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高等数学，罗尔定理的应用
之前推导了罗尔定理等其它中值定理，今天我们来看一下罗尔定理的一些应用。
三大中值定理推导，可以参考之前的图文。
罗尔定理的证明过程，点我
介值定理+罗尔定理
这里的已知条件f(0)+f(1)+f(2)=3f(3)可以用介值定理得出一个有用的条件，有此条件刚好满足罗尔定理所需条件，则原结论可证：
零点定理+罗尔定理
这里我们使用零点定理对已知条件进行转化，得到罗尔定理所需条件：
高等数学，拉格朗日中值定理的应用。
罗尔定理在微分方程中的应用研究在微分方程中，罗尔定理是一种重要的数学工具，它可以帮助我们研究微分方程的解的存在性和唯一性。
本文将重点探讨罗尔定理在微分方程中的应用，并通过实例来说明其有效性。
一、罗尔定理的基本概念罗尔定理是微积分中的一则重要定理，它通过函数端点处的取值来研究函数在区间内的取值。
其基本概念如下：设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a) = f(b)，则存在c∈ (a, b)，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可以解决一些求解函数在特定区间内的零点、极值等问题，对于微分方程的研究也有着重要的应用价值。
二、罗尔定理在微分方程解的存在性证明中的应用在许多微分方程的解的存在性证明中，罗尔定理可以发挥关键作用。
下面通过一个实例来说明罗尔定理在微分方程中的应用。
例：考虑微分方程 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0，其中p(x)和q(x)是定义在[a, b]上的连续函数。
假设在[a, b]上存在非零解y(x)，证明存在一个点c ∈ (a, b)，使得y'(c) + p(c)y(c) = 0。
证明：设y(x)是微分方程的一个解，由题意可知y(x)在[a, b]上连续，并在(a, b)内可导。
我们定义辅助函数z(x) = y'(x)e^(-∫p(x)dx)，其中e^(-∫p(x)dx)是y'(x)的一个因子，这个因子的选择是为了方便运用罗尔定理。
首先计算z'(x)：z'(x) = y''(x)e^(-∫p(x)dx) - p(x)y'(x)e^(-∫p(x)dx)= (y''(x) + p(x)y'(x))e^(-∫p(x)dx)根据微分方程的定义，我们知道y(x)是微分方程的解，因此有 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0。
罗尔( Rolle )中值定理的应用1. 与零点定理结合解决方程根的唯一性;2. 用罗尔定理研究导函数的零点;3. 证明含一个中值的等式.3. 证明含一个中值的等式一般利用逆向思维, 考虑辅助函数法.解题方法:第一步：将要证明等式中的换作x,将其写成F (x)=0的形式，依据F (x)的特点选取辅助函数F(x)；第二步：验证F(x)在给定的区间上满足罗尔定理条件，由罗尔定理结论F ()=0得到欲证等式.ξξ'''第三章例5.设],,0[)(πC x f ∈且在),0(π内可导, 证明至少存在一点,),0(πξ∈使()()cot .f f ξξξ'=−分析:由结论可知, 只需证即[]0sin )(='=ξx x x f 由题设容易验证)(x F 在],0[π上满足罗尔定理条件，故在开区间证设()()sin ,=F x f x x 利用逆向思维找辅助函数3. 证明含一个中值的等式=()sin ()cos ''+使得F ()=0，ξξξξξf f (0,)内存在一点，πξ()()cot '=−即.ξξξf f例6.若)(x f 可导, 试证在其两个零点间一定有)()(x f x f '+的零点.分析：由题设有,,0)()(2121x x x f x f <==欲证:12(,),x x ∃∈ξ使0)()(='+ξξf f 只要证)()(='+ξξf f ξe ξe 亦即])([='=ξx xx f e 作辅助函数,)()(x f e x F x=容易验证)(x F 在],[21x x 上满足罗尔定理条件，所以命题成立.证利用逆向思维找辅助函数12(,),即x x ∃∈ξ()[()]0使得xx x F x e f x ==''==ξξ()()0,即'+=ξξf f ,,0)()(2121x x x f x f <==证：存在,)1,0(∈ξ使例7.设]1,0[可导，且,0)1(=f 在连续，)1,0()(x f 证：()()，nx x f x φ=,)1,0(∈ξ罗尔定理条件,因此至少存在显然)(x ϕ上满足=')(ξϕ即设辅助函数使得)()(1ξξξξf f n nn '+−0=利用逆向思维找辅助函数()()0.'+=ξξξn f f ()()0.n f f ξξξ'+=[0,1]在分析:由结论知, 只需证1()()0=成立，n nn f f ξξξξ−'+()0.即=nx x f x ξ='⎡⎤⎣⎦求证存在(1,2),∈ξ使例8.设[1,2]在连续，(1,2)在内可导，)(x f 证：(1,2),∈ξ因此至少存在即使得1(1),(2) 2.2且==f f 2(),令F()=f x x x在上满足罗尔定理条件,[1,2]容易验证)(x F 24()2()()0,-f f F ξξξξξξ''==2()2()0,-'=ξξξξf f 亦即2()().='ξξξf f 2()().='ξξξf f小结1.罗尔定理是用来解决方程根的唯一性的方法之一；2.罗尔定理常常被用来研究导函数的零点，注意这里导函数未必连续，这与连续函数零点定理是有区别的;3.罗尔定理是证明含一个中值的等式方法之一.用罗尔定理证明含一个中值的等式,关键是构造满足罗尔定理的辅助函数，常用的辅助函数有：()()()sin (),()(),(),()(),()(),nx g x n f x F x xf x F x x f x F x F x e f x F x e f x xn 这里为正整数，为实数.λλ=====。
