋅=⋅ 即可求出答案.【详解】如图，记圆的圆心为与交于点，圆的半径为r ，C ()0,2,C ABPC D由题意可得,,2AB PB BC PC AB BD⊥⊥===||BP==，所以，1122PBCSPC BD BC BP=⋅=⋅r=即，解得或16，即或4，4220640r r-+=24r=2r=经检验，都满足题意．故2或4四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知直线，圆.:(1)210l mx m y m++-+=22:4410C x y x y+-+-=（1）证明：直线与圆相交.l C（2）记直线与圆的交点为，求的最小值.l C,A B|AB|【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）求出直线所过定点，判断该定点与圆的位置关系即可推理得证.l（2）利用圆的性质求出最短弦长.【小问1详解】直线：，l(2)10m x y y+-++=令，解得，2010x yy+-=⎧⎨+=⎩31xy=⎧⎨=-⎩则直线过定点，l (3,1)P -圆的圆心，半径，22:(2)(2)9C x y -++=(2,2)C -3r =而，||3PC =<因此点在圆的内部，(3,1)P -C 所以直线与圆相交.l C 【小问2详解】由（1）知，，当且仅当时，弦长最短，||PC =PC l ⊥AB 所以的最小值为.|AB|==16. 某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h ），并根据统计数据分为，，，，，六个小组[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5[)2.5,3[)3,3.5[]3.5,4（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示.[]1,4（1）求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；（2）按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内[)2.5,3[]3.5,4的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.【正确答案】（1），2.4h0.5m =（2）.13【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得，再利用中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算人数，再根据古典概型公式计算即可.【小问1详解】由，解得.()0.20.420.30.10.51m ++++⨯=0.5m =因为，所以中位数在内，设中位()()0.20.40.50.3,0.20.40.50.50.55+⨯=++⨯=[)2,2.5数为x ，则，得，()0.320.50.5x +-⨯= 2.4x =即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.【小问2详解】由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.5，0.1，[)2.5,3[]3.5,4则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人.[)2.5,3[]3.5,4记时间段内的5人分别为a ，b ，c ，d ，e ，记时间段内的1人为M ，则从这[)2.5,3[]3.5,46人中选出2人的基本事件有，，，，，，，(),a b (),a c (),a d (),a e (),a M (),b c (),b d ，，，，，，，共15个，(),b e (),b M (),c d (),c e (),c M (),d e (),d M (),e M 2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个，(),a M (),b M (),c M (),d M (),e M 所以这2人来自不同分组的概率为.51153=17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，A BCED -BCED DE BC ∥DE CE ⊥，.AD BD CD BC ===AC==（1）判断直线与是否垂直，并说明理由；AB CD （2）求平面与平面的夹角的余弦值.ADE ACD 【正确答案】（1）和不垂直，理由见详解；AB CD （2）【分析】（1）根据已知条件可设，计算出，的值，从而证明()0AE CE a a ==>DE AD 到，再由可证平面；所以建立空间直角坐标系，用坐标表DE AE ⊥DE CE ⊥DE ⊥ACE 示向量和，将判断直线是否垂直转化为判断向量是否垂直，即可得证.AB CD（2）在第一问的基础上，分别求出平面与平面的法向量，利用公式计算可得平ADE ACD 面与平面的夹角的余弦值.ADE ACD 【小问1详解】和不垂直，理由如下：AB CD设，则，()0AE CE a a ==>AC =在中，，所以为等边三角形，所以，BCD △BD CD BC ==BCD △60BCD ∠=︒因为，，所以，从而，DE CE ⊥DE BC ∥BC CE ⊥30DCE ∠=︒所以在直角中，，，DEC cos30CE CD a ==︒tan 30DE CE =⨯︒=又因为，所以，所以在中，满足，AD CD =AD =DEA △222DE AE AD +=故为直角三角形，则；DEA △DE AE ⊥又因为，，所以平面； DE CE ⊥CE AE E = DE ⊥ACE因为，所以，所以，AC ==222AC AE CE =+CE AE ⊥故以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的E EC EA ED x y z 空间直角坐标系.设，则，；1DE =2AD BD CD BC ====AE CE ==AC =所以，，，，，()0,0,0E ()A )2B )C ()0,0,1D 所以，，所以，)2AB =()CD = 3020AB CD ⋅=-++≠ 所以不成立，故和不垂直.AB CD ⊥AB CD 【小问2详解】由（1）可知，，，所以平面，CE AE ⊥CE DE ⊥AE DE E = CE ⊥ADE 故为平面的一个法向量；)EC =ADE 又，，设平面的法向量，()1DA =-)1DC =- ACD (),,n x y z =r 所以，即，取，则，，故，00n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0z z -=-=z =1x =1y=(n = 设平面与平面的夹角为，ADE ACD θ所以，cos θ=cos ,n EC n EC n EC ⋅=⨯==所以平面与平面ADE ACD 18.