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湖南湖南大学课程考试试卷
(A)
222(1)x C -+ (B) 222(1)x C --+ (C) 221(1)2x C -+ (D) 221
(1)2
x C --+
3. 设函数()f x 的导数()f x '如右图所示，由此，函数()f x 的图形可能是 【 】
4. 当
0→x 时, ln(1)1x e x +--与n x 是同阶无穷小, 则n = 【 】
(A)
1 (B)
2 (C)
3 (D) 4
5. 设
[0,1]f C ∈且()0f x ≥，记1
10()d ,I f x x =⎰220(sin )d ,I f x x π
=⎰430
(tan )d ,I f x x π=⎰ 则下列不等式
成立的是 【 】
(A)
123I I I << (B) 312I I I << (C) 231I I I << (D) 132I I I <<
三、计算题（每小题5
分，共20分）
.
1. 计算极限
x →.
2. 计算极限
2
30
01lim (1)d x
t x e t x
-→-⎰
. 3. 计算积分
()d xf x x
'⎰，其中
()x e f x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
4. 设函数()y y x =由方程组(1)0,
10 y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩
确定，求0d t y =.
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四、（11分）设
2sin ,0,
()ln(1), 0,ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩
试问,,a b c 为何值时，()f x 在
0x =处二阶导数存在？
五、（7分）若()2(1),n f x nx x =-记[0,1]
max{()}n x M f x ∈=(即()f x 在[0,1]上的最
大值),求
lim n n M →∞
.
六、（8分）（融化立方体冰块）某地为了解决干旱问题，需将极地水域拖来的冰山融化提供淡水.假设冰山为巨大的立方体，其表面积成正比. 如果在最初的一小时里冰被融化掉九分之一的部分需多少小时？(结果精确到小数点后一位，不能使用计算器)
七、（10分）过点(1,5)作曲线3
:y x Γ=的切线L . 试求（1）切线L 的方程；
（2）Γ与L 所围平面图形
D 的面积；
（3）图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.
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八、（8分）利用定积分的换元法我们可以证明: 若
()f u 是连续函数，则有
(sin )d (sin )d 2xf x x f x x π
π
π=⎰
⎰. 现要求将
此结论推广到满足在[,]a b 上连续且关于2
a b
x +=为偶函数 (即对[,]a b 中的任何x 有
()()22a b a b f x f x ++-=+)的任意函数
()f x 的情形, 请叙述并证明你的结论.
九、（6分）设
()f x 在[,]a b 上连续, 在(,)a b 内可导, 且()0f b =,试证: 至少存在一点(,)a b ξ∈,
使得()
()0()
f f a ξξξ'+
=-.
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