第一讲微分中值定理教学目的使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理,拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题．教学重点使学生深刻理解微分中值定理的实质．教学难点拉格朗日中值定理的证明．教学学时 2学时教学过程上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法．学习的目的在于应用,这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础．微分中值定理包括: 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理．一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图1.设图1中曲线弧AB是函数)(x fax∈的图形．这(b[,y=])是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于X 轴的切线，即)(x f 在),(b a 内处处可导．且两端点处的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现在曲线弧AB 的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线．如果记曲线弧AB的最高点C 的横坐标为ξ，则()0'=ξf ．若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理．罗尔定理 若函数满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马()Fermat 定理．费马定理 设函数()x f 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有()()0x f x f ≤()()()0f x f x ≥或，则()00'=x f ．分析 为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义．不妨设0()x U x ∈时，()()0x f x f ≤．于是，对于00()x x U x +∆∈，有()()00f x x f x +∆≤，从而当0>∆x 时，()()000≤∆-∆+x x f x x f ； 当0<∆x 时，()()000≥∆-∆+x x f x x f ．由于函数()x f 在0x 处可导，上述两式的左端当0→∆x 时极限皆存在，因此由极限的保号性知()()()()0lim 0000'0'≤∆-∆+==+→∆+x x f x x f x f x f x ，()()()()0lim 0000'0'≥∆-∆+==-→∆x x f x x f x f x f x ． 所以，()00'=x f ．类似地可证明0()x U x ∈时，()()0x f x f ≥的情形．通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)．费马定理告诉我们，若函数在0x 点可导，且函数在0x 点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点0x 处的导数一定为零，即()00'=x f ．由图1知，函数()x f 在ξ处取得了局部的最大值．因此，根据费马定理不难证明罗尔定理．罗尔定理的证明 由于()x f 在[]b a ,上连续，所以()x f 在[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样，只有两种可能的情形：(1) m M =．此时对于任意的[]b a x ,∈，必有()M x f =．故对任意的()b a x ,∈，有()0'=x f ．因此，()b a ,内任一点皆可作为我们找的ξ．(2) m M >．因为()()b f a f =，所以M 和m 中至少有一个不等于()a f ．不妨设()a f M ≠，则在()b a ,内必有一点ξ，使得()M f =ξ．又因为对于任意的[]b a x ,∈，有()()ξf x f ≤，且()f ξ'存在．故由费马定理知，()0'=ξf ．类似可证()a f m ≠的情形．罗尔定理成立．例1 不求出函数()()()()321---=x x x x f 的导数，说明方程()'0f x =有几个实根，并指出它们所在的区间．分析 讨论方程()0'=x f 的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知，ξ实际上是方程()0f x '=的根．而讨论这类问题的基本思路是，在函数()x f 可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间．而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点ξ，使得()0'=ξf ．