如图，在三棱台中，平面，，111ABC A B C -1AA ABC 120BAC ∠=︒，， D 是棱AC 的中点，E 为棱BC 上一动点.1111333AB AC A BA C ====12AA =（1）判断是否存在点 E ，使平面.1//AB 1C DE （2）是否存在点 E ，使平面平面? 若存在，求此时与平面所成1C DE ⊥11A ABB 1AB 1C DE 角的正弦值；若不存在，说明理由.【正确答案】（1）存在 （2）存在，且与平面1AB 1C DE【分析】（1）以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标A AC 1AA x z 系，求出点的坐标，利用空间向量法可证得结论成立；E （2）设，根据空间向量法结合平面平面，可求出()01CE CB λλ=≤≤ 1C DE ⊥11A ABB 的值，然后利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值.λ1AB 1C DE 【小问1详解】存在，当时，平面；13CE CB = 1//AB 1C DE 因为平面，1AA ⊥ABC 如图，以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系，A AC 1AA xz 则、、、、、32B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()3,0,0C ()10,0,2A 1122B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()11,0,2C ，.3,0,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为，设点，则，13CE CB = (),,E a b c ()1933,,322a b c ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，解得，则，3320a b c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩320a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩32E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量为，因为，，1C DE ()111,,n x y z = 11,0,22DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭所以，令，得.111112020n DC x z n DE y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 14x =()4,0,1n = 因为，所以，1122AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 11402102AB n ⋅=-⨯++⨯= 因为平面，所以，平面.1AB ⊄1C DE 1//AB 1C DE 【小问2详解】设平面的法向量为，11A ABB ()222,,m x y z = 因为，，()10,0,2AA =32AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以，令，得.122220302m AA z m AB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 21y=)m =r 设，则，()01CE CB λλ=≤≤93,02E λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量为，1C DE (),,u x y z = 因为，，11,0,22DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭39,022DE λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以，令，可得，1120239022u DC x z u DE x y λ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪⋅=-= ⎪⎪⎝⎭⎩x=,3u λ⎫=-⎪⎪⎭ 假设平面平面，则.1C DE ⊥11A ABB 0m u ⋅= 由，解得，所以.3310m u λλ⋅=+-= 16λ=12u =- 设与平面所成的角为，1AB 1C DE θ则，111sin cos ,AB u AB u AB uθ⋅==== 所以存在，使平面平面，E 1C DE ⊥11A ABB 此时与平面.1AB 1C DE 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，(0k k >1)k ≠，动点满足，设动点的轨迹为曲线．(1,0),(4,0)N M Q 2QMQN =Q C （1）求曲线的轨迹方程；C （2）若直线与曲线交于两点，求；10x y -+=C ,A B |AB |（3）若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线C x ,E F :1l x my =-C ,G H 与直线交于点，证明：点在定直线上．EG FH D D 【正确答案】（1）224x y +=（2（3）证明见解析【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解；（2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解；（3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定l C EG FH 理表示，即可求解交点坐标，0022x x +-【小问1详解】设，因为，所以，(),Q x y 2QMQN =22||4||QM QN =即，整理得，2222(4)4(1)x y x y ⎡⎤-+=-+⎣⎦224x y +=所以曲线的轨迹方程为．C 224x y +=【小问2详解】曲线的圆心到直线的距离，C 10x y -+=d ==所以．AB ===【小问3详解】证明：设．()()()112200,,,,,G x y H xy D x y 联立得，221,4,x my x y =-⎧⎨+=⎩()221230m y my +--=．