9.5--变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

9.5变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
一、选择题
1．线性回归方程表示的直线y^＝a＋bx，必定过( )
A．(0,0)点 B．(x，0)点 C．(0，y)点 D．(x，y)点

解析：回归直线系数a，b有公式a＝y－bx，即y＝a＋bx，∴直线y^＝a＋bx必定过(x，
y)点．

答案：D
2．对于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
解析：由定义可知相关系数|r|≤1，故D错误．
答案：D
3．(2010·山东威海调研)已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回
归直线的方程为( )

A.y^＝1.23x＋4 B.y^＝1.23x＋5
C.y^＝1.23x＋0.08 D.y^＝0.08x＋1.23
解析：回归直线必过点(4,5)，故其方程为y^－5＝1.23(x－4)，即y^＝1.23x＋0.08.
答案：C
4．(2009·江苏徐州)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在
100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患
肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有
95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．

A．① B．①③ C．③ D．②
解析：①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B，③正确．
答案：C
二、填空题
5．(2009·江苏徐州)独立性检验中的统计假设就是假设两个研究对象Ⅰ和Ⅱ________.
答案：相互独立(没有关系)

6．已知回归直线方程y^＝0.5x－0.801，则当x＝25时，y的估计值是________．
解析：将x＝25代入y^＝0.5x－0.801可得．
答案：11.699
7．(2010·山东潍坊调研)给出下列四个命题：

①∀x∈R，cos x＝sinx＋π3＋sinx＋π6一定不成立；②今年初某医疗研究所为了检验
“达菲(药物)”对甲型H1N1流感病毒是否有抑制作用，把墨西哥的患者数据库中的500
名使用达菲的人与另外500名未用达菲的人一段时间内患甲型H1N1流感的疗效记录作
比较，提出假设H0：“达菲不能起到抑制甲型H1N1流感病毒
的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值
表知P(K2≥3.841)≈0.05，说明达菲抑制甲型H1N1流感病毒
的有效率为95%；③|a·b|＝|a||b|是|λa＋μb|＝|λ||a|＋|μ||b|成立的
充要条件；④如右图的茎叶图是某班在一次测验时的成绩：可
断定：女生成绩比较集中，整体水平稍高于男生．

其中真命题的序号是________．(填上所有真命题的序号)
解析：对于①，等式展开后可化简为asin x＋bcos x＝0的形式，可知一定有解；对于②，
正确解释是：有95%的把握认为“达菲对甲型H1N1流感病毒有抑制作用”；对于③，
由向量模的性质知不正确．

答案：④
三、解答题
8．(2009·安徽蚌埠)已知x、y之间的一组数据如下表：

x
1 3 6 7 8

y
1 2 3 4 5

对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y＝13x＋1与y＝12x＋12，试利用最小
二乘法判断哪条直线拟合程度更好？

解答：用y＝13x＋1作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为

s1＝43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋103－42＋113－52＝73；
用y＝12x＋12作为拟合直线时，所得y值与y的实际值的差的平方和为
s2＝(1－1)2＋(2－2)2＋72－32＋(4－4)2＋92－52＝12.
∵s2＜s1，故用直线y＝12x＋12拟合程度更好．
9．(2010·江苏徐州调研)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38
人患色盲，调查的520名女性中有6人患色盲．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率会是多少？
附临界值参考表：
P(K2≥x0)
0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001
x0
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

解答：(1)
患色盲 不患色盲 总计
男 38 442 480
女
6 514 520
总计
44 956 1 000
(2)假设H0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得
K2＝1 000(38×514－6×442)2480×520×44×956≈27.14，
又P(K2≥10.828)＝0.001，即H0成立的概率不超过0.001，
故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.001.
10．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：

x
2 4 5 6 8

y
30 40 60 50 70

(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？
解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：

(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1 2 3 4 5

xi
2 4 5 6 8

yi
30 40 60 50 70
xiyi
60 160 300 300 560

因此，x＝255＝5，y＝2505＝50，i＝15x2i＝145，i＝15y2i＝13 500，i＝15xiyi＝1 380.

于是可得b＝i＝15xiyi－5x yi＝15x2i－5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5；
a＝y－bx＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求回归直线方程是y^＝6.5x＋17.5.
(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，

y^＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，
即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．

1．(★★★★)①合情推理是由特殊到一般的推理，得到的结论不一定正确，演绎推理是由
一般到特殊的推理，得到的结论一定正确；

②一般地，当r的绝对值大于0.75时，认为两个变量之间有很强的线性相关关系，如果
变量y与x之间的相关系数r＝－0.956 8，则变量y与x之间具有线性关系；

③用独立性检验(2×2列联表法)来考察两个分类变量是否有关系时，算出的随机变量K
2
的值越大，说明“x与y有关系”成立的可能性越大；

④命题p：∃x∈R使得x2＋x＋1＜0，则綈p：∀x∈R均有x2＋x＋1≥0.
其中结论正确的序号为________．(写出你认为正确的所有结论的序号)
解析：②通过统计假设，查表得结论正确；③参考两个分类变量x和y有关系的可信度
表：k2的值越大，说明“x与y有关系”成立的可能性越大；④正确，命题p：∃x∈R
使得p(x)，则綈p：∀x∈R均有綈p(x)．

答案：②③④
2．(2010·创新题)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人
与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起
到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知
P(K2≥3.841)≈0.05.

p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
r：这种血清预防感冒的有效率为95%；
s：这种血清预防感冒的有效率为5%.
则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
①p∧綈q；②綈p∧q；③(綈p∧綈q)∧(r∨s)；④(p∨綈r)∧(綈q∨s)．
解析：由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以只有p正确，即有95%的把握
认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，由真值表知①、④为真命题．

答案：①④