ξ即为方程()0'=x f 的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围．对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程()0'=x f 至多有两个实根．而由函数()x f 的表达式知，()()()321f f f ==．因此，[]1,2和[]2,3就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程()0'=x f 的一个实根． 解 因为()x f 在[]2,1和[]3,2上连续，在()2,1和()3,2内可导，且()()()1230f f f ===，所以由罗尔定理知，在()2,1内至少存在一点1ξ，使得()01'=ξf ，在()3,2内至少存在一点2ξ，使得()02'=ξf ．1ξ和2ξ都是方程()0f x =的实根．又由代数学基本定理知，方程()0'=x f 至多有两个实根，所以方程()0'=x f 必有且只有两个实根，它们分别位于()2,1和()3,2内．小结 利用函数的性质讨论()0'=x f 的根(也称为()x f '的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法．二、拉格朗日中值定理罗尔定理中()()b f a f =这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的．由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制．我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把()()b f a f =这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个问题，我们先从几何直观入手，见图2．设图2中曲线弧AB 是函数)(x f y =]),[(b a x ∈的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即()()f a f b ≠．不难发现在曲线弧AB 上至少有一点c ，使曲线在点ｃ处的切线平行于弦AB ．若记c 点的横坐标为ξ，则曲线在c 点处切线的斜率为()ξ'f ．而弦AB 的斜率为()()a b a f b f --．因此()()()ξ'f ab a f b f =--()()()()()a b f a f b f -=-ξ'或． 若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日()Lagrange中值定理．拉格朗日中值定理若函数()x f满足(1)在闭区间[]b a,上连续；(2)在开区间()b a,内可导，则在()b a,内至少存在一点ξ，使得()()()()abfafbf-=-ξ'()()()⎪⎭⎫⎝⎛=--ξ'fabafbf或．（１）从图1可以看到，在罗尔定理中，由于()()b faf=，弦AB是平行于x轴的，因此点c处的切线不仅平行于x 轴，实质上也是平行于弦AB的．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题．由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数()x f不一定具备()()b faf=这个条件，为此我们设想构造一个与()x f有密切联系的函数()xϕ(称为辅助函数)，使()xϕ满足条件()()baϕϕ=及罗尔定理的另外两个条件，并对()xϕ应用罗尔定理，然后再把对()xϕ所得的结论转化到()x f上，从而使拉格朗日中值定理得到证明．这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路，那么怎样去构造辅助函数()x ϕ呢？若记图2中弦AB 的方程为()x L y =，那么根据所构造的辅助函数()x ϕ需要满足的条件，通过对图2的观察，我们不难发现()()x L x f -这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数．为什么呢？首先，若我们记()()()x L x f x -=ϕ，则函数()x ϕ与()x f 有着密切的联系；第二，由于曲线弧AB 与弦AB 在B A ,两点相交，因此，()()()0=-=a L a f a ϕ，()()()0=-=b L b f b ϕ，即()()b a ϕϕ=；第三，由于函数()x f y =和()x L y =在[]b a ,上都连续,在()b a ,内都可导，因此()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件．至于对()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明．拉格朗日中值的证明 弦AB 的直线方程为()()()()()a x a b a f b f a f x L ---+=．因此，函数()()()()()()a b ab a f b f a f x f x -----=ϕ, (2)且()()()()a b a f b f x f x ---=''ϕ．对函数()x ϕ在[]b a ,上应用罗尔定理知，在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()0'=---a b a f b f f ξ，()()()ξ'f a b a f b f =--．定理得证．由上述证明可知，函数()x ϕ正是我们所需要的那个辅助函数．