()2212122223Δ41210,,11m m m y y y y m m =++>+==-++设，所以直线的方程为，直线的方程为()()2,0,2,0E F -EG ()1122y y x x =++FH ．()2222y y x x =--因为直线与直线交于点，所以EG FH D ()()100120022,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩则()()2102112121021211211222233y my x y x my y y y y x x y my y my y y +++++-=⋅==----，即，解得，1122211223211113333311m m m y y m m m m m y y m m -+---+++===----++002123x x +=-04x =-所以点在直线上．D 4x =-关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示.0022x x +-。

2024-2025学年广东省清远市高二上学期期中联合学业质量监测考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.将1枚质地均匀的硬币抛掷2次，恰好出现1次正面向上的概率是( )A. 0B. 14C. 12D. 342.直线3x+3y+3=0的倾斜角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘3.已知空间向量a=(−2,1,m)，b=(1,−1,0)，c=(−1,2,n)，若a、b、c共面，则m+n=( )A. −1B. 0C. 1D. 24.已知直线l1:x−y+3=0，l0:x−y−1=0，若l1关于l0对称的直线为l2，则直线l2的方程是( )A. x−y−3=0B. x−y+5=0C. x−y+3=0D. x−y−5=05.已知过点P(4,m)(m≠0)作圆C:x2+y2−4y=0的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB必过定点( )A. (2,1)B. (1,2)C. (1,1)D. (1,12)6.若直线ax+by−1=0(a>0,b>0)平分圆(x−1)2+(y−1)2=4，则1a +2b的最小值是( )A. 2B. 5C. 3+22D. 427.在平行六面体(底面是平行四边形的棱柱)ABCD−A1B1C1D1中，有∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘，AB=AD=2，AC1=22，则AA1=( )A. 22B. 2C. 2D. 48.已知圆C1:x2+y2−2x−4y−7=0和圆C2:(x+3)2+(y+1)2=12交于两点，点P在圆C1上运动，点Q在圆C2上运动，则下列说法正确的是( )A. 圆C1和圆C2关于直线8x+6y−5=0对称B. 圆C1和圆C2的公共弦长为223C. |PQ|的取值范围为[0,5+23]D. 若M为直线x−y+8=0上的动点，则|PM|+|MQ|的最小值为109−43二、多选题：本题共3小题，共18分。

2022-2023学年内蒙古自治区包头市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是（ ） A ．R x ∀∈，2210x x +-≥ B ．R x ∃∉，2210x x +-≥ C ．R x ∃∈，2210x x +-≥ D ．R x ∀∉，2210x x +-≥【答案】A【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】命题“R x ∃∈，2210x x +-<”的否定是 “R x ∀∈，2210x x +-≥”， 故选：A.2．圆()()22341x y -+-=与圆2236x y +=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交【答案】B【分析】根据圆心距与21r r -的关系求得正确答案.【详解】圆()()22341x y -+-=的圆心为()3,4A ，半径11r =；圆2236x y +=的圆心为()0,0O ，半径26=r ， 圆心距215OA r r ==-，所以两圆的位置关系是内切. 故选：B3．已知双曲线221x y m +=（m 为非零常数）的渐近线方程为y x =，则双曲线的虚轴长是（ ）A ．－3B ．3C ．D 【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线方程求得m ，进而求得双曲线的虚轴长. 【详解】双曲线221x y m+=，即221x y m -=-，双曲线的渐近线方程为y x =，3m ==-，所以双曲线方程为2213x y -=，所以b =2b =故选：C4．已知椭圆经过点()，且焦点分别为()10,1-F ，()20,1F ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据已知条件求得,a c ，从而求得椭圆的离心率. 【详解】由于焦点()10,1-F ， 所以焦点在y 轴上，且1c =，由于椭圆经过点()，所以b =所以a ==所以椭圆的离心率为c a =故选：D5．过抛物线22y x =的焦点作直线l ，交抛物线于,A B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则AB 等于（ ） A ．10 B ．9 C ．6 D ．5【答案】B【分析】利用抛物线的几何意义求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得1242x x +=， 所以由抛物线的几何意义得1281922p pAB x x =+++=+=， 故选：B.6．已知空间四边形ABCO 中，OA a =，OB b =，OC c =，M 为OA 中点，点N 在BC 上，且2NB NC =，则MN 等于（ ）A ．121233a b c -+-B ．121233a b c -++C ．111232a b c +- D ．112233a b c -++【答案】D【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】如图所示：点N 在BC 上，且2NB NC =，∴2BN NC =， 由OB b =，OC c =，∴111212()333333ON OC CN OC CB OC OB OC OB OC b c =+=+=+-=+=+，M 为OA 中点，OA a =，1122OM OA a ==，∴11122233MN ON OM ON OA a b c =-=-=-++．