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一．（填空题（每小题4分，共20分）
1． 令 ()()1,0,3,5,2,8,6,9,T T A B ==-则61T A B =，28690000624182710403045T AB -⎛⎫
⎪
⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
。 2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，123,,βββ是它的
三个解向量，且12(2,6,3),T ββ+=-23(6,8,5),T
ββ+=-则该线性方
程组的通解是(1,3,3/2)(8,14,2),.T T
k k R -+-∈
3. 设123625t A t
t ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
的行向量线性相关，则实数t 满足的条件是
31
3,61.22
t t =-=
或 4．令ii A 是三阶矩阵A 的元素ii a 的代数余子式（i =1，2，3），若A 的特征值为3，4，5，则112233A A A ++=___47_______.
5．若1
0102
0105A c c ⎛⎫ ⎪
=+ ⎪ ⎪-⎝⎭
是正定矩阵，则c 的取值范围为 ____0C >_______.
二． 选择题（每小题3分，共15分）
1. 设A 、B 均为n 阶正交矩阵，则_____（3）_______.
（1）A+B 为正交矩阵 （2）A-B 为正交矩阵 （3） B AB 为正交矩阵（4）k AB 为正交矩阵(k >0为实数)
2．设A 为m 阶可逆矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 O A D B O ⎛⎫
=
⎪⎝⎭的逆矩阵是____（2）________.
（1）1
1A O O
B --⎛⎫
⎪⎝⎭ （2）11O B A
O --⎛⎫
⎪⎝⎭
厦门大学2009级《线性代数A 》课程试卷
参考答案
主考教师： 试卷类型：（A 卷） 2010.06.13
（3） 1
1B O O A --⎛⎫
⎪⎝⎭ （4）11
O A B O --⎛⎫
⎪⎝⎭
3． 设α与β是线性无关的单位向量，则α与β的内积必 _____（4）_______.
（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<1
4.设A 为n 阶可逆矩阵，1
*
,,T
A A A -分别是A 的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若ξ是A 的特征向量，则下列命题中的不正确的是___（1）_____.
（1）ξ是T
A 的特征向量 （2）2ξ是1A -的特征向量 （3）3ξ是*A 的特征向量
（4） 4ξ是kA 的特征向量（k 为常数）
5.设222623222,000222000A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则____(2) ____.
（1）A 与B 是相似的且是合同的 （2）A 与B 是相似的但不是合同的 （3）A 与B 不是相似的但是合同的
（4）A 与B 不是相似的也不是合同的
三．（15分）试求五元齐次线性方程组
123451234512345
330,
30,0x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪
-++-+=⎨⎪+++-=⎩
的解空间V(作为5
R 的子空间)的一组规范（标准）正交基。 解 依题意知，
133111331110012111130220201101.111110220200000A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故()2R A =，并且原方程组的一个基础解系为：
1230121011,0,0.010001ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
接下来将123,,ααα正交化. 令11,βα=21221211
,T
T αβ
βαβαββ=-=
32313321221112011110212010,122200111001T T T T
αβαββαββββββ⎛⎫
⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--=- ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎪ ⎪⎝⎭
最后将123,,βββ单位化可得
111000βηβ⎛⎫ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，222000βηβ⎛ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪⎝⎭
，33
3,βηβ⎛
⎫ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
向量组123,,ηηη即为所求。
四．（12分）求矩阵120250113A ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
的特征值和特征向量，并计算9
A 的 特征值。
解 因为()()2
1202
5033,1
1
3A E λ
λλλλλ
--=--=-+----
故A 的特征值值为-3，3（2重）.
当3λ=-时，解线性方程组()30A E x +=。由于
4201101003280060010,110060000A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
+=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故A 的属于特征值-3的全部特征向量为()()110,0,10.T
k k ≠
又
2201103220001,116000A E --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
故A 的属于特征值 3的全部特征向量为()()221,1,00.T
k k ≠
根据特征值的性质9
A
的特征值为999(3),3,3.-，
五．（16分）令()()()1231,,1,,1,1,1,2,1T T T
k k k ααα===--- ,(1,2,1)T k β=---,
问k 为何值时
（1） 向量β不能由向量组123,,ααα线性表示；
（2） 向量β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一； （3） 向量β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法不唯一，
并求其一般表达式.
解 因()12321111
11,,,112011*********k k k k k k k k k k αααβ--⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭
()()
()1
11
01
10102121k k k
k k k -⎛⎫
⎪→-- ⎪ ⎪+--⎝
⎭， （1） 如果20,2,k k +==-即此时，()()123123,,,3,,,2,R R αααβααα==
故向量β不能由向量组123,,ααα线性表示； （2） 如果20,10,2,1,k k k k +≠-≠≠-≠且即且此时，
()()123123,,,,,3,R R αααβααα==