现在回过头来看一看辅助函数()()()x L x f x -=ϕ的几何意义是什么？在图2的闭区间[]b a ,上任取一点x ，并过x 作与纵轴平行的直线，交弧AB 于M ，交弦AB 于N ，则有向线段NM 的值恰好是我们所构造的辅助函数()()()x L x f x -=ϕ．其中()x f 为M 点的纵坐标，()x L 为N 点的纵坐标．几点说明：(1) 显然，公式()1对于a b <也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式．(2) 设x 为区间[]b a ,上一点，x x ∆+为该区间内的另一点()00<∆>∆x x 或，则公式（１）可写成()()()x x x f x f x x f ∆⋅∆+=-∆+θ'()10<<θ． ()3(3) 若记()x f 为y ，则()()x f x x f y -∆+=∆，于是()3式又可写成()x x x f y ∆⋅∆+=∆θ'()10<<θ． ()4我们知道，若函数()x f y =在x 处可微，则()y dy o x ∆=+∆．这时可以用函数()x f y =的微分()x x f dy ∆='来近似地代替函数增量y ∆，并且所产生的误差()x dy y ∆=-∆ 是比x ∆高阶的无穷小．但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而()4式给出了自变量取得有限增量x ∆()不一定很小x 时，函数增量的微分精确表达式．因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，()4式也称为有限增量公式．拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理．利用它可实现用导数来研究函数的变化．作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题．我们知道，如果函数()x f 在某一区间上是一个常数，则()x f 在该区间上的导数恒为零．那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题．定理 若函数()x f 在区间I 上的导数恒为零，则()x f 在区间I 上是一个常数．证 在区间I 上任取两点21,x x ()21x x <，应用()1式即得()()()()12'12x x f x f x f -=-ξ()21x x <<ξ．由题设知()0'=ξf ，所以()()012=-x f x f ，即 ()()12x f x f =． 因为21,x x 是I 上任意两点，所以()x f 在区间I 上是一个常数．这个定理在以后我们要学习的积分学中将起到至关重要的作用．下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式． 例2 证明当0>x 时， ()x x x x <+<+1ln 1．分析 拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式呢？我们知道，在拉格朗日中值公式中()b a ,∈ξ，而不知道ξ具体等于多少？但根据ξ在b a ,之间的取值却可以估计出()ξ'f 的取值范围，或者说可以估计出()ξ'f 取值的上下界．分别用()ξ'f 取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的()ξ'f ，就可以得到不等式了，这就是用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路．用拉格朗日中值定理去证明不等式，最重要的是去找函数()f x 和相应的区间[]b a ,．那么怎样去找函数()x f 和相应的区间[]b a ,呢？注意，拉格朗日中值公式()()()ξ'f a b a f b f =--的左端是很有特点的，它恰好是函数()x f 在区间[,]a b 上的增量与区间[]b a ,的长度之比．因此，只要我们通过不等式的变形，把其核心部分变形为()()a b a f b f --的形式，就不难确定函数()x f 和相应的区间[]b a ,了．对于本例来讲，首先我们可以做如下的变形：()11ln 11<+<+x x x ，()()1001ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为()x +1ln ，相应的区间为[]x ,0．如果我们对原不等式再做另外一种变形，即()11ln 11<+<+x x x ，()()1111ln 1ln 11<-+-+<+x x x ．则由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数()x f 为x ln ，相应的区间为[]x +1,1．确定了所需要的函数()x f 及相应的区间[]b a ,后，接下来就是对函数()x f 在[]b a ,上应用拉格朗日中值定理，并估计拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界了．证 方法一设()()x x f +=1ln ，显然()x f 在区间[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件．拉格朗日中值定理得()()ξξ+==+111ln 'f x x x <<ξ0由于x <<ξ0，所以11111<+<+ξx ，即()11ln 11<+<+x x x ，()x x x x <+<+1ln 1．