高等数学第一章(极限)复习题

《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

n
xn 1 x
n
( x 0)的连续性。
解 当x [0,1)时, f ( x ) 0;
0, 0 x 1 1 1 即 f ( x) , x 1 当x 1时, f ( x ) ; 2 2 1, x 1 1 当x 1时, f ( x ) lim 1 n 1 n ( ) 1 x
x )
lim
x 0
e x sin 2 x e
2 x
x
2
1
例6 问x 1时, f ( x ) 3 x 2 x 1 ln x
2
是x 1的几阶无穷小 ?
解 f ( x ) 3 x 1 x 1 ln[1 ( x 1)]
lim
x 1
2
n
(2)设x0 1, xn 1
1 xn 1
(n 1, 2,), 试证{ xn }收敛 ,
并求 lim xn。
n
5.求极限
(1) lim
x 0
x 1 cos x
(2) lim
x a
tan x tan a xa xe
(a k

2
)
(3) lim
其中 x=0为跳跃间断点,
例 10 证明: 方程 tanx = x 有无穷多个实根。
分析 从图形看 y=tanx与 y = x 有无穷多个交点。 证 设 f(x) = tan x- x (要在无穷个闭区间上用零点定理)
k Z ,
(1) k
lim
x ( k

2
f ( x ) ， lim
8. 设f ( x )在[0,1]上非负连续, 且f (0) f (1) 0, 则对任意实

高数复习题目和答案# 高数复习题目和答案题目一：极限的概念与计算题目：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据洛必达法则，因为分子分母同时趋向于0，我们可以对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。

题目二：导数的应用题目：设函数 \(f(x) = 3x^2 + 2x - 5\)，求其在 \(x = 1\) 处的切线斜率。

答案：首先求导数 \(f'(x) = 6x + 2\)，然后将 \(x = 1\) 代入得到切线斜率 \(f'(1) = 6(1) + 2 = 8\)。

题目三：不定积分的计算题目：计算不定积分 \(\int x^2 + 3x + 2 \, dx\)。

答案：利用幂函数的积分公式，得到 \(\int x^2 \, dx =\frac{1}{3}x^3\)，\(\int 3x \, dx = \frac{3}{2}x^2\)，\(\int 2 \, dx = 2x\)。

将它们相加，得到 \(\frac{1}{3}x^3 +\frac{3}{2}x^2 + 2x + C\)。

题目四：定积分的应用题目：求定积分 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx\)。

答案：先计算不定积分，得到 \(\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x +C\)。

然后计算定积分，得到 \(\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx =[x^2 + x]_{0}^{1} = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2\)。

题目五：级数的收敛性判断题目：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。

答案：使用比较判别法，由于 \(\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\)，且 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = 1\)，所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 收敛。

华东政法大学2009-2010学年《高等数学1》复习题第一章 函数与极限一、填空1. 数列{}n x 收敛是数列{}n x 有界的________条件。

2、)(x f 的定义域为[0，8]，则)(3x f 的定义域为___________。

3 、)2(arcsin )(23)3(ln 1x x f x -+=-的连续区间是____4 32)2(2+-=-x x x f ,则=∆)(x f _________5 )(sinx 11y +=的间断点有________它们是________（填类型） 6 ____lim sin3x )2x 1(ln 0x =+→{}_______lnn])2n (n[ln lim n =-+∞→________lim n n!n =∞→ __lim x arctan2x 0x =→_________lim x arctanx x =∞→_____lim a -x cosa -cosx x =→a7 __lim x 1)arccosx -(1x 2=+-→+π_________][lim 1x )2x (sin x 2=+∞→x ________l i m 3x c o s x )-a r c t a n x (10x =→ _____)]cos 3([lim 32x 1x x =+++∞→x x ___lim 22-x )-tan(x x =→πππ _____)(s lim tan 2/x =→x inx π 8 x ln y =是由_________等函数复合而成的。

9 f (x )在I 内严格单调递增 ，I 中任意两个元素x 1,x 2,)]x (f )x (f )[x x (1212--____0(填大于或小于)10、f (x )在a 处有定义是f(x)在a 处有极限的__________条件；是f(x)在a 处连续的__________条件（填充分、必要或既非充分又非必要条件）11：如果当∞→x 时，c bx ax ++21与112+x 是等价无穷小，则a 的值为_____12、设8lim 502595)1()1()1(=+++∞→x ax x x ，则a =__________二、选择题1、以下不正确的是( )（A ） 两个奇函数之和仍然为奇函数，（B ）两个偶函数之和仍然为偶函数。