故选：D ．7．曲线()2216126x y m m m +=<--与曲线()2212828x y m m m+=<<--的（ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．顶点相同【答案】A【分析】先分清两曲线分别是什么类型的曲线，再分别求出每个曲线的几何特征即可. 【详解】对于曲线()2216126x y m m m +=<-- ，1260m m ->-> ，是焦点在x 轴上的椭圆， 2222212,6,6,6a m b m c a b c =-=-=-==；对于曲线()2212828x y m m m +=<<-- ，20,80m m -<-> ，是焦点在y 轴上的双曲线， 222228,2,6,6a m b m c a b c =-=-=+== ；所以两曲线的焦距相同. 故选：A8．下列命题中的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题C ．“220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”D ．命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题是真命题 【答案】C【分析】利用否命题、逻辑连接词、逆否命题和逆命题的定义判断各选项即可. 【详解】命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，选项A 错误；命题“p q ∨”为真命题，则“命题p ”和“命题q ”均为真命题或其中一个为真命题，选项B 错误； “220a b +=，则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 不全为0，则220a b +≠”，选项C 正确； 命题“若空间向量a b =，则a b =”的逆命题为“若空间向量a b =，则a b =”，由于模长相等方向不一定相等，所以该命题为假命题，选项D 错误； 故选：C9．已知圆()22:316M x y ++=外一点()3,0N ，点P 是圆上任意一点，线段NP 的垂直平分线l 和直线MP 交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为（ ） A ．22145x y -=B ．2211620x y -=C ．221167x y +=D ．2213627x y +=【答案】A【分析】结合双曲线的定义求得正确答案. 【详解】圆M 的圆心为()3,0M -，半径4r =， 由于线段NP 的垂直平分线l 交直线MP 于Q ， 所以QP QN =，所以4QN QM QP QM r MN -=-==<，所以Q 点的轨迹是双曲线，且3,24,2,c a a b === 所以Q 点的轨迹方程为22145x y -=. 故选：A10．椭圆22163x y +=中，以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．1B ．12C ．－1D ．12-【答案】C【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，则12122,1x x y y +=+=，因为22112163⎛⎫ ⎪⎝⎭+<，所以点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆22163x y +=内， 将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212063x x x x y y y y -+-++=，即()()()()1212121263x x x x y y y y -+-+=-，即()()1212121236x x y y y y x x +--=+-， 即12123261y y x x -⨯-=⨯-， 即12121y y x x -=--， 所以弦所在的直线的斜率为1-. 故选：C ．11．直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，半径为1，当直线1,10ax by ax by +=+-=与圆221x y +=有公共点时，221,1a b ≤+≥，所以P 在圆上或圆外，所以直线1ax by +=与圆221x y +=有公共点是点(),P a b 在该圆外的必要不充分条件. 故选：B12．已知P 是抛物线24y x =上的一点，过点P 作直线2x =-的垂线，垂足为H ，设圆()()22:331C x y ++-=上任意一点Q ，则PQ PH +的最小值是（ ）A．1 B ．5 C ．6 D ．4【答案】B【分析】结合抛物线的定义以及圆的几何性质求得正确答案. 【详解】抛物线24y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -， 根据抛物线的定义可知1PH PF =+，圆()()22:331C x y ++-=的圆心为()3,3C -，半径1r =，min 1PQ PC =-，5CF ==所以115PQ PH PC PF PC PF CF +≥-++=+≥=, 所以当,,F P C 三点共线时，PQ PH +取得最小值5. 故选：B二、填空题13．抛物线28y x =-的准线方程是________． 【答案】132y =【分析】先将抛物线方程化为标准形式，即可得出其准线方程.【详解】因为抛物线28y x =-的标准方程为：218=-x y ，因此128=p ，即116=p ；所以其准线方程为：132y =. 故答案为：132y =【点睛】本题主要考查求抛物线的准线方程，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.14．过点)的等轴双曲线，其焦点到渐近线的距离是______．【分析】根据点)求得等轴双曲线的方程，求得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，从而求得正确答案.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，设等轴双曲线的方程为222x y a -=，由于等轴双曲线过点)，所以2312a =-=，所以a b ==2c =双曲线方程为22122x y -=，渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，双曲线其中一个焦点()2,0到其中一条渐近线0x y -=的距离为2022，根据对称性可知，双曲线焦点到渐近线的距离是2.