方法二设()x x f ln =，显然()x f 在区间[]x +1,1上满足拉格朗日中值定理的条件．对函数()x f 在区间[]x +1,1上应用拉格朗日中值定理，并对拉格朗日中值公式中()ξ'f 取值的上下界进行估计，即可证得本例中的不等式．具体证明过程请同学们课后完成．总结(1) 例2中的分析是用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路，同学们务必要掌握其要领．(2) 由例2的证明过程可见，用拉格朗日中值定理证明不等式时所选择的函数()x f 并不是唯一的，重要的是函数应与相应区间相匹配．三、柯西中值定理拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线()x f y =的弧AB 上，处端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则在该弧上至少存在一点c ，使曲线在c 点处的切线平行于弦AB ．若我们不用()x f y =来表示连续的曲线弧AB ，而用参数方程来表示连续的曲线弧AB ，那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢？设连续的曲线弧AB 由参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X ()b x a ≤≤表示，见图3 ，其中x 为参数．那么利用参数方程求导公式，曲线上点()Y X ,处切线的斜率为 ()()x F x f dx dy ''=， 弦AB的斜率为()()()()a F b F a f b f --．假定点c 对应于参数ξ=x ，那么曲线上点c 处的切线平行于弦AB 可表示为()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--．与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西()Cauchy 中值定理．柯西中值定理 若函数()f x 及()F x 满足(1) 在闭区间[]b a ,上连续；(2) 在开区间()b a ,内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，()0'≠x F ，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--． ()5证 首先我们来证明在已给条件下()()0≠-a F b F ．显然函数()x F 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理应有()()()()a b F a F b F -=-η'()b a <<η．由于b a <<η，由假定知()0'≠ηF ，又0≠-a b ，所以 ()()0≠-a F b F ．类似于拉格朗日中值定理的证明，我们仍然用表示有向线段NM 的值的函数()x ϕ作为辅助函数，见图3 ．这里点M 的纵坐标为 ()x f Y =，点N 的纵坐标为()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f Y ---+=，于是 ()()()()()()()()()[]a F x F a F b F a f b f a f x f x -----=ϕ． 由假定知，函数()x ϕ在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()0==b a ϕϕ，()()()()()()()x F a F b F a f b f x f x '''---=ϕ．因此，()x ϕ在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，故在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0'=ξϕ，即 ()()()()()()0''=---ξξF a F b F a f b f f ．由此得 ()()()()()()ξξ''F f a F b F a f b f =--，定理证毕．很明显，如果取()x x F =，那么()()()1,'=-=-x F a b a F b F ，因而公式()5就可以写成()()()ξ'f a b a f b f =--，这样就变成了拉格朗日中值定理．由此可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广．显然公式()5对于a b <也成立，()5式称做柯西中值公式．最后我们需要指出，不论是罗尔定理、拉格朗日中值定理，还是柯西中值定理，它们的本质都是：若在一条连续的曲线弧AB 上，除其端点外处处具有不垂直于横轴的切线，则在这段曲线弧上至少有一点c ，使曲线在c 处的切线平行于弦AB ．当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标相等时，我们就得到了罗尔定理；当弧AB 用()x f y =表示，且端点处的纵坐标不相等时，我们就得到了拉格朗日中值定理；当弧AB 用参数方程()()⎩⎨⎧==x f Y x F X , ()b x a ≤≤表示，我们就得到了柯西中值定理．罗尔定理．拉格朗日中值定理和柯西中值定理的关系如下： f ξ'=−−−−→ 推广 ()()f a f b =←−−−−特殊情形()()()f b f a f b a ξ-'=- 推广F x x =←−−−−−特殊情形()()()()()()f b f a f F b F a F ξξ'-='-。