当双曲线的焦点在y 轴上时，设等轴双曲线的方程为222y x a -=， 由于等轴双曲线过点()3,1，所以2122a =-=-，不符合题意.综上所述，该等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是2. 故答案为：215．点P 是椭圆22149x y +=上的一点，则点P 到直线2150x y +-=的距离最大值是______．【答案】45【分析】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，由点线距离公式及辅助角公式即可求化简大值.【详解】设()2cos ,3sin P θθ，θ为OP 与x 轴正半轴的夹角，则点P 到直线2150x y +-=的距离为()225sin 154cos 3sin 15521d θϕθθ+-+-==+，其中43sin ,cos 55ϕϕ==，故()5sin 155154555d θϕ+---=≤=.故答案为：4516．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】26米【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =， 故水面宽为26米，故答案为26米． 【解析】抛物线的应用17．已知2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且2PF x ⊥轴，点A 是双曲线的左顶点，若222PF AF =，则双曲线的离心率为______． 【答案】3【分析】根据22222PF AF a c ==+，得到1PF ，2PF ，进而利用勾股定理，得到2222211PF F F PF +=，列方程计算可得答案.【详解】如图，22222PF AF a c ==+，又122PF PF a -=，则有142PF a c =+， 且12PF F △为直角三角形，2222211PF F F PF ∴+=，列方程得， 222(42)4()4a c a c c +=++，化简得22320a ac c +-=，再整理得，2230e e --=，解得3e =或1e =-（舍去） 故答案为：318．已知曲线22:1C mx ny +=有如下命题：1p ：若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上2p ：若0m n =>，则C3p ：若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y =4p ：若0m =，0n >，则C 是两条直线则下述命题中所有真命题的序号是______． ①14p p ∨②12p p ∧③()23p p ⌝∧④()()34p p ⌝∨⌝ 【答案】①③【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线的知识对四个命题进行分析，结合逻辑连接词的知识求得正确答案.【详解】依题意，曲线22:1C mx ny +=，1p ：若0m n >>，则110m n<<， 曲线22:111x y C m n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，1p 为真命题. 2:p 若0m n =>，则曲线221:C x y n+=，=的圆，2p 是假命题，2p ⌝是真命题. 3:p 若0mn <，则当00m n >⎧⎨<⎩时，曲线22:111x y C m n -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =当00m n <⎧⎨>⎩时，曲线22:111y x C n m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线， 由22220,m mx ny y x n +==-，所以双曲线的渐近线方程为y =综上所述，3p 是真命题，3⌝p 是假命题.4:p 若0m =，0n >，C的方程为21,y y n ==所以C 是两条直线，所以4p 是真命题，4p ⌝是假命题， 所以①14p p ∨为真命题；②12p p ∧为假命题； ③()23p p ⌝∧为真命题；④()()34p p ⌝∨⌝为假命题.所以真命题的序号①③. 故答案为：①③三、解答题19．已知圆C 经过点()2,0A -，()6,0B ，且圆心C 在直线y x =上． (1)求圆C 的一般方程；(2)若线段OP 的端点P 在圆C 上运动，端点O 为坐标原点，求线段OP 的中点M 的轨迹方程． 【答案】(1)2244120x y x y +---= (2)222230x y x y +---=【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C 的一般方程； （2）利用直接代入法即可求得点M 的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆的C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由题意得()2222066022D F D F E D ⎧⎪--+=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得4412D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的C 的一般方程为2244120x y x y +---=. （2）依题意，设(),M x y ，()00,P x y ，因为M 为线段OP 的中点，()0,0O ，所以002,2x x y y ==，又因为点P 在圆C 上运动，所以22000044120x y x y +---=，故()()()()22224242120x y x y +-⨯-⨯-=， 整理得：222230x y x y +---=，所以点M 的轨迹方程为222230x y x y +---=.20．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为x y λ⎧=⎪⎨=⎪⎩（λ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设l 与C 交于P ，Q(1)求l 与C 的极坐标方程；(2)求PQ ．【答案】(1)l 的极坐标方程为()π6θρ=∈R ，圆C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=；(2)PQ =【分析】（1）先把参数方程化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（2）求出直线l 、圆C 的直角坐标方程和交点坐标，再由两点间的距离公式计算即可.【详解】（1）l的直角坐标方程为y =，化为极坐标方程为()π6θρ=∈R ， 将圆C 的参数方程1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩平方相加得()2211x y -+=， 化为极坐标方程为2cos 0ρθ-=；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由()2211y x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩得2203-=x x ，解得 1230,2x x ==， 当10x =时10y =，即()0,0P ， 当232x =时2y =32Q ⎛ ⎝⎭， 所以==P Q 21．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4．(1)求此抛物线的方程．(2)若此抛物线方程与直线2y kx =+相交于不同的两点A ，B ，且AB 中点横坐标为4，求k 的值．【答案】(1)24y x =(2)1k =-【分析】（1）结合抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）联立直线2y kx =+的方程与抛物线的方程，化简写出根与系数关系，根据AB 中点的横坐标求【详解】（1）依题意，抛物线焦点在x 轴，且()3,Q m 的横坐标为正数，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为()220y px p =>，由于抛物线上一点()3,Q m 到焦点的距离为4，所以34,22p p +==， 所以抛物线方程为24y x =. （2）由224y kx y x=+⎧⎨=⎩消去y 并化简得()224440k x k x +-+=， 则()220Δ44160k k k ≠⎧⎪⎨=-->⎪⎩，016320k k ≠⎧⎨->⎩， 解得12k <且0k ≠， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12244k x x k -+=-， AB 中点横坐标为4，所以2224k k --=， 解得1k =-或12k =（舍去）. 22．已知1F ，2F 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，椭圆上的任意一点P 使得124PF PF +=，且1PF 的最大值为2(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)22142x y += (2)证明详见解析，定点坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，从而求得椭圆的标准方程.（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l 的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，根据“以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点”列方程，由此求得定点坐标.【详解】（1）依题意，1242,2PF PF a a +===，由于1PF 的最大值为2a c +=c =所以b ==22142x y +=. （2）椭圆的右顶点为()2,0Q ，当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为()22x t t =-<<， 由22142x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22221242t t y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 设()()00,,,A t y B t y -，则22022t y =-， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()2002221222t y y t t t --⋅=-=----，解得23t =， 所以直线l 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124240k x kmx m +++-=， ()()2222221641224328160k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22420k m -+>①.设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222424,1212km m x x x x k k --+==++， 由于以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点()2,0Q ，所以AQ BQ ⊥，()()1212121212222y y y y x x x x ⋅==-----， ()()121222y y x x =---，()()()()121222kx m kx m x x ++=--- ，()()221212121224k x x km x x m x x x x +++=+--，()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，()()2222224412401212m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得()()3220m k m k ++=，23m k =-或2m k =-， 若23m k =-，代入①得222432422099k k k -+=+>，成立， 若2m k =-，代入①得2244220k k -+=>成立，所以直线l 的方程为2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，过点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭； 或()22y kx k k x =-=-，过点()2,0Q ，不符合题意，舍去.综上所述，直线l 过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】求解直线过定点问题，关键点是研究直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.有关直线和圆锥曲线相交的题目，要注意验证判别式是否成立.。